七年级数学上册期末复习压轴题13个必考点（90题）（必考点分类集训）（苏科版2024）【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

七上数学期末复习压轴题13个必考点（90题） 【苏科版2024】 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 2 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 4 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 4 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 7 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 8 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 12 【考点8 角的旋转压轴题】 13 【考点9 平行线性质综合探究题】 17 【考点10 新定义问题】 20 【考点11 日历与幻方问题】 21 【考点12 数字规律问题】 23 【考点13 图形规律问题】 25 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（　　） A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c 4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于 　 　． 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm 2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（　　） A．与正方形A的边长有关 B．与正方形B的边长有关 C．与正方形C的边长有关 D．与A，B，C的边长均无关 3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．6 D．10 4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（　　） A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8 5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（　　） A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15 6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于 　 　． 7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2x+3的值是 　 ． 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定 2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn的值是 　 　． 4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝　 　． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程有无数解，则2a+3b的值为 　 　． 6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为 　 　． 7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值； （2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程： ①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元． 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 　 　立方米． 3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）． （1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 　 　元． 4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本） （1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？ （2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？ （3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？ 5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案： 方案一：全部直接销售； 方案二：全部进行粗加工； 方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？ 6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% （1）以上表格中m，n的值分别为 　 　，　 　； （2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动： 顾客一次性购商品 数量 优惠措施 甲种 不超过15件 不优惠 超过15件 全部按售价8.5折 乙种 不超过15 不优惠 超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折 超过25件 全部按售价8折 小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案． 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定 2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝　 　． 3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”． （1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 　 　上（填“OM”或“ON”）； （2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 　 　． 4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 　． 5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　 　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　 　． 6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝　 　cm． （2）当A′B′＝10cm时，MN＝　 　cm． 7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为 　 　． 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点． （1）若BC＝2OA． ①则点B表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　； ②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度． （2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数． 2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点． 知识准备： 因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a． 因为点C是线段AB的中点，则． 那么点C表示的数： ①当点C在原点右侧时，如图1，则，点C表示的数为． ②当点C在原点左侧时，如图2，则，点C表示的数为． 综上，点C表示的数为． 知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3． （1）点C表示的数为 　 　； （2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度； （3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝　 　． 3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0． （1）直接写出m的值是 　 　，n的值是 　 　，线段AB的长度是 　 　； （2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段PQ的长； ②直接写出线段PQ运动的速度为 　 　个单位长度/秒； ③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值． 4．（2023秋•鄂州期末）情境背景 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA． 特例初探 （1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 　 　，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 　 　． 能力提升 （2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度． ①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数； ②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 5．（2024•济南模拟）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　； （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝ 　 　个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 　 　cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　 　cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 　 　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值． 7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 　 　． 2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 　 　分．（要求取准确值） 3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 　 　°． 4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　 　． 5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为 　 　．（结果在0°∼180°之间） 6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余． （1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时： ①若∠BOC＝60°，则α＝　 　°． ②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）． （2）直接写出∠COD所有可能的度数：　 （可用含α的式子表示）． 7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 【考点8 角的旋转压轴题】 1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求∠COD的值； （2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小； （3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 　 　． 2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”． （1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时∠AOC＝　 　．（直接填写答案） （2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小． （3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜t≤20）． ①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值． ②当17＜t≤20时，t＝　 　时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）． 3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°． （1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值； （3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）． 4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的角的度数均小于180°） （1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小； （2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小． （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的值． 5．（2023秋•咸安区期末）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． （1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 　 　；此时∠DOB﹣∠MOC＝　 　度；（直接写答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） （3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，∠BOC＝15°； ②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）． （1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为　 　度； （2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值． 