吉林省长春外国语学校2023-2024学年下学期七年级期中数学试卷

2023-2024学年吉林省长春外国语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列漂亮的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是(    ) A. 1 B. 4 C. 7 D. 8 3.下列各数中，为不等式组解的是(    ) A. B. 0 C. 2 D. 4 4.下列四组多边形中，能密铺地面的是    ①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形． A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①②③ 5.若一个多边形的内角和与外角和之和是，则此多边形是(    ) A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形 6.我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两.问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(    ) A. AB，BC，CA B. AB，BC， C. AB，AC， D. ，，BC 8.如图，在四边形ABCD中，，，P是CD边上的一动点，要使的值最小，则点P应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.已知关于x的方程的解是，则a的值为______. 10.若将二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式，则______. 11.若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最大整数a是______. 12.如图，正五边形ABCDE与正方形AFGH有公共的顶点A，DE与HG相交于点M，，则______. 13.某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打______折. 14.如图，在中，，，点D在边BC上，且，点E、F在线段AD上，的面积为18，则与的面积之和______. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 解方程组： 16.本小题6分 解方程： 17.本小题6分 解不等式组：并将解集在数轴上表示. 18.本小题7分 如图，在中，于点D，AE是的角平分线，交BD于点E，，，求的度数. 19.本小题7分 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点O、M也在格点上.要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. 画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的 画出关于直线OM对称的 画出绕点O按顺时针方向旋转后得到的 的面积是______. 20.本小题7分 对于x，y定义一种新运算，规定其中a，b均为非零常数，例如： ______用含有a，b的代数式表示 已知，且 ①求a，b的值； ②直接写出的值为______. 21.本小题8分 如图，在中，，点D、F分别在AB、AC上，，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CE，连接 求证：≌； 若，求的度数． 22.本小题9分 教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容. 如图，在中，，，BP平分，CP平分，求的度数. 解：平分已知， 同理可得______ ______， 等式的性质 ______ =______. 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容理由或数学式 问题推广： 如图1，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______度. 如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______度. 23.本小题10分 某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． 求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ 学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 24.本小题12分 如图，在长方形ABCD中，，点P从点A出发，沿折线以每秒3个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动.设点Q的运动时间为t秒. ①当点P在AB边上运动时，______；当点 P在BC边上运动时，______点P在运动时，用含t的代数式表示 ②当时，的面积是______. 当点P与点Q重合时，求t的值. 当直线DP将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，求t值. 若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出面积是面积的倍时t的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故A选项符合题意； B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意， 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形绕某个点旋转180度能与原图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：由数轴可得：A到原点距离为3，B到原点距离为4， 数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长， 设该三角形第三边长为x，则x的取值范围是：， 该三角形第三边长可能是 故选： 直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案． 此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3.【答案】C  【解析】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为 四个选项中在中的只有 故选： 分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可． 本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式，能找到各不等式的解集的公共部分是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】【分析】 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 计算出多边形内角，根据平铺定义即可． 【解答】 解：①两个正六边形与两个正三角形即可密铺； ②正十二边形一个内角，两个正十二边形与一个正三角形可平密铺； ③正八边形一个内角，两个正八边形与一个正方形可密铺； ④三个正三角形与两个正方形可密铺． 故选： 5.【答案】B  【解析】解：一个多边形的内角和与外角和相加是，设这个多边形的边数为n， 则依题意可得， 解得， 这个多边形是十边形． 故选 本题可根据这个多边形的内角和与外角和相加是，列出方程，解出即可． 本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题． 6.【答案】A  【解析】解：根据题意，得 故选： 若每人7两，还剩4两，则银子共有两；若每人9两，还差8两，则银子共有两．根据银子数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； C.AB，AC，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意； D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； 故选： 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 8.