专题03 二次根式（易错必刷61题 16种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题03 二次根式（易错必刷61题 16种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的定义 · 二次根式有意义的条件 · 求二次根式中整数字母的值 · 利用二次根式的性质化简 · 复合二次根式 · 二次根式值的非负性 · 二次根式被开方数的非负性 · 二次根式乘除 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式加减运算 · 二次根式混合运算 · 分母有理化 · 化简求值 · 二次根式大小比较 · 二次根式应用 一、二次根式的定义（2个小题） 1．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　  ） A． B． C． D． 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【点睛】本题考查了二次根式的识别，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解题的关键．（3个小题） 二、二次根式有意义的条件 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 4．使代数式有意义的x的取值范围是 ． 5．已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 三、求二次根式中整数字母的值 6．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 7．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 四、利用二次根式的性质化简 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．化简：＝ ． 11．计算的结果是 ． 12．已知，化简= ． 五、复合二次根式 13．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 14．阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 15．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程. (2)若和为两个相邻整数，则____________. (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 16．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 六、二次根式值的非负性 17．若，则的立方根是 ． 18．若，则 ． 七、二次根式被开方数的非负性 19．已知，代数式＝ ． 20．若，则的算术平方根为 ． 21．已知x，y为实数，，则 ． 八、二次根式乘除 22．计算：＝ ． 23．已知x＝，y＝，则xy＝ ． 24．计算：． 25．已知：，求得值． 【点睛】此题考查多项式的化简求值，二次根式的乘方计算，将多项式正确变形使计算更加简便.（5个小题） 26．计算（1）；     （2）． 27．计算：． 28．计算： 九、最简二次根式 29．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 30．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 31．下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 32．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 33．把化为最简二次根式，得    （   ） A． B． C． D． 十、同类二次根式 34．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 35．与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 36．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a = ． 37．最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ． 十一、二次根式加减运算 38．计算： ． 39．计算：． 40．计算：． 十二、二次根式混合运算 41．计算： (1)； (2)． 42．计算：． 43．计算： (1)； (2)． 44．计算：. 45．计算：． 46．计算：． 47．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则；（3个小题） 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 48．计算 ． 十三、分母有理化 49．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯． 根据小腾发现的规律，解决下列问题： （1）＝ ，＝ ；（n为正整数） （2）若＝2﹣m，则m＝ ； （3）计算：＝ ． 50．阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：；，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如：； 请仿照上述方法解决下面问题： (1)化简； (2)化简． 51．阅读下列材料,然后回答问题: 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： =..（一） 还可以用以下方法化简： ＝.(二)　　 （1）请用不同的方法化简. ①参照（一）式求的值； ②参照（二）式求的值； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：. 十四、化简求值 52．已知 ，求代数式 的值． 53．已知，求代数式的值． （2个小题） 54．已知，求代数式的值． 55．已知，，求代数式的值． 56．先化简，再求值：，其中． 十五、二次根式大小比较 57．请用“，，”符号比较大小： ． 58．比较两数的大小： 3． 59．写出一个比大且比小的整数 ． 十六、二次根式应用 60．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 61．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． $$专题03 二次根式（易错必刷61题 16种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的定义 · 二次根式有意义的条件 · 求二次根式中整数字母的值 · 利用二次根式的性质化简 · 复合二次根式 · 二次根式值的非负性 · 二次根式被开方数的非负性 · 二次根式乘除 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式加减运算 · 二次根式混合运算 · 分母有理化 · 化简求值 · 二次根式大小比较 · 二次根式应用 一、二次根式的定义（2个小题） 1．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 2．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】①③④⑥ 【分析】形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：①③④⑥． 【点睛】本题考查了二次根式的识别，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解题的关键．（3个小题） 二、二次根式有意义的条件 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 4．使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 5．已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则．（2个小题） 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 三、求二次根式中整数字母的值 6．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 7．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 【答案】2（答案不唯一）（5个小题） 【分析】根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可． 【详解】解：∵当n=2时，=， ∴n=2符合题意， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键． 四、利用二次根式的性质化简 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项： ，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 10．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 11．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解．（4个小题） 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．已知，化简= ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键，根据题意化简二次根式，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为1． 五、复合二次根式 13．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 14．阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 15．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有， 并给出了证明：根据题意，得 ． 等式两边同时___________，得 ____________． 整理得 ． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程. (2)若和为两个相邻整数，则____________. (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)平方， (2)25 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：平方，； （2）解：由题意可知，， ， 即， 故答案为：25． （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得：， ， ， ． 16．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边，（2个小题） 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 六、二次根式值的非负性 17．若，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵，（3个小题） ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性，得到，是解题的关键． 18．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据二次根式被开方数为非负数以及平方为非负数即可解答．几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 【详解】∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平方的非负性和二次根式被开方数的非负性，熟练的掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，是解题的关键． 七、二次根式被开方数的非负性 19．已知，代数式＝ ． 【答案】 【分析】先根据被开方数的取值范围，确定x的值，再把x的值代入求出y．最后计算代数式的值． 【详解】解：∵x-8≥0，8-x≥0， ∴x=8． 当x=8时，y=18． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及二次根式的化简等知识点，利用二次根式有意义的条件，确定x、y的值是解决本题的关键． 20．若，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】根据得出，求出，得出，代入求出其值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵，（7个小题） ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，解题的关键是根据二次根式的性质，求出，． 21．已知x，y为实数，，则 ． 【答案】或 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：且 ∴ 解得 此时 当时， 当时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，有理数的加减运算，平方根等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 八、二次根式乘除 22．