专题08 勾股定理（考题猜想57题 24种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题08 勾股定理（考题猜想57题 24种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 已知两边求第三边 · 直角三角形已知一边和另外两边关系求第三边 · 已知三角形三边长求面积 · 毕达哥拉斯的砖问题 · 赵爽弦图 · 勾股定理的证明 · 立体图形中的最短路径问题 · 直角三角形加角平分线构造两边之和 · 用勾股定理表示三条线段关系 · 垂直平分线与勾股定理 · 利用勾股定理表示无理数 · 利用勾股定理求面积 · 梯子问题 · 旗杆高度问题 · 折树问题 · 水杯中筷子问题 · 航行问题 · 河宽问题 · 台风影响问题 · 蒹葭问题 · 勾股定理综合应用 · 直角三角形的判定 · 利用勾股定理逆定理求解 · 勾股定理逆定理的应用 一、已知两边求第三边（4个小题） 1．直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．144 【答案】C 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理的变形公式可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理． 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．7 C．5或 D．7或25 【答案】D 【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得42+32=，所以=25； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得=42-32，所以=7； 故=25或7 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是是利用分类讨论的思想求解． 3．已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是， ∴另一条直角边的长为． 4．如图，在中，，于D，，，求的长． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，利用三角形面积求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形面积公式，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 二、直角三角形已知一边和另外两边关系求第三边（1个小题） 5．已知：如图，在中，，，，    求 (1)的长； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于D，利用勾股定理分别求出和的长，即可求解； （2）利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：过点A作于D，如图：    ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴ ∴． （2）在中， ． 【点睛】本题考查了勾股定理和含30 度角直角三角形的性质，在直角三角形中，30 度角所对的直角边长度等于斜边的一半． 三、已知三角形三边长求面积（2个小题） 6．文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1)；见解析； (2)． 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； 过点作于点，利用勾股定理即可求解； （）连接，由勾股定理得，最后由即可求解； 本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； 如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）连接，如图，    ∵，，， ∴， 在 中，， ∴， ∴该四边形的面积为． 7．【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1) (2)有，见解析 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积． 【详解】（1）解：，，， ， ， 即的面积为； （2），，， ，，， ， ， ． 四、毕达哥拉斯的砖问题（5个小题） 8．直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，掌握勾股定理是解题的关键，分别表示出对应图形的，再结合进行逐一判断即可． 【详解】解：图①中，由等边三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图①符合题意； 图②中，由半圆的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图②符合题意； 图③中，由等腰直角三角形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图③符合题意； 图④中，由正方形的面积计算公式可得， 由勾股定理得， ∴，故图④符合题意； 故选：D 9．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 10．如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由，得到，进而得到，由，，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出，，从而得到，判断出是等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：1． 12．如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 五、赵爽弦图（2个小题） 13．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 14．如下图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∵每一个直角三角形的面积为：， 故选：C． 六、勾股定理的证明（2个小题） 15．解答 (1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．    (2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 ， 为底，以 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (2)验证见解析 【分析】（1）根据题意分别用文字和符号描述出勾股定理即可； （2）根据题意可知，可得，进而求得，利用整理可得验证出勾股定理． 【详解】（1）文字语言叙述：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方， 符号语言叙述：； （2）， ， 又， ， ， ， ， 整理，得 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的计算与证明，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 16．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就． 运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： “赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为和，且；最长的那条边叫做斜边，边长为）围成一个边长为的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形． (1)验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴． 化简等号右边的式子可得∴_______． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程． 【答案】(1)a2+b2； (2)见解析 【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案； （2）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×ab+（b-a）2， ∴c2=4×ab+（b-a）2． 化简等号右边的式子可得c2=a2+b2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：a2+b2； （2）如图4， ∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2， 大的正方形的面积又可以表示为c2+4×ab， ∴c2+2ab=a2+b2+2ab， ∴a2+b2=c2． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”． 七、立体图形中的最短路径问题（2个小题） 17．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴． 故答案为：． 18．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点所经过的最短路线长为(       ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径． 【详解】解：如图所示， 此时： ； 此时， 此时， ∵ ∴为最短路径． 故选：C． 