7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数． （2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值． ②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值． 【考点9 平行线性质综合探究题】 1．（2023秋•温江区校级期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN． （1）如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？ （2）若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？ （3）若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设时间为t秒（0＜t＜70），若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 2．（2023秋•长治期末）综合与探究： 已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，求∠PFC的度数． （2）如图2，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由． 3．（2024春•宁江区校级月考） （1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明． （2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由． （3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由． （4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可） （5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　． 4．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　 　°； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 5．（2024春•荆门期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝　 　（直接写出结果） 6．（2024春•湛江期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数． （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数． （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝120°，求∠AME的度数. 【考点10 新定义问题】 1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（　　） A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047 2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（　　）次“传输”后可以输出结果，结束程序． A．11 B．12 C．21 D．23 4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作【a，b，c】．例如：由于22＝43，因此【，2，3】是“唯一根数组”．若【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为　 　． 5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 　 　． 6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，an为an﹣1的差倒数，则a2＝　　；若a1+a2+⋯+an＝55，则n＝　 　． 7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【考点11 日历与幻方问题】 1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A．35 B．63 C．99 D．119 2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x﹣y的值是（　　） ﹣1 x 2 ﹣2 y A．0 B．﹣3 C．3 D．4 3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（　　） A．98 B．210 C．314 D．386 4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　 　． 7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　． 【考点12 数字规律问题】 1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+nn（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2（1×2×3﹣0×1×2），2×3（2×3×4﹣1×2×3），3×4（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是（　　） A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（　　） A．284 B．296 C．303 D．304 3．（2024秋•黔东南州期末）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：　 　． 6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个，3个，4个，…n个（n为正整数）按顺序排成一排：1，，，，，，，，，，，，，记a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…S1＝a1，S1＝a1+a2，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S1000﹣S1008＝　 　． 7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）若n＝7时，则S的值为 　 　． （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝　 　． （3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）． 【考点13 图形规律问题】 1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五角星的个数为（　　） A．3600 B．3500 C．3599 D．3499 2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（　　） A．63 B．84 C．108 D．152 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（　　） A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601 5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有　 　个小圆圈． 7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　 　个；共有小圆圈 　 　个． ②1+2+3+⋯+n＝　 　 数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　 　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝　 　； ⑤12+22+32+⋯+n2＝　 　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　 　． ⑦求212+222+232+…+302的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七上数学期末复习压轴题13个必考点（90题） 【苏科版2024】 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 5 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 9 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 13 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 19 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 26 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 38 【考点8 角的旋转压轴题】 46 【考点9 平行线性质综合探究题】 62 【考点10 新定义问题】 75 【考点11 日历与幻方问题】 81 【考点12 数字规律问题】 86 【考点13 图形规律问题】 90 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0， ∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1， 故选：D． 2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可． 【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0， ∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0， ∴abc＞0或abc＜0，选项①错误； b+c＞0或b+c＜0，选项②错误； |a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确； |a﹣c|＞|a|，选项④错误， 其中一定成立的结论个数为1． 故选：A． 3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（　　） A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c 【分析】首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分别可以得到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用绝对值的性质即可化简． 【解答】解：依题意得 ﹣1＜c＜0＜a＜b， ∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0， ∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b． 故选：C． 4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案． 【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离， |a﹣3|表示a到3点的距离， 因为﹣5到3点的距离为8， 故﹣5到3之间的所有点均满足条件， 又由a为整数， 故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个， 故选：D． 5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据绝对值的性质，得出c＝0或a+b＝0，逐个判断出正确错误即可． 【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c， ∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c， ∴c＝0或a+b＝0， ∴（a+b）c＝0 故①不正确，②正确， 当a，b互为相反数时， ∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c， ∴c≤0， ∴③正确， 当c≠0时，a+b＝0，c≤0， |a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3， 故④正确， 故选：C． 6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案． 【解答】解：∵abc＜0， ∴a、b、c中一负两正或三负， ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 当a、b为正，c为负时， ＝1+2+3 ＝6； 当a、c为正，b为负时， ＝1﹣2﹣3 ＝﹣4； 当b、c为正，a为负时， ＝﹣1+2﹣3 ＝﹣2； 则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24， 故选：A． 7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于 　 　． 【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，然后比较作答． 【解答】解：当x≤﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5． 当﹣3＜x≤2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，当x＝2时，有最大值5， 当x＞2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5． 综上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值为5， 故答案为：5． 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm 【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）， L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b＝m， ∴4m+4n﹣4（a+2b）， ＝4n． 故选：B． 2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（　　） A．与正方形A的边长有关 B．与正方形B的边长有关 C．与正方形C的边长有关 D．与A，B，C的边长均无关 【分析】认真读懂题意，根据题意列代数式，化简整理代数式，判断正误． 【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，大矩形的面积为d， 根据题意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b， n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b， ∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0， ∴m与n的差和正方形A，B，C的边长无关． 故选：D． 3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．6 D．