计算：＝ ． 【答案】1 【分析】利用根式的乘法法则与有理数的加减法运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：1． 【点睛】本题涉及根式的乘法与有理数减法的运算，解题的关键是熟练运用根式的乘法法则． 23．已知x＝，y＝，则xy＝ ． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算可求解． 【详解】解：，， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，利用平方差公式计算是解题的关键． 24．计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法． 25．已知：，求得值． 【答案】2015 【分析】先根据完全平方公式将多项式变形，再将a的值代入计算即可. 【详解】原式=， ∵， ∴原式. 【点睛】此题考查多项式的化简求值，二次根式的乘方计算，将多项式正确变形使计算更加简便.（5个小题） 26．计算（1）；     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别根据二次根式的性质和平方差公式计算各项，再合并即可； （2）先根据二次根式的性质化简每一项，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键． 27．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 28．计算： 【答案】 【分析】由题意利用二次根式的性质结合完全平方差公式进行运算即可得出答案． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握算术平方根化简以及完全平方差公式是解题的关键． 九、最简二次根式 29．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 30．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意；（4个小题） 故选：A． 31．下列各式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件“一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母成为解题的关键． 根据最简二次根式的条件逐项判断即得可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 32．下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、是最简二次根式，此项符合题意； B、，不是最简二次根式，此项不符题意； C、，不是最简二次根式，此项不符题意； D、，不是最简二次根式，此项不符题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义，通过化简进行验证是解题关键． 33．把化为最简二次根式，得    （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义将原式子化简可得答案.. 【详解】解：===. 故选A. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键 十、同类二次根式 34．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；（3个小题） B.，与不是同类二次根式； C.，与被开方数相同，故是同类二次根式； D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 35．与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化成最简二次根式后含有相同的因式的二次根式即是同类二次根式，根据定义依次化简即可判断. 【详解】=， =2，不符合定义，故与不是同类二次根式； =，不符合定义，故与不是同类二次根式； =，不符合定义，故与不是同类二次根式； ，符合定义，故与是同类二次根式； 故选：D. 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，正确理解同类二次根式的特点并正确化简每个二次根式是解题的关键. 36．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则a = ． 【答案】-7 【分析】先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可.（8个小题） 【详解】∵=， ∴， ∴. 故答案为-7. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式. 37．最简二次根式与是同类二次根式，则＝ ． 【答案】21 【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ， 解得，， ∴ 故答案为21. 十一、二次根式加减运算 38．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 39．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算出各项的结果后再进行加减运算即可 【详解】解： 40．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据，，二次根式的加减运算求解即可． 【详解】 ． 十二、二次根式混合运算 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）利用平方差公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用二次根式除法法则计算，然后运用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 45．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．正确的计算是关键． 【详解】解：原式． 46．计算：． 【答案】 【分析】分别零次幂、绝对值和化简二次根式计算，最后按照实数的运算法则运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了零次幂、二次根式的加减，解题的关键在于熟练相关运算法则． 47．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则；（3个小题） 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　 (2)当时，的最小值为 　 　； (3)当时，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值． 【详解】（1）解：当时，均为正数， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＞0时，的最小值为2； 故答案为：2； （2）解：当时，， 由题中规律得：， 当且仅当，即时，， ∴当x＜0时，的最小值为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时， ， ∴， 当且仅当，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时，的最大值为， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意． 48．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 十三、分母有理化 49．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯． 根据小腾发现的规律，解决下列问题： （1）＝ ，＝ ；（n为正整数） （2）若＝2﹣m，则m＝ ； （3）计算：＝ ． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目示例可得规律； （2）根据（1）得到的规律即可求解； （3）根据（1）的规律化简每个根式后再合并． 【详解】解：（1）因为，所以＝； 因为，所以； （2）∵＝2﹣m， ∴， ∴， ∴，（5个小题） ∴， ∴； （3） ． 故答案为：（1）；；（2）；（3）9． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键. 50．阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：；，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如：； 请仿照上述方法解决下面问题： (1)化简； (2)化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据题意即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝ = = （2）原式＝ = 【点睛】本题考查分母有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式. 51．阅读下列材料,然后回答问题: 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： =..（一） 还可以用以下方法化简： ＝.(二)　　 （1）请用不同的方法化简. ①参照（一）式求的值； ②参照（二）式求的值； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： ①求的值； ②化简：. 【答案】（1）①，②. （2）①2018； ② . 【分析】（1）根据（一）（二）化简即可得到结论； （2）①先把括号内的每一个二次根式分母有理化，合并后计算即可； ②把每一个二次根式分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）①． ①． （2）原式= = =2019-1 =2018； ②原式= =．（3个小题） 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，解答此题的关键是根据题目的结果找出规律，题目比较好，有一定的难度． 十四、化简求值 52．已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 53．已知，求代数式的值． 【答案】4 【分析】将变形后，再将a的值代入计算可得结果． 【详解】解：． 当时，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． （2个小题） 54．已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】将变形整理得，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查代数式求值及二次根式的运算，将变形整理得可简化运算． 55．已知，，求代数式的值． 【答案】18 【分析】化简，将x和y值代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 当，时，原式． 【点睛】本题考查完全平方公式以及二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用所学知识将待求代数式进行变形，属于中考常考题型． 56．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 当时， 原式= 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 十五、二次根式大小比较 57．请用“，，”符号比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】求出，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵18＞12， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 58．比较两数的大小： 3． 【答案】＜ 【分析】先将两数都写成二次根式的形式，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，解题关键是将它们都写成二次根式的形式． 59．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3（或4） 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴比大且比小的整数是3或4， 故答案为：3（或4）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 十六、二次根式应用 60．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】(1) (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 61．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； （2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． $$