专题07 尺规作图与轴对称（考题猜想39题 11种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题07 尺规作图与轴对称（考题猜想39题 11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 作垂直平分线 · 作垂线 · 作角的平分线 · 作一个角等于已知角 · 作三角形 · 写出命题的逆命题 · 轴对称图形的识别 · 画轴对称图形 · 设计轴对称图形 · 折叠问题 · 求对称轴的条数 一、作垂直平分线（5个小题） 1．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（    ） A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 【答案】C 【分析】根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可． 【详解】解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意； B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意； C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB， ∴PA+PC= PB+PC= BC，故该选项正确，符合题意； D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上， ∴PA=PC， 不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质． 2．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作斜边的垂直平分线，分别交于D、E，连接（不写作法，保留作图痕迹）；由作图可知，，依据是：_________； (2)在（1）的条件下，若，则与的数量关系是：_________，依据是：_________； (3)请你用直尺和圆规在斜边上求作一点T，使点T到边的距离等于线段的长（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见解析，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (3)详见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作法和性质可得； （2）根据角平分线的判定定理可得； （3）作的平分线，作的垂直平分线，则点T即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求直线； ，依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：， 依据是：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （3）解：如图所示，点T即为所求作． 其中，平分，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点T到的距离等于线段的长． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作法，角平分线的判定和性质以及作法，解题的关键是将两者结合起来，解决（3）中的问题． 3．如图，在中，，． (1)作线段的垂直平分线交于点，交于点，要求：不写作法，保留作图痕迹； (2)连接，则的度数为______． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）分别以点为圆心，相同的长度为半径画弧，前后弧相交于两点，过这两点作直线，直线即为所求； （）由垂直平分线的性质得到，进而得到，由，，得到，利用角的和差关系即可求解； 本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，．    (1)用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) (2)若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点P，得； （2）由角平分线判定定理得．由等边对等角，得，于是，得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P． 由中垂线定理，得    （2）解：由题意，得， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键． 5．如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中；求的度数． 解：∵垂直平分线段， ∴，（_________）（填推理依据） ∴，（__________）（填推理依据） ∵，∴， ∵， ∴__________， ∴__________， ∵平分， ∴__________． 【答案】（1）①图见解析；②图见解析；（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，等边对等角，110，80，40． 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； ②先连接，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得． 【详解】解：（1）①作边的垂直平分线交于点，交于点如图所示： ②连接，作的平分线交于点如图所示： （2）∵垂直平分线段， ∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴，（等边对等角） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键． 二、作垂线（3个小题） 6．如图，点O在直线l外，点A在直线l上，连接．选择适当的工具作图． (1)在直线l上作点B，使得于点B； (2)连接； (3)在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接； (4)在，，中，线段 最短，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)；垂线段最短 【分析】本题考查作图-基本作图，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）作直线即可； （2）连接即可； （3）在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接即可； （4）根据垂线段最短即可． 【详解】（1）解：如图，点B即为所求； （2）解：如图，连接即可； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：根据垂线段最短可知，线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 7．已知：如图1，点D，E，F分别是线段上的点，． (1)猜想与的数量关系，并证明． (2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N． ①补全备用图； ②若，求的大小． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算、基本作图等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可证明结论； （2）①根据角平分线和垂线的作图步骤作图即可；②由平行线的性质求出，由垂线的定义，则，又由角平分线的定义即可得到． 【详解】（1）， 证明：∵． ∴， ∵ ∴， ∴ （2）①补全备用图如下： ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点M， ∴， ∴ 8．已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， 即， 故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；；． 三、作角的平分线（5个小题） 9．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键在于熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：， 由作图过程可知：平分，故①正确； ∵ 点在的垂直平分线上，故②正确； ∴，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 10．如图，已知锐角，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题． (1)画法： ①画的角平分线，在射线上任意取一点E， ②过点E画，交射线于点G． (2)问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与相等的角．直接写出两个即可．（除外） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图，作一个角等于已知角，角平分线的意义及平行线的性质， （1）①以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交于点G，F，分别以点G，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线即可，再根据题意找出点E；②作，使的边交于点G即可； （2）由角平分线的意义和平行的性质即可求解； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）①如图，即为所求； ②如图，即为所求； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴图形中与相等的角有． 