10 【分析】计算A﹣2B后根据题意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值． 【解答】解：A﹣2B ＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y） ＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y ＝xy﹣2x﹣2y ＝（y﹣2）x﹣2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴y﹣2＝0， ∴y＝2， ∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4， ∵B＝5， ∴A﹣10＝﹣4， ∴A＝6， 故选：C． 4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（　　） A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8 【分析】直接去括号、合并同类项，进而得出3﹣n＝0，m+5＝0，进而得出答案． 【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3） ＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3 ＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12， ∵多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12， ∴3﹣n＝0，m+5＝0， 解得：n＝3，m＝﹣5， ∴m+n＝﹣5+3＝﹣2． 故选：B． 5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（　　） A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15 【分析】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，结合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，去括号、合并同类项即可． 【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6， ∴2x2﹣3xy＝﹣3， 又∵3y2﹣2xy＝12， ∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15， ∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15， 故选：D． 6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于 　 　． 【分析】先计算两个多项式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根据题意得出8+（3m+1）＝0，即可求出m的值，从而求出这两个多项式的和． 【解答】解：由题意得， （2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7] ＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7 ＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8， ∵多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项， ∴8+（3m+1）＝0， 解得m＝﹣3， ∴多项式2x3﹣8x2+mx﹣1为2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7为x3﹣8x2﹣5x+7， ∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7 ＝3x3﹣16x2﹣8x+6， 故答案为：3x3﹣16x2﹣8x+6． 7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2x+3的值是 　 ． 【分析】把A与B代入3A﹣B＝﹣2中，去括号合并求出2x2﹣3x的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9， ∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2， 即2x2﹣3x＝﹣1， 则原式（2x2﹣3x）+33＝2， 故答案为：2． 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定 【分析】令y﹣2＝x，根据的解为x＝﹣3，即可求解． 【解答】解：令y﹣2＝x，则变形为， ∵关于x的方程的解为x＝﹣3， ∴y﹣2＝﹣3， 解得y＝﹣1， 故选：A． 2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案． 【解答】解：， 去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6， 去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6， 移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4， ∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数， 则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19， 故选：D． 3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn的值是 　 　． 【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn的值． 【解答】解：∵x＝3是关于x的方程的解， ∴， ∴2+m＝1， 解得m＝﹣1， ∵|m+n|＝2， ∴|﹣1+n|＝2， 解得n＝﹣1或3， ∴mn＝1或﹣3， 故答案为：1或﹣3． 4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝　 　． 【分析】把x＝1代入方程1，得：1，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案． 【解答】解：把x＝1代入方程1，得： 1， 2（k+a）＝6﹣（2+bk）， 2k+2a＝6﹣2﹣bk， 2k+bk+2a﹣4＝0， （2+b）k+2a﹣4＝0， ∵无论k为何值，它的解总是1， ∴2+b＝0，2a﹣4＝0， 解得：b＝﹣2，a＝2． 则a+b＝0． 故答案为：0． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程有无数解，则2a+3b的值为 　 　． 【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根据方程有无数解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，据此求出2a＝﹣9，3b＝2，然后代值计算即可． 【解答】解：， 去分母得：9x+2（ax+2）＝6b， 去括号得：9x+2ax+4＝6b， 移项得：9x+2ax＝6b﹣4， 合并同类项得：（9+2a）x＝6b﹣4， ∵关于x的方程有无数解， ∴关于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有无数解， ∴9+2a＝0，6b﹣4＝0， ∴2a＝﹣9，3b＝2， ∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7， 故答案为：﹣7． 6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为 　 　． 【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果． 【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x， ∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解， ∴a≠0， ∵2+5y＝（b+5）y， ∴2+5y＝by+5y， ∴by＝2， ∴y， ∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解， ∴b＝0， 关于z的方程az＝b可以简化为：z， ∵a≠0，b＝0， ∴z＝0． 故答案为：z＝0． 7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值； （2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值． （2）根据条件建立关于n的方程，再求值． （3）先求k，再解方程． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴． ∵4x﹣1＝x+8， ∴x＝3． ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”， ∴， ∴m＝6； （2）∵“集团方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是1﹣n， ∵两个解的差是6，且n为较大的解， ∴n﹣（1﹣n）＝6， ∴． （3）∵， ∴x＝﹣2022． ∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023． ∵关于y的一元一次方程可化为：，令y+1＝x＝2023， ∴y＝2022． 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程： ①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据题意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不变可得出4m﹣2＝2m+58，由m不变可得出，此题得解． 【解答】解：根据题意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58， ∴4m﹣2＝2m+58，， ∴方程①③正确． 故选：A． 2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元． 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 　981　立方米． 【分析】根据“实际缴纳天然气费2463元”列方程求解． 【解答】解：当用天然气360立方米时，费用为：360×2＝720元， 当用天然气600立方米时，费用为：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元， ∵2463＞1320， ∴缴纳天然气费2463元，使用量大于600立方米， 设该户2023年使用天然气x立方米， 则：1320+3×（x﹣600）＝2463， 解得：x＝981， 故答案为：981． 3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）． （1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 　2000　元． 【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝420（元）除以标价就是优惠率； （2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额； （3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析． 【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元， 消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元， 则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）； （2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元； 当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元； （3）1500÷80%＝1875（元）， 当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意； 当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合． 故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元． 故答案为：2000． 4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本） （1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？ （2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？ （3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？ 【分析】（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购进礼品盲盒的数量，再将其代入（70﹣x）中，即可求出第二次购进礼品盲盒的数量； （2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论； （3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒， 根据题意得：15x+12（70﹣x）＝960， 解得：x＝40， ∴70﹣x＝70﹣40＝30． 答：第一次购进礼品盲盒40盒，第二次购进礼品盲盒30盒； （2）根据题意得：20×40+20×0.8×30﹣960 ＝800+480﹣960 ＝320（元）． 答：按此计划该老板总共可以获得320元利润； （3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒， 根据题意得：20m+（40×0.75+40×0.5）•960＝710， 解得：m＝16． 答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒． 5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案： 方案一：全部直接销售； 方案二：全部进行粗加工； 方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？ 【分析】根据总利润＝单吨利润×销售质量即可求出方案一、二、三的利润，在方案四种，设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据每天可精加工6吨或粗加工16吨结合加工总天数为15天即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而得出140﹣x的值，再根据总利润＝精加工部分的利润+粗加工部分的利润求出方案四的利润，将四种方案获得的利润比较后即可得出结论． 