专题01 分式（易错必刷91题 21种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题01 分式（易错必刷91题 21种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 分式的有关概念 · 分式有意义的条件 · 分式无意义的条件 · 分式的值为0的条件 · 分式的化简求值 · 求分式的值为正或负数时字母的取值范围 · 求使分式的值为整数时未知数的值 · 分式的基本性质 · 最简分式 · 约分 · 最简公分母 · 通分 · 分式的乘除法 · 同分母分式加减法 · 异分母分式加减法 · 分式混合运算 · 分式的化简求值 · 整数指数幂 · 科学记数法 · 分式方程的定义及其解法 · 分式方程的应用 一、分式的有关概念（2个小题） 1．在代数式，，，，中，分式的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 二、分式有意义的条件（3个小题） 3．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 三、分式无意义的条件（2个小题） 6．根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 7．当 时，分式没有意义． 四、分式的值为0的条件（4个小题） 8．若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 9．若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 10．若分式的值为0，则 ． 11．若分式的值为0，则的值为 . 五、分式的化简求值（2个小题） 12．若，求分式的值． 13．若，且，则的值是 ． 六、求分式的值为正或负数时字母的取值范围（3个小题） 14．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 15．若分式的值为正数，则需满足的条件是（    ） A．为任意实数 B． C． D． 16．已知分式的值为负数，则的取值范围为 . 七、求使分式的值为整数时未知数的值（3个小题） 17．若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 18．若分式的值为整数，则的整数值为 ． 19．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 八、分式的基本性质（5个小题） 20．下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 21．下列分式中，从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 22．如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 23．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 24．如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．不变 九、最简分式（4个小题） 25．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 26．下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 27．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 28．下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 十、约分（6个小题） 29．分式，化简结果为（） A． B． C． D． 30．化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 31．约分：（1） ；（2） ． 32．约分：① ，② ． 33．将分式约分可得 ，依据为 ． 34．化简分式的结果是 ． 十一、最简公分母（3个小题） 35．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 36．下列三个分式、、的最简公分母是 ． 37．分式与的最简公分母是 . 十二、通分（2个小题） 38．已知，，求分式的值． 39．通分：，，． 十三、分式的乘除法（8个小题） 40．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 41．计算： . 42．计算：． 43．计算：． 44．计算： 45．． 46．先化简，再求值：，其中． 47．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于-1吗？请说明理由. 十四、同分母分式加减法（3个小题） 48．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 49．计算： ． 50．计算：． 十五、异分母分式加减法（4个小题） 51．计算：． 52．计算：． 53．计算：. 54．在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式      ①       ②       ③ (1)以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________； (2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 十六、分式混合运算（6个小题） 55．已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 56．计算： (1)； (2)． 57．计算：． 58．计算：． 59．化简： 60．计算 （1）； （2） 十七、分式的化简求值（5个小题） 61．已知，求代数式的值． 62．先化简，再求值：，其中． 63．已知，求代数式的值． 64．化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 65．已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 十八、整数指数幂（3个小题） 66．如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”） 67．计算： (1)； (2)． 68．计算：． 十九、科学记数法（3个小题） 69．碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院的科学家成功地研制出直径纳米的碳纳米管，纳米相当于毫米，将用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 70．超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 71．2024北京月季文化节正式开启，11个展区共展示超3000个品种的月季．传统月季花粉为单粒花粉，呈长球形或超长球形，大小为．其中，把用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 二十、分式方程的定义及其解法（9个小题） 72．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 73．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 74．若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 75．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 76．方程无解，那么的值为 ． 77．解分式方程： 78．解方程：． 79．解方程：． 80．解分式方程． 二一、分式方程的应用（11个小题） 81．甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是(   ) A． B． C． D． 82．甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 83．列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 84．列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 85．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 86．列方程解应用题： 某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 87．某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 88．北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 89．列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 90．某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 91．2023年8月29日华为系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆? $$专题01 分式（易错必刷91题 21种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 分式的有关概念 · 分式有意义的条件 · 分式无意义的条件 · 分式的值为0的条件 · 分式的化简求值 · 求分式的值为正或负数时字母的取值范围 · 求使分式的值为整数时未知数的值 · 分式的基本性质 · 最简分式 · 约分 · 最简公分母 · 通分 · 分式的乘除法 · 同分母分式加减法 · 异分母分式加减法 · 分式混合运算 · 分式的化简求值 · 整数指数幂 · 科学记数法 · 分式方程的定义及其解法 · 分式方程的应用 一、分式的有关概念（2个小题） 1．在代数式，，，，中，分式的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据分式的定义解答即可． 【详解】解： 、 的分母中含字母，是分式， 、 、的分母中不含字母，不是分式， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 2．