专题11 角度的综合计算与动角的探究问题（难点压轴题型分类专练）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题11 角度的综合计算与动角的探究问题 【知识考点 角】 【难点压轴题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 几何图形中角度的综合计算问题 【题型2】 与角的n等分线有关的计算问题 【题型3】 动角问题 【题型4】 角度的定值问题 【题型5】 有关三角板的旋转角问题 【题型1】 几何图形中角度的综合计算问题 1．已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 3．如图，、交于点O． （1）可得到结论：，依据是：_____（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； （2）若，的余角是的2倍，求； （3）在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 4. 如图，已知：平分，平分． （1）若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； （2）若，则与是否互补？请说明理由． 5.【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【题型2】 与角的n等分线有关的计算问题 6. 已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 7. 如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）． 8．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 9．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； （2）如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； （3）过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 10．已知下图中的均为直角． （1）如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； （2）如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型3】 动角问题 11．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法计算 12．已知O是直线上一点，是直角，平分． （1）如图1，当，求的度数； （2）如图2，平分，求的度数； （3）当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 13．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数． （2）当与重合时，求的度数． （3）当时，求的值． （4）当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 14．【思路导引】几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】（1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】（3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 15．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： （3）如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【题型4】 角度的定值问题 16．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． （1）若，，秒时，________°； （2）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 17．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． （1）若与互补，则角________； （2）若，则________； （3）是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 18．已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． （1）如图1，当与重合时，求的度数． （2）如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． （3）在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 19．（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 20．如图，点为直线上一定点，作射线． （1）如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． （2）如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 【题型5】 有关三角板的旋转角问题 21．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    （1）如图①，的度数为______度； （2）将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 22．如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数 为 ； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 23．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 24．如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． （1）如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； （2）如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． （3）若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 25．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    （1）如图1，若，求的度数； （2）将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； （3）将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 角度的综合计算与动角的探究问题 【知识考点 角】 【难点压轴题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 几何图形中角度的综合计算问题 【题型2】 与角的n等分线有关的计算问题 【题型3】 动角问题 【题型4】 角度的定值问题 【题型5】 有关三角板的旋转角问题 【题型1】 几何图形中角度的综合计算问题 1．已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】本题主考查余角和补角，由得，分别代入各选项，计算后再进行判断即可． 【解答】解：∵，且， ∴，， ∵的余角为，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴表示的余角，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴可以表示的余角，故选项C正确，不符合题意； ∵ ， ∴不是的余角，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 2．如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④． 【分析】本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概念即可判断②；说明，即可判断③；说明即可判断④．解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义． 【解答】解：①∵，， ∴，， ∴分别与、互余，故结论①错误； ②∵，， ∴， ∴ ， ∴与互补，故结论②正确； ③∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ④如图，为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ， ∴的平分线与的平分线的夹角是直角，故结论④正确； ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 3．如图，、交于点O． （1）可得到结论：，依据是：_____（直接填序号：①同角的补角相等，②同角的余角相等）； （2）若，的余角是的2倍，求； （3）在（2）的条件下，从点O引出一条射线，当时，______．（直接写出结果） 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质，角的和差计算，一元一次方程的应用： （1）根据同角的补角相等，即可得到答案； （2）设，则，根据题意列出方程，进而可得，由对顶角相等，即可得到答案； （3）分两种情况讨论：当在内时，当在内时，根据角的和差关系进行计算即可． 【解答】（1）解：，， ，判断依据是：同角的补角相等， 故答案为：①； （2）解：设，则， 由题意得：， 解得：，即， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，，， ， 设，， 当在内时， ， ， 即， 解得：， ； 当在内时， ， ， 即， 解得：， 综上， 或， 故答案为：或． 4. 如图，已知：平分，平分． （1）若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； （2）若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【解答】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 5.【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）探索与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得，，进而得，，然后根据同角的余角相等可得出答案； （2）由，得，，则，然而；据此可得与之间的数量关系； （3）先由得，进而得，据此可得与之间的数量关系． 【解答】解：（1），理由如下： 依题意得：，， ，， ． （2）与之间的数量关系：，理由如下： ，， ，， ， ， 又， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： ，， 又， ， 即：， ． 【题型2】 与角的n等分线有关的计算问题 6. 已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【解答】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 7. 如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据，，得到，进而 得到，根据是的平分线，得到，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴；故④正确； 故答案为：①②④． 8．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【解答】解：如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 9．点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； （2）如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； （3）过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【解答】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或． 10．已知下图中的均为直角． （1）如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； （2）如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【解答】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 【题型3】 动角问题 11．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C． 