【解答】解：方案一可获利润：140×1000＝140000（元）； 方案二可获利润：4500×140＝630000（元）； 方案三可获利润：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）； 方案四：设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜， 根据题意得：15， 解得：x＝60， ∴140﹣x＝80． 此情况下利润为：60×7500+80×4500＝810000（元）， ∵140000＜630000＜725000＜810000， ∴企业选择方案四所获利润最多． 6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同列出方程，解出可得结论； （2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润； （3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润×（1）列出方程，可得结论． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元， 由题意得2x＝3（x﹣40）， 解得：x＝120， 120﹣40＝80（元）． 答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件， 由题意得120a+80（60﹣a）＝5800， 解得a＝25，60﹣a＝35． 120×20%×25+20×35＝1300（元）． 答：全部售完共可获利1300元； （3）设B商品按标价售出m件， 由题意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1）， 解得m＝10． 答：B商品按标价售出10件． 7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% （1）以上表格中m，n的值分别为 　75　，　50%　； （2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动： 顾客一次性购商品 数量 优惠措施 甲种 不超过15件 不优惠 超过15件 全部按售价8.5折 乙种 不超过15 不优惠 超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折 超过25件 全部按售价8折 小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案． 【分析】（1）利用甲种商品的利润率100%，即可求出n的值，利用乙种商品的利润率100%，可列出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，利用总利润＝每件甲种商品的销售利润×购进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入（2x﹣10）中，即可求出购进甲种商品的数量； （3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四种情况考虑，利用总价＝单价×数量，结合总价为2280元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：n100%＝50%； 100%＝50%， 解得：m＝75． 故答案为：75，50%； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件， 根据题意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050， 解得：x＝50， ∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）． 答：购进甲种商品90件，乙种商品50件； （3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件． 当0＜y＜15时，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合题意，舍去； 当y＝15时，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合题意，舍去； 当15＜y＜25时，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280， 解得：y＝24， ∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）； 当y≥25时，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280， 解得：y＝30， ∴40﹣y＝40﹣30＝10（件）， ∴小华的爸爸共有2种购买方案， 方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件； 方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件． 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定 【分析】设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，根据线段中点的定义得到CMACcm，则MN＝CM﹣CN＝（x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣2）x＝0，据此可得答案． 【解答】解：∵BN＝kCN， ∴BC＝（k+1）CN， 设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm， ∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm， ∵点M为线段AC的中点， ∴CMACcm， ∴MN＝CM﹣CN＝（x）cm， ∵4MN﹣NB＝40cm， ∴4×（x）﹣kx＝40， ∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40， ∴（2k﹣2﹣k）x＝0， ∴（k﹣2）x＝0， ∵x≠0， ∴k﹣2＝0， ∴k＝2， 故选A． 2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝　或13　． 【分析】分两种情况讨论：当点C是线段AB靠近A的三等分点时和当点C是线段AB靠近B的三等分点时，分别求出即可． 【解答】解：当点C是线段AB靠近A的三等分点时， 设AC＝x，则AB＝3x，BC＝2x， ∵D、E分别为AB、BC中点， ∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x， ∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x， ∵直线l上所有线段的长度之和为91， ∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB ＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB ＝4AB+2CE ＝4×3x+2x ＝14x ＝91， ∴x， ∴AC； 当点C是线段AB靠近B的三等分点时， 设BE＝x， ∵D、E分别为AB、BC中点， ∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x， ∵直线l上所有线段的长度之和为91， ∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB ＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB ＝4AB+2DE ＝4×6x+4x ＝28x ＝91， ∴x， ∴AC＝13． 所以AC或13． 故答案为：或13． 3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”． （1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 　 　上（填“OM”或“ON”）； （2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 　 　． 【分析】（1）先根据已知条件，求出OM+ON的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可； （2）根据已知条件中的新定义可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6， ∴OM+ON＝16， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”， ∴， ∴点P在线段OM上， 故答案为：OM； （2）当点P在OM上时， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3， ∴OM+OP＝ON﹣OP， OM+3＝8﹣3， OM+3＝5， OM＝2； 当点P在ON上时， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3， ∴OM﹣OP＝OP+ON， OM﹣3＝8+3， OM﹣3＝11， OM＝14； 故答案为：2或14． 4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 　． 【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可． 【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图： ∵AB＝8，BC＝3，CD＝5， ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6， II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16， III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意， IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意， 综上所述：AD的长为6或10或16 故答案为：6或10或16． 5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　 　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　 　． 【分析】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【解答】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段， 故答案为：6； ∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线， 如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝　 　cm． （2）当A′B′＝10cm时，MN＝　 　cm． 【分析】（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，根据当点A′与点B′恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时． 【解答】解：（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N， ∴当点A′与点B′恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点A′落在点B′的左侧时，如图， ∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm， ∴AA′+BB′＝30cm， 由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N， ∴A′M+B′N＝15cm， ∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm． 当点A′落在点B′的右侧时，如图， ∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm）， ∴， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）． 故答案为：25或15． 7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为 　 　． 【分析】首先根据线段的比例设出线段的长，再分三种情况分别列出方程可得答案． 【解答】解：设绳子三段的长分别为2x cm、3x cm和5x cm，两个断点分别为F、E， 则2x+3x+5x＝100， 解得x＝10． ①如图， 若AF＝3x，FE＝5x，EB＝2x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝2.5x， ∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）； ②如图， 若AF＝5x，FE＝3x，EB＝2x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝1.5x， ∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）； ③如图， 若AF＝5x，FE＝2x，EB＝3x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝x， ∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）． 故答案为：35cm或40cm或45cm． 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点． （1）若BC＝2OA． ①则点B表示的数是 　﹣2　，点C表示的数是 　﹣22　； ②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度． （2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数． 【分析】（1）①根据题意求出点B点C即可； ②由点P点Q互为相反数，列出方程即可解答； （2）分两种情况列出相应的方程，解答即可； 【解答】解：（1）①∵A表示的数为10，AB＝12， ∴OB＝2， ∴点B表示的数是﹣2， ∵BC＝2OA＝20， ∴C表示的数是﹣22． 故答案为：﹣2，﹣22； ②设点P运动速度为t，则点Q运动速度为2t﹣3， 由题得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0， 解得，t， 故点P的速度为； （2）设点C表示的数为x， 当点C在点B左侧时， 由题得，x+2+310， 解得，x； 当点C在点B右侧时， 由题得，﹣2﹣x+310， 解得，x＝﹣1． 故点C表示的数为或﹣1． 2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点． 知识准备： 因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a． 因为点C是线段AB的中点，则． 那么点C表示的数： ①当点C在原点右侧时，如图1，则，点C表示的数为． ②当点C在原点左侧时，如图2，则，点C表示的数为． 综上，点C表示的数为． 