重难点05 利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点05 利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】 【新高考专用】 从近几年的高考情况来看，恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 【知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略】 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略】 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 【题型1 直接法解决不等式恒（能）成立问题】 【例1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式1-2】（2024·四川内江·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【题型2 分离参数法求参数范围】 【例2】（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式2-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围. 【题型3 分类讨论法求参数范围】 【例3】（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【题型4 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【变式4-3】（2024·四川雅安·三模）已知函数. (1)若函数有极值，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【题型5 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)证明：当时，； (2)若与有两条公切线，求a的取值范围. 【变式5-1】（2024·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意正整数，不等式恒成立． 【变式5-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在正数，使成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 【题型6 双变量的恒（能）成立问题】 【例6】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（2024·四川达州·二模）当时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C．，e] D． 2．（2024·吉林·模拟预测）若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 10．（2024·新疆·一模）设，若在上恒成立，则实数 a的值可以是（    ）(附:) A． B．3 C．2 D． 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 ． 13．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是 . 14．（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 . 四、解答题 15．（2024·广东·模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 16．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 17．（2024·浙江台州·一模）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值． 19．（2024·浙江宁波·一模）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，求证：； (3)若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】 【新高考专用】 从近几年的高考情况来看，恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解. 【知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略】 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略】 1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有： 对于某一区间I， (1). (2). (3). 【题型1 直接法解决不等式恒（能）成立问题】 【例1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解. 【解答过程】由，得， 令， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以函数在上是增函数， 所以， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则存在，使得， 且当，，函数单调递减， 所以，故不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【变式1-1】（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【解题思路】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解. 【解答过程】显然首先， ， 令，则，所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有， 即对于任意的恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为. 故选：B. 【变式1-2】（2024·四川内江·一模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导，分和两种情况，结合导数的符号判断原函数单调性； （2）由题意可得：，分和两种情况，结合（1）中单调性分析求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，在内单调递减； 若，在内单调递减，在内单调递增. （2）因为恒成立，则， 若，由（1）可知：在内单调递减， 且当趋近于时，趋近于，不合题意； 若，由可得， 由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 则， 若，则，可得，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)若，证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）构造函数由单调性得，再由根据单调性得，再由不等式性质即可得出结论； （2）利用不等式恒成立的一个必要条件是，构造函数可知，再由充分性即可求得结论，再证明必要性成立即可得，得出结果. 【解答过程】（1）当时，， 要证明，即证； 令，则，令，解得， 当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 令，则，令，解得； 即可得当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故； 因此, 故； （2）易知恒成立的一个必要条件是； 即，故； 令，则恒成立，即为上的增函数， 因此可得，可得； 下面证明充分性： 当时，， 令，则， 易知为单调递增函数，令，解得； 可知当时，，即可得在上单调递减， 当时，，即可得在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值， 故当时，， 综上可知，实数的取值范围. 【题型2 分离参数法求参数范围】 【例2】（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，有恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 令，得，当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 则， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C． 【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得对任意的恒成立，即可得到对任意的恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为. 故选：D. 