22.1.2二次函数的图象和性质 教学设计 2024—2025学年人教版数学九年级上册

课程基本信息 课题 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教材 人教版九年级上册 教学目标 1.经历类比一次函数的研究方法开展有条理的探究活动，能用描点法画二次函数y=ax2的图象，总结图象特征，归纳性质，发展数学应用意识 2.积累利用图象研究函数性质的经验，体会函数图象在研究函数性质中的作用，感受数形结合的思想 3.通过白主探究和小组讨论，归纳二次函数y=ax2的性质，发展敢于质疑，善于思考的科学精神以及同伴交流合作的能力 教学重点 理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象 教学难点 探索二次函数性质，尤其是分段讨论二次函数y=ax2中y随x的增大如何变化 教学过程 一、复习回顾，引入新课 问题：一次函数的图象是什么? 生：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条经过(0，b)的直线 问题：通常怎样画一个函数的图象? 生：列表，描点，连线三个步骤 (1) 列表：列出一个包含白变量和函数的表，在自变量的取值范围内随机列出一些自变量的值，通过函数解析式，求出对应的函数值 (2) 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 (3)连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线顺次连接，向两端无限延伸 设计意图：通过回忆一次函数的研究方法，让学生掌握研究函数的基本方法为本节课探究二次函数的图象和性质做了铺垫，渗透了类比的思想 二、合作探究，获取新知 像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质，结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法，我们将从最简单的二次函数y=x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质 问题：用描点法画二次函数y=x2的图象 在二次函数y=x2中，自变量x的取值范围是全体实数 (1) 列表 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ... (2) 描点 (3)连线 学生尝试画图，叫两位同学板演，教师关注学生画图情况，学生画完后在组内交流展示 师生共同观察，可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2。实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c 问题：观察二次函数y=x2的图象，你可以发现它具有哪些性质呢? 学生观察，交流分享，总结汇报 (1)y轴是抛物线y=x2的对称轴 (2)抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线的最低点 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点。 问题：进一步观察，y随x的变化如何变化呢? 学生观察，思考，交流讨论，教师启发学生从图象，点坐标的变化和列表三个方面进行分析，师生共同得出结论 从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升。也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 设计意图：通过让学生自己动手画图，观察，思考交流，总结归纳，培养学生的观察分析能力和应用能力，结合图象探究函数的性质，让学生学会数形结合的研究问题的方法 3、 例题解析，应用新知 例：在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图象 学生用描点法自主画图 y=x2 (1)列表；(2)描点；(3)连线 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y=x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... y=2x2 (1)列表；(2)描点；(3)连线 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... 问题:观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点呢? 学生观察，思考，交流汇报 共同点:三条抛物线都开口向上，对称轴都是y轴，顶点都是坐标原点，且原点是抛物线的最低点，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大 不同点：抛物线开口大小不同，抛物线的开口和 a值有关，a越大，即a越大，抛物线的开口越小 归纳：由以上三个函数的图象和性质推广到一般情况，得到二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质 一般的，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是 y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小 师：探究完a>0的情况，下面我们探究a<0的情况，同学们，根据刚才的经验，我们应从哪个函数入手比较简单呢? 生：从二次函数y=-x2的图象和性质开始探究 师：你能用描点法画出函数y=-x2的图象，再结合图象来探究性质吗? 学生尝试用列表法画图，教师关注学生画图情况 (1)列表 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x2 ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ... (2)描点 (3)连线 师：你能在刚才的坐标系中画出函数y=-x2 和y=-2x2图象吗？ 学生尝试自己画图，并在组内交流讨论 学生用描点法自主画图 y=-x2 (1)列表；(2)描点；(3)连线 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y=-x2 ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ... y=-2x2 (1)列表；(2)描点；(3)连线 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=-2x2 ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ... 问题：观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点呢? 学生观察思考，交流讨论 一般的，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是 y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小 问题：结合a>0和a<0两种情况，你能归纳出二次函数y=ax2的性质吗? 学生尝试归纳，互相补充 一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小 从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小 师：以上性质，可以用表格的形式来总结 y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 |a|越大，开口越小 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点最值 顶点（0，0）是最低点 顶点（0，0）是最高点 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 在对称轴左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y随x取值的增大而增大 在对称轴左侧，抛物线从左到右上升，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，抛物线从左到右下降，y随x取值的增大而减小 设计意图：二次函数的性质是本节课的重点，探究性质是本节课的难点，先由特殊函数的性质推广到一般情况，渗透了由特殊到一般的情况，对于每一种情况通过描点法画图再探究性质，让学生掌握了最基本的研究函数的思路和方法以图表的形式总结函数的性质，简洁明了，体现了数学的简洁美，同时使本节课的知识形成完整的知识结构 四、课堂小结 本节课我们学习了最简单的二次函数y=ax2的图像及性质，我们的研究方法是先用描点法画出函数的图像，再结合图像探究函数的性质，在探究函数性质时，重点关注四个方面：开口方向及大小，对称轴，顶点坐标，增减性 教学反思 本节课从回顾一次函数的图象及画法，逐步推广到二次函数的研究过程中，类比画一次函数图象的过程，引导学生经历列表、描点、连线三个步骤，画出二次函数的图象，然后学生根据既定图象自主探究，由y=x2和y=-x2的图象和性质推广到一般情况，得出了二次函数y=ax2 的图像及性质，渗透了由特殊到一般的思想 本节课在探究二次函数的图象和性质的过程中，本着知识问题化，问题活动化的原则，教师先提出问题，鼓励学生进行自主探究，合作交流得出结论，并通过小组讨论和展示评价的方式修正完善结论，提高了学生的学习积极性，体现了以学生为主体，教师为主导的教学 在探究轴对称的性质时，教师引导学生从表达式、表格和图形三个角度进行了验证分析，在探究增减性时，从图象，点坐标的变化和表格三方面进行了分析验证，使学生由感性认识上升到理性认识 通过本节课的学习，学生对于二次函数单元的研究方法、研究内容和研究意义有了更深的理解，为后续展开进一步的探究学习打下了良好的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$