知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3． （1）点C表示的数为 　1　； （2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度； （3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝　2.4或4.8或6.9或12.9　． 【分析】（1）根据中点公式求解； （2）根据中点公式求解； （3）根据两点之间的距离求解． 【解答】解：（1）1， 故答案为：1； （2）设点D表示的数为a，则点E表示的数为：a+4， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴MN11， 答：线段MN的长度为11； （3）当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9， 解得：t＝5.4， 当t＜5.4时，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6， 解得：t＝2.4或t＝4.8， 设经过5.4秒后的时间为x， 则|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6， 解得：x＝1.5或x＝7.5， ∴x+5.4的值为：6.9或12.9， 故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9． 3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0． （1）直接写出m的值是 　﹣17　，n的值是 　15　，线段AB的长度是 　32　； （2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段PQ的长； ②直接写出线段PQ运动的速度为 　2　个单位长度/秒； ③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值． 【分析】（1）根据题意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m与n的值，线段AB用两点间的距离公式即可解出； （2）①设PQ的长度为x，根据题目，我们知道x+32＝2x，解这个方程得x＝32，所以PQ的长度是32； ②根据题目直接计算即可； ③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0， ∴m＝﹣17，n＝15， ∴AB＝15﹣（﹣17）＝32， 故答案为：﹣17，15，32． （2）①设PQ的长度为m， 根据题意得：， 解得：m＝8， ∴线段PQ的长是8个单位长度； ②2； ③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论： （Ⅰ）当0≤t≤8时， 点C对应的数是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝t，BQ＝32﹣2t， ∵4t﹣（32﹣2t）＝4， 解得：t＝6； （Ⅱ）当8＜t≤16时， 点C对应的数是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t， ∵4PC﹣QB＝4， ∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4， 解得：t＝14； （Ⅲ）当16＜t≤20时， 点C对应的数是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32， ∵4PC﹣QB＝4， ∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4， 解得：t＝18； 综上所述：t的值是6，14，18． 4．（2023秋•鄂州期末）情境背景 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA． 特例初探 （1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 　45　，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 　﹣21或51　． 能力提升 （2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度． ①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数； ②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【分析】（1）根据两点间的距离公式求出点B表示的数，再分点C在点A的左侧或点C在点B的右侧两种情况，列方程即可求解； （2）①设运动时间为x秒，分若点P与点Q相遇前相距4个单位长度和若点P与点Q相遇后相距4个单位长度两种情况，根据题意列方程即可得到结果； ②设点M表示的数为y，根据PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，从而表示出PQ和OM，即可证明结论． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣15， ∴OA＝15， ∵AB＝4OA， ∴AB＝60， ∵点B在点A的右侧，点A表示的数为﹣15，AB＝60， ∴点B表示的数为﹣15+60＝45， 设点C表示的数为x， ∵AB＝60＜72， ∴点C在点A的左侧或在点B的右侧， 当点C在点A的左侧，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x， ∵AC+BC＝72， ∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72， 解得x＝﹣21， ∴点C表示的数为﹣21； 当点C在点B的右侧时，得AC＝x+15，BC＝x﹣45， ∵AC+BC＝72， ∴（x+15）+（x﹣45）＝72， 解得x＝51； 综上所述，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51； 故答案为45，﹣21或51； （2）①设运动时间为x秒， 若点P与点Q相遇前相距4个单位长度， 依题意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4， 解得x＝14， 则点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57； 若点P与点Q相遇后相距4个单位长度， 依题意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4， 解得x＝16， 则点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63； 综上所述，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63； ②的值不发生变化，理由如下： 设点M表示的数为y， 依题意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y）， 解得y＝30﹣6t， ∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t， ∴60， ∴的值不发生变化，值为60． 5．（2024•济南模拟）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　； （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t； （2）根据题意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）由PQAB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|10，即可解得t＝1或t＝3； （4）由点M为PA的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是2，N表示的数是3，即得MN＝3（2）＝5，故线段MN的长度为5，不发生变化． 【解答】解：（1）根据题意，t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t； （2）根据题意得：﹣2+3t＝8﹣2t， 解得t＝2， 此时﹣2+3×2＝4， ∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴AB＝8﹣（﹣2）＝10， ∵PQAB， ∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|10， 解得t＝1或t＝3， ∴t为1或3时，PQAB； （4）线段MN的长度不发生变化，理由如下： ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴M表示的数是2，N表示的数是3， ∴MN＝3（2）＝5， ∴线段MN的长度为5，不发生变化． 6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝ 　10　个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 　6　cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　0.6　cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 　　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值． 【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位； （2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得点Q所表示的数； （3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k的值． 【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10， 刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm， ∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm， 6÷10＝0.6cm， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm， 1÷0.6， 刻度尺上的1cm对应数轴上的个单位长度， 故答案为：10，6，0.6，； （2）∵点B对齐刻度1.2cm， ∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0， ∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2， 设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|， ∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12， 点Q所表示的数为4或12， ∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12； （3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4， AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t）， AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t， ∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变， ∴5+2k＝0， 解得：k， 点M追上点N后，即t＞4， AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8）， AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t， ∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变， ∴5﹣2k＝0， 解得：k， 7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【分析】（1）根据题意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解； （2）设经过t秒P．Q两点相距5，则BP＝t，AQ＝3t，然后分两种情况讨论：当点在点Q的左侧时和当点P在点Q的右侧时，即可求解； （3）设OP＝m，则AP＝3+m，再根据中点的定义，可得OE，OF，从而得到EF（m+1），即可求解． 【解答】解：（1）∵多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为e， ∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2， ∴a（b﹣c） ＝3×（﹣8+2） ＝3×（﹣6） ＝﹣18； （2）设经过t秒P、Q两点相距5， 根据题意得：BP＝t，AQ＝3t， 当点在点Q的左侧，BP+PQ+AQ＝AB， 即t+5+3t＝3﹣（﹣8）， 解得：t＝1.5， 当点在点Q的右侧时，BP+AQ﹣PQ＝AB， 即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8）， 解得：t＝4． 综上所述，经过1.5秒或4秒P、Q两点相距5； （3）设OP＝m， ∴AP＝3+m， ∵点E为OP的中点， ∴OE， ∵A对应的数为3，C对应的数为﹣2，AC的中点为F， ∴AF＝CFAC， ∴点F对应的数为：﹣2，OC＝2， ∴OF， ∴EF＝OE+OF（m+1）， ∴2， ∴的值是不变，为2． 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 　 　． 【分析】时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，分三种情况：①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分别解方程可得答案． 【解答】解：时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°， ①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°， 解得t； ②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°， 解得t； ③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°， 解得t； 综上所述，t的值为或或； 故答案为：或或． 2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 　 　分．（要求取准确值） 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270＝6x，即可解答． 【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°， 设九点x分重合，则有： 0.5x+270＝6x． x＝49， 故答案为：49． 3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 　 　°． 