【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类求出单调区间. （2）将不等式恒成立作等价变形，在时分离参数，构造函数，利用导数求出最小值，再对讨论即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，递增区间是. （2）不等式， 当时，不等式恒成立，即； 依题意，当时，恒成立，令， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 则当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，于是， 所以实数a的取值范围是. 【变式2-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围. 【解题思路】（1）由题得，分，，讨论单调性求解即可； （2）参数分离得在上恒成立，令，讨论的单调性，求得的最大值即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）易知函数的定义域为.所以， 当时，由，得，由，得. 所以的单调增区间为，单调减区间为； 当时，由，得，由，得. 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上所述：当时，的单调增区间为，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）将代入，得，因为不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，易知函数的定义域为. 所以. 当时，，故； 当时，，故； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，在上取得最大值. 所以，所以实数的取值范围是. 【题型3 分类讨论法求参数范围】 【例3】（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解. 【解答过程】令，即， 当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为， 则当时，，即，不满足题意； 当时，令，则， 令，则，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，有最小值， 又对恒成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式3-1】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形得到，当时，利用放缩得到证明，当时，利用隐零点可证明出不合要求，得到答案. 【解答过程】， 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故恒成立，不等式成立， 当时，令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，， 由零点存在性定理得，存在，使得，即， 此时， 故不合题意，舍去， 综上，，实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义可得，可求，进而求得切点，利用切点在直线上，可求的值； （2）由题意可得，令，则，求导，可得，分类讨论可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由，可得，， 又曲线在点处的切线为，所以， 解得，所以，所以，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得； （2），由对于任意，，所以， 令，则， 求导可得， 当时，，显然不满足题意， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先计算当时，函数的解析式，并求导，根据导数的几何意义可得，再由点斜式写出切线的方程即可． （2）先求出，再令，并求出，通过分两种情况，，讨论的正负，得的增减性，进而判断是否恒成立，即可得出答案． 【解答过程】（1）当时，， 所以， 所以， 即所求切线方程为， 即. （2）因为， 所以， 令， 则， 当时，易知， 所以在单调递增， 即. 当，即时，， 所以函数单调递增，即，符合题意. 当，即时，， 又当时，， 所以. 当时，，函数单调递减， 当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 【题型4 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】 【例4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件得到恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【解答过程】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 【变式4-1】（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解. 【解答过程】因为，所以整理不等式， 可得，转化为恒成立， 令，则， 因为，所以在上单调递增，所以恒成立， 又因为，所以， 所以对任意的恒成立，即恒成立， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，即． 故选：B． 【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值； （2）问题等价于在区间内有解，令，利用导数求函数最小值即可得的取值范围. 【解答过程】（1），令，得． 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值； 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）时，等价于，则在区间内有解． 令，则， 令，则在上单调递增，有， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内恒成立， 所以在区间内单调递增，即，即， 故的取值范围是． 【变式4-3】（2024·四川雅安·三模）已知函数. (1)若函数有极值，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解. （2）由已知变形为恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，令，得， 因为，所以当时，在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 当时，有变号零点，此时函数存在极值； 综上. （2）依题意，由， 得，即， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，在内单调递减，，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 【题型5 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】 【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为的导函数. (1)证明：当时，； (2)若与有两条公切线，求a的取值范围. 【解题思路】（1）等价于证明，令，求导判断出的单调性，求出最值可得答案； （2）设一条公切线与切点分别为，求出切线方程，根据是同一条直线可得，转化为与的图象有两个交点，利用导数得出的大致图象可得答案. 【解答过程】（1）当时，，， 等价于证明， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以， 所以，即； （2）设一条公切线与切点分别为， 则， 可得切线方程为，， 因为它们是同一条直线，所以， 可得，令， 若与有两条公切线，则与的图象有两个交点， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以， 且当时，，当时，，可得的大致图象如下图， 所以. 【变式5-1】（2024·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：对任意正整数，不等式恒成立． 【解题思路】（1）把不等式恒成立转化为恒成立，再结合函数的最小值，即可求出参数范围； （2）先证明不等式，再取得出，最后求和即可证明不等式. 【解答过程】（1）若对恒成立，则恒成立， 即恒成立． 记， 则． 记，则， 故在上单调递增． 又， 所以，使得， 即，即． 故当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 所以实数的取值范围是． （2）由（1）知，当时，，即， 当且仅当时，等号成立， 而，所以当时，恒成立． 下面证明当时，． 记，则， 故在上单调递增，则， 所以当时，． 故当时，． 令，则， 所以， 所以对任意正整数，不等式恒成立． 【变式5-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在正数，使成立，求的取值范围； (3)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立. 