11．如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴_________． ∵平分， ∴． ∴． ∴_________． 在中，， ∴（____________________________________________）（填推理依据）． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论． 此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，根据性质进行正确推理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）． ∴． 故答案为：；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 12．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据角平分线的作法作出即可； （）由，，得到，根据角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】(1)补图见解析； (2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证； 本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 四、作一个角等于已知角（6个小题） 14．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【分析】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定方法，熟练掌握作图是解题的关键．根据作法得到，再根据全等三角形的判定方法即可得到答案． 【详解】解：根据作法得到， 故由可得， 故选A． 15．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 16．如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴即， ∴． 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 17．如图，在中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作，与边交于点E．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据作一个角等于已知角进行作图，根据同位角相等，两直线平行即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 所以作交AC于E点， 作法：①以点B为圆心，适当长度为半径，画弧，交于G，交于F， ②以点D为圆心，同样的长度为半径，画弧，交于M， ③以点M为圆心，的长为半径画弧，与前弧交于点N，连接并延长交于E点， 如图所示：为所作． 【点睛】本题考查了尺规作图及平行线的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 18．下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交于点； ②分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ③连接 ； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面证明． 证明：连接CD． 在和中， ， ∴（____________）（填推理理由）． ∴（____________）（填推理理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据作图步骤作图保留作图痕迹即可； （2）填写全等判定方法，及全等性质即可． 【详解】（1） （2）证明：如下图所示连接 ． 在和中， ， ∴（ SSS ）（填推理理由）． ∴（全等三角形的对应角相等）（填推理理由） 【点睛】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，关键是掌握作图中依据的全等原理，构造全等三角形从而得到相等的角． 19．尺规作图：已知，， 求作，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】先作，再作，结合图形即可得出． 【详解】解：先作，再作， ∴， 即为所求． 【点睛】题目主要考查作一个角等于已知角及角的差，熟练掌握作一个角等于已知角是解题关键． 五、作三角形（3个小题） 20．小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段，作出等边（点在线段上方），再作的角平分线交于； (2)补全证明过程（写出结论依据）： 由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（________），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 【答案】(1)画图见解析 (2)等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合 【分析】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）先作等边三角形，再作的角平分线即可； （2）由等腰三角形的三线合一可得垂直平分，进一步可得结论． 【详解】（1）解：如图所示：，线段即为所求； （2）由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 21．已知：线段m、n；求作：分别以线段m、n为斜边和直角边的直角三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见详解 【分析】先作，在射线上截取，再以C为圆心，以为半径画弧交射线于B，连接，则 即为所求． 【详解】解：如图， 即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—画三角形，画线段，画垂线，熟知相关作图方法是解题的关键． 22．已知：如图1，线段a，b（）． （1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a． 作法：①作线段． ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． ③在MN上取一点C，使． ④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； （2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长． 作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝ ． ④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）b，a，见解析 【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可； （2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可． 【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形； （2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝b． ④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 如图，PEF就是所求作的等腰三角形． 故答案为：b，a． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键． 六、写出命题的逆命题（3个小题） 23．已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 【答案】假 【分析】本题考查了命题及其逆命题，全等三角形的性质，正确写出逆命题是解题关键． 【详解】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题为“两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”， 两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等， 这个命题的逆命题为假命题， 故答案为：假． 24．命题 “等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）． 【答案】 等角对等边 真命题 【分析】先写出其逆命题，再判定即可． 【详解】解： “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题． 故答案为：等角对等边，真命题． 【点睛】要根据逆命题的定义，写出逆命题，结合三角形的性质来判断命题的真假． 25．命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 ． 【答案】见解析. 【分析】把命题用如果，那么的形式重新改写，交换题设和结论就得到逆命题. 