【点睛】此题考查平面的最短路径问题，关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度． 八、直角三角形加角平分线构造两边之和（2个小题） 19．如图，中，，平分，交于点，于，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由角平分线的性质得到，再证明，得到长，再根据勾股定理解出，设，则，由勾股定理得求出长． 【详解】解：，，平分， ， 在与中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各种性质定理是解题的关键． 20．如图，在中，，，．AD平分交BC于点D． （1）求BC的长； （2）求CD的长． 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6， ∴BC=； （2）作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠CAB， ∴DE=DC， ∵S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴×10×DE+×6×CD=×6×8， ∴CD=3． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 九、用勾股定理表示三条线段关系（5个小题） 21．在中，于点D，E为的中点，连接，与交于点F，过点E作，与的延长线交于点N，连接． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）延长至M使，连接、，证明，得到，，再证明是直角三角形，由垂直平分线的性质，得到，最后利用勾股定理，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： （2）解：，证明如下： 如图，延长至M使，连接、， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ，E为中点， ， 在直角三角形中，， ． 22．已知等边，点、点位于直线异侧，． (1)如图1，当点在的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段，，之间的数量关系：I．；II．，其中正确的是________（填“I”或“II”）； (2)如图2，当点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中线段，，之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由． 【答案】(1)①详见解析；②II； (2)成立；理由详见解析． 【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质 （1）①以点C为圆心，为半径，画弧交的延长线于一点D，即根据要求作出图形即可； ②证明，，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可； （2）结论：．如图2中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．根据旋转性质．证明，推出，根据勾股定理列式可得结论． 【详解】（1）解：①正确补全图形； ②∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．故Ⅰ错误． ∵， ∴， ∴，， ∴，故Ⅱ正确， （2）解：成立； 证明：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． ，， 是等边三角形． ，． 是等边三角形， ，． ， ． 即． ． ，． ． 在中，． ． 23．如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明； （2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明． 【详解】证明：（1）如下图所示，标出，，． ∵，， ∴，． ∵和是对顶角， ∴． ∴，即． （2）在（1）中图延长交延长线于点． 由（1）可知，即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． ∵，即， ∴． ∴． 由（1）可知，即． 在和中，， ∵ ∴． ∴． ∴ ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用． 24．在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)①见解析；②； (2)； 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据，得到，根据，得到，，即可得到证明；②在上截取，证明，结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过D作，先证明，得到，即可得到答案； 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：在上截取， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，， ∵， ∴； （2）解：图形如图所示，，理由如下， 过D作， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 25．已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）证明得到，即可证明； （2）如图所示，连接，设交于G，先由等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，可推出，由勾股定理得到，再由，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，设交于G， ∵，，点H为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 十、垂直平分线与勾股定理（2个小题） 26．已知，，是中点，过点作交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和勾股定理，根据垂直平分线可以得到，然后根据勾股定理求出长是解题的关键． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，灵活运用知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出AE，再由线段垂直平分线的性质得到BE=AE即可． 【详解】解：在中， ， 垂直平分 故答案为：13． 十一、利用勾股定理表示无理数（2个小题） 28．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（    ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 29．如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键． 如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 十二、利用勾股定理求面积（2个小题） 30．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是（　　） A．48 B． C．96 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，得出是解答此题的关键．先连接、、，过点作于，根据得出，由直角三角形的性质可得出的值，进而可得出的面积． 【详解】解：连接、、，过点作于， \ ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 31．在中，，，，则的面积为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查直角三角形性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可以画出相应的图形，然后根据勾股定理，可以求得的长，从而可以求得的长，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 即的长为2或4， 所以或， 故答案为：或． 十三、梯子问题（2个小题） 32．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米， 由题意列方程为：， 解方程得， 答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米． 33．如图，将长为5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，的距离为3米． (1)若梯子的上端A下滑2m，那么梯子的下端B向左滑了 　 　米． (2)若梯子的上端A下滑xm，那么梯子的下端B向左滑ym，请用含x的代数式表示y并写出x的取值范围． 【答案】(1)) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出长，再根据梯子的上端A下滑2m后，求出的长，从而得到答案； （2）由勾股定理得，再化简整理即可． 【详解】（1）解：在中， ， 若梯子的上端A下滑2m， 则，， ， ∴, 故答案为：) （2）由题意得：， 即， ∴，x的取值范围为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 十四、旗杆高度问题（3个小题） 34．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设米， 米，米， （米，米， 在中，米，米，米， 根据勾股定理得：， 解得：， 则秋千的长度是5米． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 35．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴米， ∴米． 故绳结离地面米高． 36．《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】设绳子，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设绳子，则． 由勾股定理，得． 解得：． 答：绳子AC的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 十五、折树问题（2个小题） 37．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为 尺．    【答案】4.55 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即， 解得：，即的长为4.55尺； 故答案为：4.55． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键． 38．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子3尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有x尺的竹子，则可列方程为 ．（注：1丈=10尺） 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的方程思想是解题的关键，学会数形结合将实际转化成数字问题． 十六、水杯中筷子问题（2个小题） 39．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 选项D不符合题意， 故选：D 40．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 十七、航行问题（2个小题） 41．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 又∵（海里），（海里）， 在Rt中，（海里） ∴此时两舰的距离是海里． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键． 42．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 【答案】25 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 十八、河宽问题（1个小题） 43．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【分析】由勾股定理即可完成． 【详解】在Rt△ABC    中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得： (m) 即A、B两点间的距离为m． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理． 十九、台风影响问题（1个小题） 44．如图，公路和公路在点处交汇，且，点A处有一所中学，．假设汽车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为8秒 【分析】过点A作于点B，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间． 【详解】解：如图，过点A作于点B， ∵，， ∴， ∵， ∴学校会受到噪音的影响； 设从点E开始学校学到影响，点F结束，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵汽车的速度为， ∴受影响的时间为： 【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点． 二十、蒹葭问题（2个小题） 45．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 46．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【答案】水深尺，芦苇长尺 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 二一、勾股定理综合应用（3个小题） 47．如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，，再证明，得到，，由平行线的性质得到，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．如图，中，，，的垂直平分线交于D．交于E，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)的长为8 (2)的长为 【分析】对于（1），连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据含直角三角形的性质得，即可得出，及，然后说明 ，最后根据直角三角形的性质得出答案； 对于（2），根据勾股定理可得答案. 【详解】（1）连接， ∵ ∴. ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； （2）在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是构造直角三角形． 49．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度． 【答案】1 【分析】由勾股定理可求CD＝1，由“AAS”可证△BFD≌△ACD，可得CD＝DF＝1． 【详解】解：∵AD和BE是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°． ∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°． ∴∠DAC ＝∠DBF． ∵∠ABC＝45°， ∴∠DAB＝45°． ∴∠ABC＝∠DAB． ∴DA＝DB．    在△ADC与△BDF中， ∴△ADC≌△BDF（ASA）． ∴AC＝BF＝． 在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，    ∴BD2＋DF2＝BF2． ∵BD＝2，BF＝， ∴DF＝1       【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 二二、直角三角形的判定（4个小题） 50．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 51．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，3，4 C．3，4，5 D．4，4，4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意利用“”逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，故A选项不能组成直角三角形， ∵，故B选项不能组成直角三角形， ∵，故C选项能组成直角三角形， ∵，，故D选项不能组成直角三角形， 故选：C． 52．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 53．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A,B选项正确； ∴，故C选项错误； 设点到直线的距离是，则， ∴，故D选项正确 故选：C． 二三、利用勾股定理逆定理求解（2个小题） 54．如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关的定理．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形的面积为． 55．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 二四、勾股定理逆定理的应用（2个小题） 56．我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 57．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． $$专题08 勾股定理（考题猜想53题 24种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 已知两边求第三边 · 直角三角形已知一边和另外两边关系求第三边 · 已知三角形三边长求面积 · 毕达哥拉斯的砖问题 · 赵爽弦图 · 勾股定理的证明 · 立体图形中的最短路径问题 · 直角三角形加角平分线构造两边之和 · 用勾股定理表示三条线段关系 · 垂直平分线与勾股定理 · 利用勾股定理表示无理数 · 利用勾股定理求面积 · 梯子问题 · 旗杆高度问题 · 折树问题 · 水杯中筷子问题 · 航行问题 · 河宽问题 · 台风影响问题 · 蒹葭问题 · 勾股定理综合应用 · 直角三角形的判定 · 利用勾股定理逆定理求解 · 勾股定理逆定理的应用 一、已知两边求第三边（4个小题） 1．直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．144 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．7 C．5或 D．7或25 3．已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 4．如图，在中，，于D，，，求的长． 二、直角三角形已知一边和另外两边关系求第三边（1个小题） 5．已知：如图，在中，，，，    求 (1)的长； (2)． 