【分析】根据射线OC是∠AOB的三等分线，则需要分∠AOC∠AOB以及∠AOC∠AOB，两种情况进行解决，每种情况都是6个锐角，然后设∠AOD的度数为x，分别表示这6个角，再求和列出方程求解即可解决． 【解答】解：①当∠AOC∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个． 设∠AOD＝x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°， ∴x＝10°， ∴∠AOB＝6x＝60°． ②当∠AOC∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个． 设∠AOD＝x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°， ∴x＝19°， ∴∠AOB＝3x＝57°． 综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°． 故本题答案为60或57． 4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　 　． 【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据角的和差关系计算即可． 【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°； ②如图，当∠BOC在∠AOB内部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°， ∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°． （2）当∠AOD在∠AOB内部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°； ②当∠BOC在∠AOB内部时， 此时，射线OC与OD重合，不合题意． 综上，∠COD＝120°或100°或20°． 故答案为：120°或100°或20°． 5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为 　 　．（结果在0°∼180°之间） 【分析】根据题意，分两种情况：（1）OC在直线OA的下方；（2）OC在OD、OB之间．根据垂直定义，周角定义，角的和差计算即可． 【解答】解：（1）如图，当OC在直线OA的下方时， ∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， ∴∠AOC＝2×35°＝70°． ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°． ∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°， ∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90° ＝325°﹣70°﹣90° ＝255°﹣90° ＝165°； （2）如图，当OC在OD、OB之间时， ∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOB＝35°． ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC ＝90°﹣35° ＝55°． 故答案为：165°或55°． 6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余． （1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时： ①若∠BOC＝60°，则α＝　 　°． ②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）． （2）直接写出∠COD所有可能的度数：　 （可用含α的式子表示）． 【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣α，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣α，，然后化成草图，再根据题意列方程求解即可； （2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根据角的和差即可解答． 【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α， ∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α， ∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴60°﹣α＝α， 解得：α＝30°． 故答案为：30． ②∵∠AOB与∠AOD互余， ∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α， ∵， ∴， 如图： ∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，， ∴，， ∵∠COM＝3∠AOM， ∴， 解得：． （2） ∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴∠AOD＝90°﹣α， 由（1）可得∠AOC＝120°﹣α， ∴当OD在OA上面时，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°， 当OD在OA下面时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α． 故答案为：30°或210°﹣2α． 7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案； （2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA， ∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°， ∴∠AOP＝20°， ∴∠BOP＝40°， 故答案为：40； （2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）， ∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ， ∵∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°， ∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°， ∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°， 故答案为：135； ②不变， ∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB， ∴，， ∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°； ③设∠MOC＝α， ∵∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°﹣α， ∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线， ∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON， ∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°， ∴， ∴α＝67.5°， ∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°， ∴∠AOC＝90°． 【考点8 角的旋转压轴题】 1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求∠COD的值； （2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小； （3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 　3.5或　． 【分析】（1）根据“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的”列方程求解； （2）根据“∠MOC＝4∠MOB及角的平分线的性质”列方程求解； （3）根据“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解． 【解答】解：（1）设∠COD＝x°，则∠AOB＝7x°， 则x（180﹣7x）， 解得：x＝20， ∴∠COD＝20°； （2）设∠MOB＝y°， 当OM在∠BOC内部时，有y+4y＝140﹣20， 解得：y＝24， 当OM在∠BOC外部时，有y+120＝4y或y﹣120＝4y， 解得：y＝40或y＝﹣40（不合题意，舍去）， ∴∠MOB＝24°或40°； （3）当OC转到与OB重合时需要的时间为：（140﹣30）÷30（秒）， 当0≤t时，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝90°﹣10°t， ∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°， ∴|（110°﹣30°t）﹣（90°﹣10°t）|＝50°， 解得：t＝3.5或t＝﹣1.5（不合题意，舍去）， 当t时，设又经过m秒，∠BOC＝5°m，∠BOD＝90°﹣10°（m）， ∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°， ∴|5°m﹣[90°﹣10°（m）]|＝50°， 解得：m或m， ∵t＝m， ∴t的值为：或（不合题意，舍去）， 故答案为：3.5或． 2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”． （1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时∠AOC＝　30°　．（直接填写答案） （2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小． （3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜t≤20）． ①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值． ②当17＜t≤20时，t＝　　时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）． 【分析】（1）根据“绝配角”的定义，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，那么2∠AOC+∠BOC＝90°，把相关数值代入计算即可； （2）根据射线OC可能在∠AOB内部，射线OA上方，射线OB下方，分三种情况得到∠AOC的度数，然后根据∠BOC与∠BOD互补，得到∠BOD的度数，进而求得∠AOD大小； （3）∠AOB是∠MON的“绝配角”，那么2∠AOB+∠MON＝90°，已知∠AOB的度数，即可求得∠MON的度数； ①当0＜t＜17时，可分当OC未转够180°以及超过180°，而未到340°两种情况，根据∠MON的度数求解即可； ②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°，根据∠MON的度数求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（60°﹣∠AOC）＝90°， ∠AOC＝30°． （2）①射线OC在∠AOB内部． 由（1）得∠AOC＝30°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝60°﹣30°＝30°． ∵∠BOC与∠BOD互补， ∴∠BOD＝180°﹣30°＝150°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°． ②射线OC在射线OA上方． ∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（60°+∠AOC）＝90°， ∠AOC＝10°． ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝60°+10°＝70°． ∵∠BOC与∠BOD互补， ∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝110°﹣60°＝50°． ③射线OC在射线OB下方． ∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（∠AOC﹣60°）＝90°， ∴∠AOC＝50°． ∵∠AOC＜∠AOB， ∴OC在∠AOB的内部，不符合题意，舍去． 答：∠AOD大小是90°或50°． （3）∵∠AOB＝10°，∠AOB是∠MON的“绝配角”， ∴2∠AOB+∠MON＝90°， 20°+∠MON＝90°， ∠MON＝70°． ①Ⅰ、由题意得：∠AOC＝20t°，∠BOD＝10t°． ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOM＝10t°，∠BON＝5t°． 当OC未转够180°，即0＜t＜9时， 如图：∠AOM+∠AOB+∠BON＝70°． 10t+10+5t＝70， 15t＝60， t＝4． Ⅱ、当OC旋转超过180°，即9≤t＜17时． 由题意得：OC转了20t°，∠BOD＝10t°． ∴∠AOC＝（360﹣20t）° ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOM∠AOC＝（180﹣10t）°，∠BON＝5t°． 如图：∠AON﹣∠AOM＝∠MON． ∴（∠AOB+∠BON）﹣∠AOM＝70°． ∴（10+5t）﹣（180﹣10t）＝70， 10+5t﹣180+10t＝70， 15t＝240， t＝16． 答：t的值为4或16． ②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°． OC转了20t°，OD转了10t°． ∴∠BOD＝（360﹣10t）°，∠AOC＝（20t﹣360）°． ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠BON∠BOD＝（180﹣5t）°，∠AOM∠AOC＝（10t﹣180）°． ∵∠BON﹣AOM﹣∠AOB＝∠MON， ∴（180﹣5t）﹣（10t﹣180）﹣10＝70． 280＝15t t． 故答案为：． 3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°． （1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝　30°　； （2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值； （3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）． 【分析】（1）根据角的数量关系求出∠BOC与∠AOB的关系，从而求得∠BOC的度数； （2）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠COM，相加求和即可； （3）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠BOM，得出代数式从而得解． 