下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】A、的分母含字母，故其是分式，故A符合题意； B、是单项式，故B不符合题意； C、是单项式，故C不符合题意； D、是多项式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 二、分式有意义的条件（3个小题） 3．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式有意义， ，解得， 故选：B． 4．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母是解题的关键． 【详解】分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 5．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为零，可得到结果，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、分式无意义的条件（2个小题） 6．根据下列表格信息，y可能为（    ） x 0 1 2 y 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求代数式的值，然后判断即可． 【详解】由表格信息可知： ∵当x= 1时，y无意义， ∴排除B、C两个选项， 又∵当x=-2时，y=0， ∴代入A、D两个选项中只有A选项=0， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，理解题意是解题的关键． 7．当 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母等于即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 四、分式的值为0的条件（4个小题） 8．若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得：， 故选：B． 9．若代数式的值为0，则实数x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：若代数式的值为0， ，， 解得，， 实数x的值为0， 故选A． 10．若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 11．若分式的值为0，则的值为 . 【答案】0 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则，， ， 即的值为0， 故答案为：0． 五、分式的化简求值（2个小题） 12．若，求分式的值． 【答案】 【分析】将变形为，再将即可求得分式的值． 【详解】解： 将代入，原式 故：分式的值为． 【点睛】本题考查分式的求值，运用了整体代换思想解题．掌握分式的加减法是解题的关键． 13．若，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解∶，且， ， 原式． 故答案为∶． 【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 六、求分式的值为正或负数时字母的取值范围（3个小题） 14．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意知，，，且，故不等式可变形为或，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，且， ∴， ∴不等式可变为， ∴ ∴或， ∴或． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于0的解法，考查学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键． 15．若分式的值为正数，则需满足的条件是（    ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵， ∴分式的值为正数时，， 解得：. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分式的值是正数的条件，是需要熟练掌握的内容．注意分式分母的值不能是0． 16．已知分式的值为负数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，所以分子的值是负数即可，从而列出不等式即可求解． 【详解】∵， ∴； ∵分式的值为负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件，解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 七、求使分式的值为整数时未知数的值（3个小题） 17．若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值． 【详解】解：分式的值为正整数，且a为整数， 所以a+1=1或2或3或6． 则a=0或1或2或5． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值．理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键． 18．若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】0或/或0 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 19．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 八、分式的基本性质（5个小题） 20．下列各式从左到右变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式，解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，则，，即，原变形错误，不符合题意； B、，原变形正确，符合题意； C、若，，，则，，即，原变形错误，不符合题意； D、，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 21．下列分式中，从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，解题的关键是正确化简分式． 22．如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（    ） A．不变 B．缩小到原来的 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 23．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可． 【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得， 即分式的值扩大为原来的倍 故选：B 【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解． 24．如果把分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍为：． 所以不变． 故选：D． 【点睛】题目主要考查了分式的基本性质，解题关键是利用了分式的基本性质进行化简． 九、最简分式（4个小题） 25．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 26．下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意； B、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、∵， ∴不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的约分和最简分式的定义，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 27．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，为最简分式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 28．下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答． 【详解】A、=，故该项不是最简分式； B、=-x-y，故该项不是最简分式； C、分子分母没有公因式，故该项是最简分式； D、=，故该项不是最简分式； 故选：C． 【点睛】此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键． 十、约分（6个小题） 29．分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键． 先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 30．化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把分子因式分解，再约分即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分． 31．约分：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质进行约分即可； （2）把分母进行因式分解后，利用分式的基本性质进行约分即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）， 故答案为： 【点睛】此题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 32．约分：① ，② ． 【答案】 【分析】①直接约去分子分母的公因式即可；②先把分母分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：①， ②， 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的是分式的约分，掌握“约分就是约去分子分母的公因式”是解本题的关键． 33．将分式约分可得 ，依据为 ． 