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【解答】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 12．已知O是直线上一点，是直角，平分． （1）如图1，当，求的度数； （2）如图2，平分，求的度数； （3）当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用： （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分三总情况：①时，时，③时，分别计算可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ ， ∴； ②时， 由题意得， ∴ ， ∴； 综上所述，． 13．如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． （1）当时，求的度数． （2）当与重合时，求的度数． （3）当时，求的值． （4）当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【解答】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 14．【思路导引】几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的． 【问题情境】已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动． 【特例感知】（1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数； （2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示） 【探索发现】（3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论思想，观察图形得出角之间的数量关系是解题的关键。 （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）根据角平分线的定得出，即可得出，从而求出的度数。 （3）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据图形分情况讨论计算即可 【解答】解：（1）射线是的角平分线， ， ， ， ； （2）射线平分，射线平分∠BOE， ， ， ； （3）如图3， ，， ， 平分， ， ， ； 如图4， ，， ， 平分， ， ， ； 如图5， ，， ， 平分， ， ， ； 综上，的度数为或或． 15．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． （1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） （2）如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： （3）如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可。 【解答】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：。 【题型4】 角度的定值问题 16．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． （1）若，，秒时，________°； （2）如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出 秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】见解析 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【解答】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分， ， 与始终互余， ， ， ， ， ，化简得． 17．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． （1）若与互补，则角________； （2）若，则________； （3）是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （2）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （3）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 18．已知，三角形纸板可以绕点O在内任意旋转，且始终保持平分，平分． （1）如图1，当与重合时，求的度数． （2）如图2，当三角形纸板绕点O在内旋转时，请判断的大小是否会随的位置的变化发生改变？并说明理由． （3）在三角形纸板旋转过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，等量代换及准确识图是解题的关键．注意使用分类讨论思想． （1）通过平分，平分，，分别求出，即可求解； （2）通过平分，平分，表示出由即可求解； （3）由（2）结合可得，分在右侧，在左侧两种情况讨论即可． 【解答】（1）解： 与重合，，平分， ． ，平分， ， ； （2）不会随位置的变化发生改变． 理由：平分， 平分， ， 故不会随位置的变化发生改变； （3）由（2）可知，，，， ， ． 如图1， 当在右侧时，． ， ． 如图2， 当在左侧时，， ， ． 综上所述，的度数为或． 19．（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算； （1）由角平分线得、，再相加即可； （2）用已知来分别表示、，再根据计算即可； （3）根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据（2）的思路解答即可． 【解答】解：（1）∵，仍然是，的平分线，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴，， ，仍然是，的平分线， ∴，， ∴ ； （3）不变，如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，即为第（2）小问，此时， ； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变． 20．如图，点为直线上一定点，作射线． （1）如图1，当射线在直线的下方时，在直线的同侧作射线，使．将射线绕着点逆时针旋转得到射线． ①若时，求的度数． ②当时，若，求的值． （2）如图2，若，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为．在旋转过程中，同时将射线绕着点逆时针旋转得到射线，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值．（本题中研究的角均为大于且小于的角） 【答案】见解析 【分析】（1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②当时，互相重合，当时或当时，得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）先找出临界值：当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，；当秒时，射线与射线重合，然后分四种情况讨论即可． 【解答】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为； ②当时，互相重合， 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴的值为或； （2）解：∵，射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为， 则（秒）， 当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 此时， 即当秒时，； 当时，（秒）， 即当秒时，； 当秒时，射线与射线重合， 可分以下几种情况： ①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴（定值）； ②当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴（非定值）； ③当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴（定值）； ④当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，， ∴，，， ∴， ， ， ∴（非定值）； 综上所述，当时，对应的定值为；当时，对应的定值为． 【题型5】 有关三角板的旋转角问题 21．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    （1）如图①，的度数为______度； （2）将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）根据图形计算即可求解； （2）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解答】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 22．如图1，已知，点O为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，求的度数； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数 为 ； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算： （1）利用角的和差关系进行计算即可； （2）利用角的和差关系，结合角平分线的定义，求解即可； （3）设，得到，两角相减即可得出结果； （4）分三种情况，画出图形，利用角的和差关系计算即可． 【解答】（1）解：由题意，得：，， 故答案为：120，150； （2）∵恰好平分， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， 故答案为：； （4）在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，有三种情况， ①当在内部，在下方时，如图： ， ②当都在内部时，如图： ， ③当在内部，在内部时，如图： 设，则，， ∴， 综上分析与的数量关系有三种：或或． 23．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． （1）求图1中的度数； （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【解答】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 24．如图，在平面内有直线和直角三角板，点在直线上，，如果将三角板移动使得直角顶点与点重合． （1）如图若，当直角三角板的边与重合时，则______； （2）如图若，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． （3）若，将直角三角板绕点转动到某个位置，若恰好平分，直接写出的度数（用含的式子表达），并画出草图． 【答案】见解析 【分析】（1）画出图像,结合图形即可求解； （2）分情况讨论，分别作出当在外时和当在内时的图形，结合图形逐步分析即可得出和的数量关系； （3）分别作出当在内时和当在外时的图形，根据恰好平分可得，，根据角的关系即可用来表示的度数． 【解答】（1）解：如下图所示： 此时， 故答案为：． （2）解：如图所示： 当在外时， 有， ，， ； 当在内时， ， ， ， ． 故或． （3）解：如图所示： 当在内时， 平分， ， 依图得：， ， ， ， ， 即； 当在外时， 平分， ， ． 综上，或． 25．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．    （1）如图1，若，求的度数； （2）将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数； （3）将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义的理解，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）分两种情况讨论：先分别画出图形，再结合角的和差运算计算即可； （3）分情况讨论，先画出图形，再结合图形与角的和差运算建立简单方程求解即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， 如图，    当时， ∴， ∴， ∴； 综上：当时，为或． （3）如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 如图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上：的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$