【答案】D  【解析】解：如图所示，作点A关于CD的对称点，连接，交CD于点P，连接AP， 则的最小值为的长，点P即为所求． 点与点A关于CD对称 故D符合题意； 由图可知，选项A和选项B不成立， 而C只有在时成立，条件不充分． 故选： 作点A关于CD的对称点，连接，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可． 此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键． 9.【答案】6  【解析】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为： 把代入方程计算即可求出a的值． 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 10.【答案】  【解析】解：， 移项得：， 系数化成1得： 故答案为： 根据等式的性质进行变形即可． 本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 11.【答案】2  【解析】解：， ①+②得：， 解得：， ， ， 解得， 满足题意的最大整数a是2， 故答案为： 先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：五边形ABCDE是正五边形， 正五边形ABCDE的内角， ， ， 四边形AFGH是正方形， ， 四边形MHAE内角和为， 故答案为： 首先根据正五边形的内角和求出内角为，然后根据角的和差四边形内角和求解即可． 此题考查了正多边形的内角和，解题的关键是熟练多边形内角和公式． 13.【答案】8  【解析】解：设这种商品打x折， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为8， 这种商品最多可以打8折． 故答案为： 设这种商品打x折，利用利润=售价-进价，结合利润率不低于，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 14.【答案】12  【解析】解：，，，， ，， 在和中， ， ≌， 的面积的面积， 与的面积之和与的面积之和的面积， 的面积为18，， 的面积， 与的面积之和， 故答案为： 先证≌，得出与的面积之和与的面积之和的面积，根据与等高，底边值为1：2，得出与面积比为1：2，即可选出答案． 本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明≌，是解题的关键． 15.【答案】解：， ②-①得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为  【解析】利用加减消元法解方程组即可． 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 16.【答案】解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：  【解析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 17.【答案】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示： .  【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】解：， ， ，， ， 是的角平分线， ， ，   【解析】首先根据三角形外角的性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可． 此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和是 19.【答案】  【解析】解：如图，即为所求； 如图，即为所求； 如图，即为所求． 的面积 利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用割补法求面积即可． 本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 20.【答案】    【解析】解：， 故答案为：； ①根据题意可知：，且， ， ， 即，， 解得：，；  ②， 故答案为： 根据的新运算规则计算即可； ①根据题目中的新运算规定继续代入计算即可求出a和b的值； ②将，代入中计算即可． 本题考查的是列代数式和有理数的混合运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 21.【答案】证明：将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CE， ，， ， ， 在和中， ， ≌ 解：由可知≌， ，， ， ， ，   【解析】由旋转的性质可得：，再根据同角的余角相等可证明，再根据全等三角形的判定方法即可证明≌； 由可知：≌，所以，易求，进而可求出的度数． 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 22.【答案】25  三角形内角和定理      115  50  【解析】解：平分已知， 同理可得 三角形内角和定理， 等式的性质 故答案为：25，三角形内角和定理，，； 由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，CP平分， ，， ， 即， ， 故答案为：115； 平分，BP平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为： 根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同即可得到答案； 先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 23.【答案】解：设A型每套x元，则B型每套元． 由题意得： 解得：， 即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元和220元； 设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳套． 由题意得：， 解得： 为整数， 或79或 共有3种方案， 设购买课桌凳总费用为y元， 则 ，y随a的增大而减小， 当时，总费用最低，此时， 即总费用最低的方案是：购买A型80套，购买B型120套．  【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用以及函数的性质，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键． 根据购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，以及购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可； 利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，得出不等式组，求出a的值即可，再利用函数的变化趋势得出答案即可． 24.【答案】    18  【解析】解：①当点P在AB边上运动时， ， 当点P在BC边上运动时， ②当时，， 故答案为：①，，② 点P与点Q重合时， ， ， 当直线DP将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，有两种可能： ① 当点P运动到AB中点时， ， 解得 ② 当点P运动到BC中点时， ， 解得 所以或5时，直线DP将矩形ABCD的面积分成1：3两部分． 如图：点P的位置有3种可能，①P在AB上，②P在BC上，③P在点     ①P在AB上，， ， ， 解得 ②P在BC上， ， 解得 ③P在点 ， ， 解得 所以或5或 ①当点P在AB边上运动时，，当点P在BC边上运动时，②当时，点P与点Q重合时，列方程，解方程可求出直线DP将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，有两种可能，①，②点P的位置有3种可能，①P在AB上，②P在BC上，③P在点分别求出即可． 本题考查了矩形的性质，中心对称的性质．关键是分类时，不重不漏． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$