【解题思路】（1）计算，然后分类讨论即可得到单调性； （2）对和两种情况分别讨论，即可得到取值范围是； （3）首先证明单调递减，即得唯一性；然后求导证明对任意的，都有；而对任意的，都有. 再利用该结论证明，从而得到存在性. 最后综合两方面即证得结论. 【解答过程】（1）对求导得. 当时，对有，故在上单调递增； 当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）若，由于，故存在正数使得，条件满足； 若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足. 综上，的取值范围是. （3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明. 唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减. 特别地，在上单调递减. 这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证. 存在性：我们先考虑函数，这里. 由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即. 这就得到，对任意，有. 从而，对任意的，都有；而对任意的，都有. 然后回到原题，首先我们有 . 同时我们又有 ，， 故. 由零点存在定理，知一定存在，使得. 综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得. 【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 【解题思路】（1）根据，得出在上单调递增，再结合，，即可得证； （2）①分别判断函数的单调性，当时，得出所以单调递减；当时，得出存在唯一的实数，使得，且为函数在区间上的唯一极小值点，当时，通过构造函数，即证恒成立，得出时，函数单调递增，进而为区间内的唯一最小值点．②任取，，其中，通过作差法得出，即可得出当时，． 【解答过程】（1）由题可知， 令， ， 因为，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上单调递增． （2）①当时，由于，， ，所以，所以单调递减； 当时，令，，单调递增，又， ，所以在上存在唯一的实数，使得， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故为函数在区间上的唯一极小值点， 当时，可证当时，单调递增， 即证恒成立，证明如下： 要使恒成立，只需证恒成立， 令，即证恒成立， 由于，结合与的图象可得，    存在使得， 则，所以在上的最小值， 显然，，， 由于，所以， 所以有，， 综上可证成立，故时，函数单调递增， 故为区间内的唯一最小值点． ②证明：由①知，当时，在上单调递增．故有成立， 任取，，其中， 则， 因为，，， 所以，所以， 故当时，， 综上可证，当时，． 【题型6 双变量的恒（能）成立问题】 【例6】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，求导，分离参数求最值即可. 【解答过程】不等式等价于， 令，根据题意对任意的， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，单调递减.所以，所以. 故选：C. 【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围. 【解答过程】对于，， 所以在区间上单调递增，， 所以当时，的值域为. 对于，， 若，则，不符合题意. 若，则，所以在上单调递增， 所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，而当时 所以当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）对求导，因为为偶函数，求出在的单调性，即可求出上的最小值； （2）由（1）知，在上的最小值为 ，所以，使得成立，即成立，即，设，，即只需即可． 【解答过程】（1）， 显然为偶函数，当时， 时，，，∴在单调递增； 时，，，∴在单调递减； ，，，∴在上的最小值为． 由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为． （2）先证，设，则， 令，令， ∴在上单调递增，在上单调递减． 故①恒成立． 由题意可得，使得成立， 即成立． 由①可知， 参变分离得， 设，， 即只需即可． 由①知得， ∴ 令，令， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴， ∴， 又已知 故a的取值范围为． 【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出，直接利用导数求单调区间； （2）根据式子结构构造，由在为增函数，得到在恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解. 【解答过程】（1）的导数为， 可得的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得，即， ，， 由，可得，由，可得，则在递增，在递减． （2）因为，若，由， 即有恒成立，设， 所以在为增函数，即有对恒成立， 可得在恒成立，由的导数为， 当，可得，在递减，在递增， 即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得 则实数m的取值范围是． 一、单选题 1．（2024·四川达州·二模）当时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C．，e] D． 【解题思路】恒成立问题一般采用分离参数的方法，进而转化成求函数的最值即可. 【解答过程】当 时, 不等式显然成立, 当 时, 由题意可得 则有 . 则 设，， 则，所以在上单调递增， 所以， 所以当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 所以 , 所以 故选：C. 2．（2024·吉林·模拟预测）若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】构建，分析可知的定义域为，且在内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建，利用导数求其最值即可. 【解答过程】设， 因为，可知的定义域为，所以在内恒成立， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：C. 3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求. 【解答过程】不等式有解，即，，只需要， 令， ，， 令，， ，所以函数在上单调递增， 又，，所以存在，使得，即， ，，即；，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又由，可得， . . 故选：A. 4．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式变形为，令，则，然后利用导数判断出在上递减，所以将问题转化为在上有解，即在上有解，再构造函数，利用导数求出其小大值即可. 【解答过程】由，得， 所以， 令，则可化为， ，令，则 ，令，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以在上递减， 所以在上有解， 所以在上有解， 令，则， 由，得，得， 由，得，得， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：D. 5．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【解答过程】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：B. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：利用导数研究函数的单调性，结合题意得，等价变形得，设，利用单调性得，求解值域即可得解；方法二：原不等式化为，利用反函数性质得，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解；方法三：原不等式化为，构造函数，利用导数研究函数单调性，即可转化为，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可求解. 【解答过程】方法一：，显然在上单调递增， 故存在唯一的，使得，即， 且当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因此的最小值为， 则，即. 对两边取对数得，则， 代入得. 设，则， 所以在单调递减且， 可知不等式的解为， 因此. 又，则. 方法二：即，即， 而与互为反函数， 根据互为反函数的函数图象关于直线对称，问题转化为即可， 即恒成立. 设，则， 当时，，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 故，即得. 