【解答】解：（1）∵∠AOC∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC， ∴∠AOB∠BOC， ∵∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝30°； 故答案为：30°； （2）设∠CON＝x°， ∵3∠CON＝∠NOM，∠CON+∠NOM＝∠COM， ∴∠COM＝4∠CON＝4x°， ∵∠CON+∠AON＝∠AOC＝20°， ∴∠AON＝（20﹣x）°， ∴4∠AON+∠COM＝80°﹣4x+4x＝80°； （3）当∠BOM＝180°时，t＝180÷5＝36s； 当∠COM＝180°时，t＝（180+20+40）÷5＝48s； 当∠AON＝180°时，∠CON＝180°﹣20°＝160°，此时，∠MOC＞180°， ∴ON不在左侧，即∠AON≠180°； 当ON和OA重合时，∠AOM＝3∠AOC＝60°，∠BOM＝20°，t＝（360﹣20）÷5＝68s； 当OC和OM重合时，t＝（20+40）÷5＝12s； ①当0≤t≤12时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（60﹣5t）°， ∴∠CON∠COM＝（15t）°， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值； ②当12＜t≤36时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（5t﹣60）°， ∴∠CON＝（t﹣15）°， ∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值； ③当36≤t≤48时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝（5t﹣60）°， ∴∠CON＝（t﹣15）°， ∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5﹣450tt﹣445，不是定值； ④当48＜t＜68时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°， ∴∠CON＝（105﹣1.25t）°， ∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝（85﹣1.25t）°， ∴∠AON∠BOM＝85﹣1.25t﹣90+1.25t＝5°，为定值； ⑤当68＜t＜72时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°， ∴∠CON＝（105﹣1.25t）°， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（1.25t﹣85）°， ∴∠AON∠BOM＝1.25t﹣85﹣90+1.25t＝2.5t﹣175，不是定值； 综上所述，当0＜t≤36或48＜t＜68时，∠AON∠BOM会为定值5°． 4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的角的度数均小于180°） （1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小； （2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小． （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的值． 【分析】（1）根据∠AOD+∠COB＝∠AOB+∠COD，计算求解即可； （2）由角平分线可知，，，根据，计算求解即可； （3）由∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，可得∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，计算求解即可；当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，计算求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝20°， ∴∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝140°， ∴∠AOD+∠COB＝140°； （2）∵OM平分∠COB，ON平分∠AOD， ∴，， ∴， ∴∠NOM＝50°； （3）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∠COD＝20°， ∴∠BOC＝90°，∠BOD＝70°， 当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′＝20t，∠COC′＝10t， ∴∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°， 解得t＝6； 当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′＝360°﹣（20°t﹣70°），∠BOC′＝15°（t﹣9）， ∴∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°， 解得， 综上，t的值为6或． 5．（2023秋•咸安区期末）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． （1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 　5　；此时∠DOB﹣∠MOC＝　30　度；（直接写答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） （3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，∠BOC＝15°； ②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【分析】（1）可得出∠COM＝30°，∠BOD＝60°，进而得出结果； （2）可得出∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，从而得出∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°； （3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM得出60°+3t﹣6t＝15°，进而得出结果；当OC在∠BOM外部时，由∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM得出6t﹣（60°+3t）＝15°，从而得出结果； ②由∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°得出∠BOD． 【解答】解：（1）如图1， ∵OC平分∠MOB， ∴∠COM， ∴t， 此时∠BOD＝60°， ∴∠DOB﹣∠COM＝30°， 故答案为：5，30； （2）如图2， ∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°， ∴∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°； （3）①如图3， 当OC在∠BOM内部时， ∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM， ∴60°+3t﹣6t＝15°， ∴t＝15， 如图4， 当OC在∠BOM外部时， ∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM， ∴6t﹣（60°+3t）＝15°， ∴t＝25， 综上所述：t＝15或25； ②如图5， ∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°， ∴∠BOD． 6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）． （1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为　270　度； （2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值． 【分析】（1）根据∠MON的度数，可得ON旋转的度数，可得答案； （2）根据∠AOC：∠BOC＝1：3，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AON与∠CON的关系，再根据∠AON与∠AOM的关系，可得答案； （3）分类讨论，ON在∠AOC的平分线上，ON的反向延长线平分∠AOC，可得相应的旋转角，根据旋转的速度，可得旋转的时间． 【解答】解：（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 270度， 故答案为：270； （2）解：∠AOM﹣∠NOC＝45°，理由如下： ∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°， ∴∠AON+∠NOC＝45°，∠AON＝45°﹣∠NOC ∵∠MON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°． ∴45°﹣∠NOC+∠AOM＝90°， 即∠AOM﹣∠NOC＝45°． （3）解：①当ON平分∠AOC时，由（2）可知：∠AOC＝45°， ∴∠AON+∠NOC＝45°． ∵ON平分∠AOC， ∴∠AON＝∠NOC＝22.5°， ∵∠MON＝90°， ∴旋转角度为：90°+22.5°＝112.5°， ∴． ②当ON的反向延长线平分∠AOC时，旋转112.5°的基础上，再旋转180°， ∴旋转角度为：112.5°+180°＝292.5°． ∴． 综上所述：t＝4.5s或t＝11.7s． 7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数． （2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值． ②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON 的度数； （2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可； ②在①的条件下，当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°，（m，n为常数），求m+n的值． 【解答】解：（1）如图2中，∵OM平分∠BOC ∴∠BOM＝∠COM∠BOC＝55°， ∴∠BON＝90°﹣55°＝35°； （2）①分四种情况：5t+2t+40＝110① 解得 t＝10； 或5t+2t﹣110＝40， 解得t； 或5t﹣110+2t+40＝360， 解得t； 或5t﹣110+2t﹣40＝360， 解得t（舍）． 综上所述，满足条件的T的值为10或或； ②设旋转时间为t秒，当t＝40时，ON与OC重合，当t＝54时，ON与OA重合， 当40＜t＜54时，如图： 由已知可得：∠CON＝5°t﹣200°，∠AOM＝5°t﹣180°， ∵m∠CON+∠AOM＝n°， ∴m（5°t﹣200°）+5°t﹣180°＝n°， ∴（5°m+5°）t﹣200°m﹣180°＝n°， ∵在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°， ∴5°m+5°＝0， 解得m＝﹣1， ∴﹣200°m﹣180°＝n°， 解得n＝20， ∴m+n＝﹣1+20＝19． ∴m+n的值是19． 【考点9 平行线性质综合探究题】 1．（2023秋•温江区校级期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN． （1）如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？ （2）若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？ （3）若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设时间为t秒（0＜t＜70），若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）设直线BC与MN，GH分别交于P，Q，根据平行线的性质得到∠DFG＝∠AQP＝∠NPQ＝45°，再利用外角的性质求出∠BAQ，再除以速度可得时间； （2）延长BC交MN于点P，根据平行线的性质得到∠1＝∠2＝∠ABC＝60°，再表示出∠2，得到方程，解之即可； （3）分BC∥DE，BC∥DF，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN． 【解答】解：（1）如图，BC∥EF， 设直线BC与MN，GH分别交于P，Q， ∴∠DFG＝∠NPQ＝45°， ∵GH∥MN， ∴∠AQP＝∠NPQ＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAQ＝∠ABC﹣∠AQP＝15°， ∴t7.5； （2）如图，延长BC交MN于点P， ∵GH∥MN， ∴∠1＝∠ABC＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠1＝60°， ∵∠3＝1.5t°，∠EDF＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠EDF﹣∠3＝（90﹣1.5t）°， ∴90﹣1.5t＝60， ∴t＝20； （3）如图，当BC∥DE时， 设直线BC与MN，GH分别交于P，Q， 此时∠MDF＝5t，∠BAQ＝3t， ∴∠NDE＝∠NPQ＝180°﹣90°﹣5t＝90°﹣5t， ∵GH∥MN， ∴∠NPQ＝∠AQB＝90°﹣5t， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAQ+∠AQB＝60°，即90°﹣5t+3t＝60°， 解得：t＝15； 如图，当BC∥DF时， 延长CB，AB，分别与MN交于P，Q， 此时，∠PDF＝5t﹣180°，∠HAQ＝3t， ∴∠CPD＝∠PDF＝5t﹣180°， ∵GH∥MN， ∴∠HAQ+∠AQP＝180°，即∠AQP＝180°﹣∠HAQ＝180°﹣3t， ∵∠ABC＝∠PBQ＝60°，∠PBQ+∠AQP+∠CPD＝180°， ∴60°+180°﹣3t+5t﹣180°＝180°， 解得：t＝60； 综上：所有满足条件的t的值为15或60． 2．（2023秋•长治期末）综合与探究： 已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，求∠PFC的度数． （2）如图2，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由． 【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行公理的推论、平行线的性质可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC，从而得到∠EPF＝∠AEP+∠PFC，代入数据计算即可； （2）由（1）中的结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，根据角平分线的定义得∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，可得结论； （3）由（1）中的结论和邻补角的定义得∠EPF与∠EQF的数量关系． 