【答案】 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：分式的分子和分母同时除以 进行约分，可得， 故答案为：；分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变． 【点睛】本题考查分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键． 34．化简分式的结果是 ． 【答案】/ 【分析】将分子因式分解，进而根据分式的性质约分即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的约分，掌握分式的性质是解题的关键． 十一、最简公分母（3个小题） 35．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：， 故选：C． 【点睛】本题考查最简公分母，解题的关键是：需要掌握最简公分母的定义． 36．下列三个分式、、的最简公分母是 ． 【答案】4(m－n) 【详解】分式、、的最简公分母是4(m－n) 故答案为：4(m－n) 37．分式与的最简公分母是 . 【答案】2a2b2c 【分析】按照公分母的定义进行解答． 【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 十二、通分（2个小题） 38．已知，，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的通分是解题的关键． 将通分为，然后代入求解即可． 【详解】解：， ． 39．通分：，，． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】解：最简公分母是， 则， ， ． 十三、分式的乘除法（8个小题） 40．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键． 41．计算： . 【答案】 【分析】先计算乘方运算，然后再计算除法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查乘方运算及整式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘除运算法则，即可解题． 【详解】解：原式， ． 43．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则． 44．计算： 【答案】． 【分析】根据分式的除法法则即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键． 45．． 【答案】 【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则． 46．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】分式的分子分母能因式分解的先进行因式分解再约分，然后利用分式的乘除法运算法则化简求值. 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的约分是解题的关键. 47．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于-1吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）原代数式的值不能等于-1，理由见详解 【分析】(1) 设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可； (2)令原代数式的值为−1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可． 【详解】解：(1)设被手遮住部分的代数式为A， 则A= = =； (2) 原代数式的值不能等于-1. 若原代数式的值为−1，则=-1，即x+1=−x+1，解得x=0， 当x=0时，除式=0， 故原代数式的值不能等于−1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义． 十四、同分母分式加减法（3个小题） 48．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母的分式相加减的法则求出即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同分母分式减法计算，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． 49．计算： ． 【答案】3 【分析】根据同分母分式的运算法则进行计算，再对分子提取公因数，然后进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 50．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：                ． 十五、异分母分式加减法（4个小题） 51．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式加减法，熟练掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先化成同分母分式，再运用同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 52．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算法则，即可解题． 【详解】解：原式 ． 53．计算：. 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，掌握异分母加法的运算法则是解题关键．先通分，变为同分母分式，再加减即可． 【详解】解： ． 54．在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式      ①       ②       ③ (1)以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________； (2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 【答案】(1)②，分式的基本性质 (2) 【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可； （2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为∶②，分式的基本性质； （2）解：第③步错误 原式 ． 【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可． 十六、分式混合运算（6个小题） 55．已知：． (1)当时，计算的值； (2)当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； (3)设，若x、y均为非零整数，求的值． 【答案】(1) (2),详见解析 (3)12或18 【分析】（1）将代入计算的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系． （3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题． 【详解】（1）当时， ； （2）当时，，理由如下： ， ， 或， 当且时，；当时，； （3），，， ， 、均为非零整数， 时，，； 时，，； 综上所述：的值为18或12． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 56．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除法，最后计算分式的减法即可； （2）先计算括号里的分式加减法，再计算除法即可． 【详解】（1） （2）解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 57．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法运算即可； 【详解】解：原式 ． 58．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 59．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 【详解】原式 60．计算 （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照分式的乘法法则运算即可； （2）按照异分母分式的加减法法则运算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简，掌握分式的运算法则和公式是解题的关键． 十七、分式的化简求值（5个小题） 61．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再计算乘法，约分即可化简，再代入值进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 将代入中，原式． 62．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把计算括号内的分式加法，再把被除数分子，除数分子和分母分解因式，接着把除法变成乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 63．已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 64．化简：，并选择一个适当的的值代入求值． 【答案】，2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握分式运算法则是解题关键． 首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知且且，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， ∵且且， ∴且且， ∴可取， 此时，原式． 65．已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 十八、整数指数幂（3个小题） 66．如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”） 【答案】= 【分析】本题考查同底数幂相除，零指数幂．