【详解】∵到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 即如果一个点到线段两个端点距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上； ∴它的逆命题是“如果一个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点距离相等”， 故答案为：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. 【点睛】本题考查了命题和逆命题的关系，解答时，熟记命题的基本结构是解题的关键. 七、轴对称图形的识别（3个小题） 26．下面图形中，是轴对称图形的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形．解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的特征及定义逐一判断． 【详解】③④为轴对称图形，①②不具备对称性． 故选：A． 27．下面四个图形是“志远意诚，思方行圆”中某个字的小篆体，其中最接近轴对称图形的汉字是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：A，B，C选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 28．榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，故符合要求； D中不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 八、画轴对称图形（3个小题） 29．如图所示，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个格点三角形与成轴对称． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解析：如图所示， 最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：A． 30．在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并画出对称轴． 【答案】见解析 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解； 【详解】与成轴对称的格点三角形如图所示：即为所求． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 31．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），在直线的左侧，其三个顶点，，分别在网格的格点上. （1）请你在所给的网格中画出，使和关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得最小，请画出点；（用虚线保留画图痕迹） （3）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积.    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）分别作出，，关于直线的对称点，顺次连接即可； （2）连接与直线交于点，此时最小； （3）的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积. 【详解】解：（1）如图所示，和关于直线对称；    （2）如图，连接与直线交于点，此时最小；    （3）的面积==. 【点睛】本题考查了轴对称的有关知识，掌握轴对称的作图及性质是解题的关键. 九、设计轴对称图形（2个小题） 32．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的特征直接画图即可 【详解】如图所示 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 33．如图1为形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成.请以形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下： （1）每个图形由两个形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.   （2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种.    【答案】见详解. 【分析】根据轴对称的图形的定义及题中要求设计即可. 【详解】解：如图，即为所求作的轴对称图形.    【点睛】本题考查了轴对称图形，灵活的利用轴对称图形的定义画轴对称图形是解题的关键. 十、折叠问题（4个小题） 34．如图，将一张四边形纸片沿对角线翻折，点恰好落在边的中点处．设，分别为和的面积，和数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可知，根据中点的性质可知的面积和的面积相等，进而求出与数量关系． 【详解】解：∵由折叠可知 ∴ ∵点恰好是的中点 ∴ ∵的面积为，的面积是 ∴ 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的关键． 35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，将∠C沿DE向三角形内折叠，使点C落在△ABC的内部，如图，则∠1+∠2=（　　） A．90° B．135° C．180° D．270° 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得∠C′ED=∠CED，∠C′DE=∠CDE， 由三角形内角和定理可得，∠CED+∠CDE=180°-∠C=90°， ∴∠C′EC+∠C′DC=2（180°-∠C）， ∴∠1+∠2=360°-（∠C′EC+∠C′DC）=360°-2（180°-∠C）=2∠C=180°． 故选C. 考点：1.三角形内角和定理；2.翻折变换（折叠问题）． 36．如图，是一张直角三角形的纸片，，现在小牧将三角形纸片折叠三次．第一次折叠使得点落在点处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点落在点处；再将纸片展平之后，再做第三次折叠，使得点落在点处．这三次折叠的折痕长度依次记为，请你比较的大小，并用不等号连接 ． 【答案】 【分析】由第一次折叠得：是线段的垂直平分线，再由中位线定理的推论可知：是的中位线，得出的长度，即的长；由第二次折叠可得：是的中位线，得出的长，即的长；由第三次折叠可得：是线段的垂直平分线，得出的长，再利用两角对应相等证明，利用比例式可求的长，即的长． 【详解】解：第一次折叠如图所示，折痕为 由折叠得到： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 第二次折叠如图所示，折痕为 由折叠可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 第三次折叠如图所示，折痕为 由勾股定理得： ∵， ∴ 由折叠可得：， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的问题，折叠是一种对称变化，它属于轴对称．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确折痕所折线段的垂直平分线，准确找出中位线是解题的关键． 37．如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于 （用含α、β表示）． 【答案】 【分析】根据翻转变换的性质得到，，根据三角形的外角的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴由折叠的性质可知，，， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 十一、求对称轴的条数（2个小题） 38．下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可． 【详解】解：A、对称轴是3条，本选项不符合题意； B、对称轴是4条，本选项符合题意； C、对称轴是2条，本选项不符合题意； D、对称轴是6条，本选项不符合题意； 故选：C． 39．下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：对于A选项，等腰三角形只有一条对称轴，故符合题意； 对于B选项，等边三角形有三条对称轴，故不符合题意； 对于C选项，长方形有两条对称轴，故不符合题意； 对于D选项，正五边形有五条对称轴，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． $$专题07 尺规作图与轴对称（考题猜想39题 11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 作垂直平分线 · 作垂线 · 作角的平分线 · 作一个角等于已知角 · 作三角形 · 写出命题的逆命题 · 轴对称图形的识别 · 画轴对称图形 · 设计轴对称图形 · 折叠问题 · 求对称轴的条数 一、作垂直平分线（5个小题） 1．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（    ） A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求 C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求 2．