方法三： ， 构造，则转化为. ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，且， 则转化为， 即，设，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 故，即得. 故选：C. 7．（2024·四川乐山·二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】等价变形给定的不等式，并令，构造函数，将问题转化为存在，使得成立，再借助导数求解即得. 【解答过程】依题意， ， 令，即，由，得， 令，则原问题等价于存在，使得成立， 求导得，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 而 ，又， 则当时，，若存在，使得成立， 只需且，解得且，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况讨论，分别得出不等式，由不等式恒成立转化为求函数的最值，利用导数分别求出函数的最值即可求解． 【解答过程】当时，由得； 当时，由得． 令， 则，令，解得， 所以当，；当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因此的最小值为， 故当时，； 令， 则，令，解得， 所以当，；当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 因此的最大值为， 故当时，． 综上，． 故选：C． 二、多选题 9．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意分和两种情况讨论， 当时，有，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出结论验证；当时，令，求导判断出函数存在零点设为，即可判断，最后综合得出的取值范围. 【解答过程】依题意，在上恒成立，当时，， 令，则，， 故当时，，当时，， 故，故，则不等式成立； 当时，令，因为， ，故在内必有零点，设为，则， 则，故，不合题意，舍去； 综上所述，. 故选：AB. 10．（2024·新疆·一模）设，若在上恒成立，则实数 a的值可以是（    ）(附:) A． B．3 C．2 D． 【解题思路】分离参数，构造函数利用导数研究其单调性与最值计算即可. 【解答过程】原不等式等价于， 令， 令， 所以在上单调递增，即， 所以，则在上单调递增，故， 所以，由知. 故选：BD. 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，通过对其求导来判断单调性，可判断A,C；由题意构造函数，根据其单调性可判断B；由构造新函数，通过对其求导判断单调性来求得最小值，即可判断D. 【解答过程】令， 则，则在上单调递减． 又因为， 所以存在，使得，即． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以有最大值， 故选项A正确，选项C错误． 因为函数， 由题可知，因为， 即， ，即， 则． 因为函数在上单调递增， 于是，故选项B正确． 从而． 令， 则， 令，则，解得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，为， 即的最小值为， 则，故选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 3 ． 【解题思路】根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值得解. 【解答过程】当时，恒成立，当时，， 令，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3. 13．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是 . 【解题思路】将构造成，运用导数研究单调性进而转化为（）恒成立，令，运用导数可求得的最大值即可. 【解答过程】由，即，得. 因为，所以 . 设，则. 因为，所以，所以在上单调递增. 因为，所以，所以，所以，所以. 设，则. 由，得，则在上单调递减； 由，得，则在上单调递增. 故，即. 故答案为：. 14．（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为 . 【解题思路】依题意存在使得，参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，则，即可求出的最大整数. 【解答过程】依题意对任意，且有， 因为存在使得不等式成立， 所以存在使得，即， 令，， 则， 令，，则在上单调递增， 且，， 所以使得，即，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 所以， 依题意，又为整数，所以，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·广东·模拟预测）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求的值. 【解题思路】（1）先求出函数的导函数；再分和两种情况，利用导数的方法分别判定单调性即可. （2）由（1）中函数单调性，当时，根据函数单调性，以及，可判断当时，，不符合题意；当时，根据函数单调性，得到，再令，对其求导，根据导数的方法求出其最值，即可结合题中条件求出结果. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 16．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数的单调性； （2）根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解. 【解答过程】（1）当时，，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题可知，令 当时，由可知，即，所以在为增函数. 对任意都有，符合题意. 由解得或. ，下面讨论与1的大小: ②当时，，则在上单调递增. 存在，使得. ③当时，，对任意都有，即 在上为减函数，恒成立，不符合题意. 综上所述，时，存在，使得. 17．（2024·浙江台州·一模）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求导，由求解； （2）设，由得到，再分和求解. 【解答过程】（1）解：的定义域为，， 令，解得， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是． （2）记， ， 因为，所以，得， 令，解得或， 当时，，在上恒成立， 因此，在上单调递减， 得，即对任意恒成立． 当时，对任意，， 因此，在上单调递增， 当时，， 不满足题意．综上，． 18．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值． 【解题思路】（1）先对求导，再根据导数与函数单调性的关系即可求解； （2）问题转化为，存在，使成立， 构造函数，然后结合存在性问题与最值关系进行求解. 【解答过程】（1）由题意定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，由，得 当时，，所以在上单调递增． 当时，，所以在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题知， 又，化简得：， 问题等价于：存在，使成立． 设，则 设， ，当时，，在上单调递增． 又，， 在上存在唯一零点． 设零点，则，即． ，；， 因此在单调递减，在单调递增， ． ， 又，的最小值为5． 19．（2024·浙江宁波·一模）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，求证：； (3)若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）将不等式等价于，平方化简只需要证明，构造即可求导求解， （3）构造，对进行多阶求导，即可根据导数的正负与函数单调性的关系，对分三种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）, 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， 且， 故为偶函数， （2）当时，为偶函数， 要证，只需要证， 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， 令在单调递增，故，所以，得证. （3）由可得， 当时，，故， 故， 令，则， 令， 令， ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合，得对任意恒成立，符合题意， ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合，得对任意恒成立，不符合题意， ③当时，令，，则，类推②同理可得不符合题意， 综上可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$