熟练掌握同底数幂除法和零指数幂的运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂除法计算，再由，得出，则．即可求解． 【详解】解：， 即， ， ， 故答案为：=． 67．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式是解题的关键． （1）计算负整数指数幂、零指数幂、乘方后，再进行加减法即可； （2）利用完全平方公式和去括法则展开，再进行加减法即可． 【详解】（1） （2） 68．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，先计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 十九、科学记数法（3个小题） 69．碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院的科学家成功地研制出直径纳米的碳纳米管，纳米相当于毫米，将用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键． 根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】， 故选：B． 70．超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.000000000794用科学记数法表示应为， 故选：C． 71．2024北京月季文化节正式开启，11个展区共展示超3000个品种的月季．传统月季花粉为单粒花粉，呈长球形或超长球形，大小为．其中，把用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的方法进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 二十、分式方程的定义及其解法（9个小题） 72．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 73．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解． 【详解】解：将分式方程，去分母得：， 整理得， 解得， 分式方程的解是正数， ， ； 又， ， ， m的取值范围是且， 故选C． 74．若关于的分式方程的解小于，则的取值范围是 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据分式有意义的条件，以及方程的解小于，列出不等式，进而即可求解． 【详解】解： 两边同时乘以，得 解得：， ∵分式方程的解小于， ∴，且 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 75．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】分别根据关于的分式方程的解为非负数和关于的不等式组的解集为，求出整数的取值范围，进而求出满足条件的的值，然后相加即可． 【详解】解：原分式方程可化为： ， 等式两边同乘得：， 解得：， 由题意可知：，且， 解得：且； 解不等式组：得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴，且； ∵为整数， ∴为、、、， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程、不等式组等知识点；综合运用上述知识求出整数的取值范围是解题的关键． 76．方程无解，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 方程无解， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的计算是解题的关键． 77．解分式方程： 【答案】方程无解 【分析】本题考查解分式方程，两边同乘，化分式方程为整式方程，求解即可，注意检验． 【详解】解： 左右同乘， ， 解得：， 检验时，， ∴原方程无解． 78．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． 79．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 80．解分式方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．先去分母把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后代入原方程检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得． 解得：． 检验：当时，． 所以分式方程的解是． 二一、分式方程的应用（11个小题） 81．甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率时间工作总量； 根据工作效率时间工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可； 【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为； 根据工作效率时间工作总量，可得：； 故选：C． 82．甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为， 解得：， 经检验：是原分式方程解，且符合实际意义， ∴， 答：高铁列车的平均速度为． 83．列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【答案】(1)1300；； (2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 84．列方程解应用题： 为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从地到地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 85．列方程解应用题 无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？ 【答案】件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键． 设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：，解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：1名快递员平均每天可配送包裹件． 86．列方程解应用题： 某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个． 87．某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，利用工作时间工作总量工作效率，可列出关于的分式方程即可， （2）设安排甲公司工作天，则乙公司工作天，根据安装总费用不超过22600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作天，则乙公司工作天， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为13． 答：最多安排甲公司工作13天． 88．北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 【答案】0.575吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系． 【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨， 则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨． 由题意可得， ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． ． 答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨． 89．列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 【答案】天 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意得：， 即 两边同时乘以 得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：规定时间为天． 90．某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 【答案】求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 【分析】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解． 【详解】解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词． 由题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以． 答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 91．2023年8月29日华为系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在和网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，测得网络环境下载的速度是网络环境下载速度的倍，问该用户在网络环境下载文件的速度是每秒多少兆? 【答案】该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆 【分析】设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比网络环境下载的时间少105秒，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该用户在网络环境下载文件的速度是每秒兆，则在网络环境下载文件的速度是每秒兆，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：该用户在网络环境下载文件的速度是每秒92兆． $$