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作斜边的垂直平分线，分别交于D、E，连接（不写作法，保留作图痕迹）；由作图可知，，依据是：_________； (2)在（1）的条件下，若，则与的数量关系是：_________，依据是：_________； (3)请你用直尺和圆规在斜边上求作一点T，使点T到边的距离等于线段的长（不写作法，保留作图痕迹）． 3．如图，在中，，． (1)作线段的垂直平分线交于点，交于点，要求：不写作法，保留作图痕迹； (2)连接，则的度数为______． 4．如图，在中，．    (1)用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹) (2)若(1)的点P到的距离相等，求的度数． 5．如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中；求的度数． 解：∵垂直平分线段， ∴，（_________）（填推理依据） ∴，（__________）（填推理依据） ∵，∴， ∵， ∴__________， ∴__________， ∵平分， ∴__________． 二、作垂线（3个小题） 6．如图，点O在直线l外，点A在直线l上，连接．选择适当的工具作图． (1)在直线l上作点B，使得于点B； (2)连接； (3)在直线l上取一点C（不与A，B重合），连接； (4)在，，中，线段 最短，依据是 ． 7．已知：如图1，点D，E，F分别是线段上的点，． (1)猜想与的数量关系，并证明． (2)用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N． ①补全备用图； ②若，求的大小． 8．已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 三、作角的平分线（5个小题） 9．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，已知锐角，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题． (1)画法： ①画的角平分线，在射线上任意取一点E， ②过点E画，交射线于点G． (2)问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与相等的角．直接写出两个即可．（除外） 11．如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴_________． ∵平分， ∴． ∴． ∴_________． 在中，， ∴（____________________________________________）（填推理依据）． ∴． 12．如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，连接，求证：． 13．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 四、作一个角等于已知角（6个小题） 14．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 15．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 16．如图，已知与上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　）    A． B． C． D． 17．如图，在中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作，与边交于点E．（保留作图痕迹） 18．下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交于点； ②分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ③连接 ； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面证明． 证明：连接CD． 在和中， ， ∴（____________）（填推理理由）． ∴（____________）（填推理理由）． 19．尺规作图：已知，， 求作，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹） 五、作三角形（3个小题） 20．小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段，作出等边（点在线段上方），再作的角平分线交于； (2)补全证明过程（写出结论依据）： 由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（________），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 21．已知：线段m、n；求作：分别以线段m、n为斜边和直角边的直角三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22．已知：如图1，线段a，b（）． （1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a． 作法：①作线段． ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． ③在MN上取一点C，使． ④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； （2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长． 作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝ ． ④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）． 六、写出命题的逆命题（3个小题） 23．已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 24．命题 “等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）． 25．命题“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，它的逆命题是 ． 七、轴对称图形的识别（3个小题） 26．下面图形中，是轴对称图形的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 27．下面四个图形是“志远意诚，思方行圆”中某个字的小篆体，其中最接近轴对称图形的汉字是（　　） A． B． C． D． 28．榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 八、画轴对称图形（3个小题） 29．如图所示，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出（    ）个格点三角形与成轴对称． A．6 B．5 C．4 D．3 30．在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并画出对称轴． 31．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），在直线的左侧，其三个顶点，，分别在网格的格点上. （1）请你在所给的网格中画出，使和关于直线对称； （2）在直线上找一点，使得最小，请画出点；（用虚线保留画图痕迹） （3）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出的面积.    九、设计轴对称图形（2个小题） 32．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 33．如图1为形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成.请以形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下： （1）每个图形由两个形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上.   （2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种.    十、折叠问题（4个小题） 34．如图，将一张四边形纸片沿对角线翻折，点恰好落在边的中点处．设，分别为和的面积，和数量关系是（   ） A． B． C． D． 35．已知Rt△ABC中，∠C=90°，将∠C沿DE向三角形内折叠，使点C落在△ABC的内部，如图，则∠1+∠2=（　　） A．90° B．135° C．180° D．270° 36．如图，是一张直角三角形的纸片，，现在小牧将三角形纸片折叠三次．第一次折叠使得点落在点处；将纸片展平再做第二次折叠，使得点落在点处；再将纸片展平之后，再做第三次折叠，使得点落在点处．这三次折叠的折痕长度依次记为，请你比较的大小，并用不等号连接 ． 37．如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于 （用含α、β表示）． 十一、求对称轴的条数（2个小题） 38．下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 39．下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（    ） A． B． C． D． $$