三、已知三角形三边长求面积（2个小题） 6．文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 7．【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 四、毕达哥拉斯的砖问题（5个小题） 8．直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是（     ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④ 9．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 10．如图所示，在中，，，平分交于点，于点，若的周长为，则的长为 cm． 11．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ． 12．如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 五、赵爽弦图（2个小题） 13．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 14．如下图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 六、勾股定理的证明（2个小题） 15．解答 (1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．    (2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 ， 为底，以 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．    16．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就． 运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： “赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为和，且；最长的那条边叫做斜边，边长为）围成一个边长为的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为的小正方形． (1)验证过程：大正方形的面积可以表示为，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为，∴． 化简等号右边的式子可得∴_______． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． (2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程． 七、立体图形中的最短路径问题（2个小题） 17．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 18．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点所经过的最短路线长为(       ） A． B． C． D．以上都不对 八、直角三角形加角平分线构造两边之和（2个小题） 19．如图，中，，平分，交于点，于，若，，则的长为 ． 20．如图，在中，，，．AD平分交BC于点D． （1）求BC的长； （2）求CD的长． 九、用勾股定理表示三条线段关系（5个小题） 21．在中，于点D，E为的中点，连接，与交于点F，过点E作，与的延长线交于点N，连接． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 22．已知等边，点、点位于直线异侧，． (1)如图1，当点在的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段，，之间的数量关系：I．；II．，其中正确的是________（填“I”或“II”）； (2)如图2，当点不在的延长线上时，连接，判断（1）②中线段，，之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由． 23．如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证： （1）； （2）． 24．在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 25．已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 十、垂直平分线与勾股定理（2个小题） 26．已知，，是中点，过点作交于点．若，，求的长． 27．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ． 十一、利用勾股定理表示无理数（2个小题） 28．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（    ） A．2.2 B． C． D． 29．如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A． B． C． D． 十二、利用勾股定理求面积（2个小题） 30．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，垂足分别是、、，，，，则的面积是（　　） A．48 B． C．96 D． 31．在中，，，，则的面积为 ． 十三、梯子问题（2个小题） 32．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 33．如图，将长为5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，的距离为3米． (1)若梯子的上端A下滑2m，那么梯子的下端B向左滑了 　 　米． (2)若梯子的上端A下滑xm，那么梯子的下端B向左滑ym，请用含x的代数式表示y并写出x的取值范围． 十四、旗杆高度问题（3个小题） 34．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 35．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 36．《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺；牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？即：如图，在中，，，，求的长． 十五、折树问题（2个小题） 37．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度的长为 尺．    38．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子3尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有x尺的竹子，则可列方程为 ．（注：1丈=10尺） 十六、水杯中筷子问题（2个小题） 39．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 40．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 十七、航行问题（2个小题） 41．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 42．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 十八、河宽问题（1个小题） 43．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 十九、台风影响问题（1个小题） 44．如图，公路和公路在点处交汇，且，点A处有一所中学，．假设汽车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？ 二十、蒹葭问题（2个小题） 45．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ． 46．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 二一、勾股定理综合应用（3个小题） 47．如图，在中，，平分，于点，若，，求的长． 48．如图，中，，，的垂直平分线交于D．交于E，． (1)求的长． (2)求的长． 49．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度． 二二、直角三角形的判定（4个小题） 50．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 51．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，3，4 C．3，4，5 D．4，4，4 52．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 53．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 二三、利用勾股定理逆定理求解（2个小题） 54．如图，在中，，，，，，求四边形的面积． 55．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 二四、勾股定理逆定理的应用（2个小题） 56．我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 57．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ． $$