【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB， ∴∠AEP＝∠1， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠2＝∠PFC， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC， ∵∠AEP＝45°，∠EPF＝80°， ∴∠PFC＝∠EPF﹣∠AEP＝80°﹣45°＝35°， ∴∠PFC的度数为35°； （2）∠EPF＝2∠EQF， 理由：由（1）可知：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ， ∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝2∠AEQ+2∠CFQ＝2（∠AEQ+∠CFQ）＝2∠EQF， ∴∠EPF＝2∠EQF； （3）2∠EQF+∠EPF＝360°， 理由：由（1）可知：∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ， ∴2∠EQF＝2∠AEQ+2∠CFQ＝∠AEP+∠CFP， ∴2∠EQF+∠EPF＝∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴2∠EQF+∠EPF＝360°． 3．（2024春•宁江区校级月考） （1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明． （2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由． （3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由． （4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可） （5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝　540°．　． 【分析】（1）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由角之间的关系即可得出结论； （2）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由平行线之间的关系即可得出结论； （3）过点E作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，再由角之间的关系即可得出结论； （4）过点F作AB∥FM，用（1）的结论可知∠E＝∠B+∠EFM，∠G＝∠GFM+∠D，再由角之间的关系即可得出结论； （5）分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，由平行线的性质可知∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°，再由角之间的关系即可得出结论． 【解答】（1）证明：过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D； （2）解：AB∥CD，过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵∠B+∠D＝∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠D＝∠DEF， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD； （3）解：AB∥EF，过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠D+∠DEF＝180°， ∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF＝180°+180°＝360°， ∴∠B+∠D+∠E＝360°； （4）解：∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F，过点F作AB∥FM，如图所示： ∵AB∥FM，结合（1）结论， ∴∠E＝∠B+∠EFM， ∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论， ∴∠G＝∠GFM+∠D， ∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM， ∴∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F； （5）解：∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，如图所示： ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， 故答案为：540°． 4．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　60　°； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜30时，根据4t＝2×（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝4t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠ACB＝2t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴∠BAN＝180°60°， 故答案为：60； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜45时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD ∴4t＝2×（15+t）， 解得：t＝15； ②当45＜t＜75时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA＝180°， ∵AC∥BD， ∴∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD+∠CAN＝180° ∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°， 解得：t＝55； 综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC和∠BCD关系不会变化． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠MAC＝4t，∠MAB＝120°， ∴∠BAC＝4t﹣120°＝4（t﹣30°）， 又∵∠DBC＝2t，∠ABD＝120°， ∴∠ABC＝120°﹣2t， ∴∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣2t， 又∵∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣60°＝2（t﹣30°）， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC和∠BCD关系不会变化． 5．（2024春•荆门期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝　25°　（直接写出结果） 【分析】（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠HAB，再根据已知及角的和差关系可得∠CBP＝∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得∠HAF＝∠FAB＝β，从而可得∠HAB＝2β，再根据已知∠FCG＝2∠FCB＝2α，然后利用平行线的性质可得∠F＝∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝3（α+β ），进行计算即可解答； （3）利用角平分线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2∠NBM，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD， ∴∠ABP＝∠HAB， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG， ∴∠CBP＝∠BCG， ∴BP∥CE， ∴AD∥CE． （2）∵AF平分∠HAB， ∴∠HAF＝∠FAB＝β， ∴∠HAB＝2∠FAB＝2β， ∵∠BCF＝∠BCG＝α， ∴∠FCG＝2∠FCB＝2α， 由（1）可知∠B＝∠HAB+∠BCG， ∴∠F＝∠HAF+∠FCG， ∵α+β＝40°， ∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG ＝2β+α+β+2α ＝3α+3β ＝3（α+β） ＝120°． 答：∠B+∠F的度数为120°． （3）∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC， ∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC， ∵BM∥CR， ∴∠BCR＝∠MBC， ∴∠BCG＝2∠MBC， ∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC， ∵∠BAH＝50°， ∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG ＝2∠NBC﹣2∠MBC ＝2（∠NBC﹣∠MBC） ＝2∠NBM， ∴∠NBM25°． 故答案为：25°． 6．（2024春•湛江期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数． （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数． （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝120°，求∠AME的度数. 【分析】（1）过点G作GE∥AB，根据平行线的性质得∠AMG+∠CNG＝∠MGN，再由垂直的定义得答案； （2）过G作GE∥AB，过P作PF∥AB，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得∠MGN+∠MPN＝3∠BMG，便可求得结果； （3）过E作ES∥AB，过G作GL∥AB，设∠AMF＝x，∠DNG＝y，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出∠MEN＝90°2x，∠MGN＝x+y，由2∠MEN+∠MGN＝120°，便可求得结果． 【解答】解：（1）如图1，过点G作GE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GE∥CD， ∴∠AMG＝∠MGE，∠CNG＝∠NGE， ∴∠AMG+∠CNG＝∠MGE+∠NGE＝∠MGN， ∵GM⊥GN， ∴∠AMG+∠CNG＝∠MGN＝90°； （2）如图2，过G作GE∥AB，过P作PF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EG∥CD∥FP， ∴∠BMG＝∠MGE，∠DNG＝∠NGE，∠BMP＝∠FPM，∠FPN＝∠DNP， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠PNG， ∴∠BMP＝2∠BMG＝2∠PMG，∠PND＝∠DNG∠PNG， ∴∠MGN+∠MPN＝∠MGE+∠NGE+∠FPM﹣∠FPN＝∠BMG+∠PND+2∠BMG﹣∠PND＝3∠BMG， ∵∠BMG＝30°， ∴∠MGN+∠MPN＝90°； （3）∠AME＝40°．理由如下： 如图3，过E作ES∥AB，过G作GL∥AB， 设∠AMF＝x，∠DNG＝y， ∵MF平分∠AME， ∴∠AMF＝∠EMF＝x＝∠BMG， ∴∠AME＝2x， ∵GL∥AB，ES∥AB， ∴∠MGL＝∠BMG＝x，∠SME＝∠AME＝2x， ∵AB∥CD，ES∥AB，GL∥AB， ∴GL∥CD，ES∥CD，∠SME＝∠AME＝2x， ∴∠NGL＝∠DNG＝y， 则∠MGN＝∠MGL+∠NGL＝x+y， ∵NE平分∠CNG， ∴∠CNE∠CNG（180°﹣y）＝90°， ∵ES∥CD， ∴∠SEN＝∠CNE＝90°， 又∵∠SEM＝2x， 则∠MEN＝90°2x， ∵∠MEN＝90°2x，∠MGN＝x+y，且2∠MEN+∠MGN＝120°， ∴2（90°2x）+（x+y）＝120°， 180°﹣y﹣4x+x+y＝120°， ﹣3x＝﹣60°， x＝20°， ∴∠AME＝2x＝40°． 【考点10 新定义问题】 1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（　　） A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047 【分析】根据新运算列式计算即可． 【解答】解：（﹣2023）※（+2024） ＝+（2023+2024） ＝4047， 故选：D． 2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题． 【解答】解：由题意n＝9时，第一次经“F”运算是3×9+5＝32，第二次经“F”运算是，第三次经“F”运算是3×1+5＝8，第四次经“F”运算是， 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， ∴第2023次运算结果8， 故选：C． 3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（　　）次“传输”后可以输出结果，结束程序． A．11 B．12 C．21 D．23 【分析】根据计算程序，得到第n次输入的数应该是2n﹣1，根据452＝2025＞2024可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n值即可． 【解答】解：每次输入的数应该是1，3，5，7，9．⋯第n次输入的数应该是2n﹣1． 每次算出的数为[2（2n﹣1）﹣1]2， 由452＝2025＞2024，程序结束． 可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n＝12． 故选：B． 4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作【a，b，c】．例如：由于22＝43，因此【，2，3】是“唯一根数组”．若【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为　﹣3　． 【分析】根据“唯一根数组”的定义得到k2＝4（5k﹣k2）×1，依此即可求得2k﹣k2+1的值． 【解答】解：∵【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”， ∴k2＝4（5k﹣k2）×1， ∴k2＝20+10k﹣4k2， ∴10k﹣5k2＝﹣20，即2k﹣k2＝﹣4， ∴2k﹣k2+1＝﹣4+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 　2或﹣6　． 【分析】按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：∵x是整数， ∴〈x〉＝x+1， 若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x， ∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+8， ∴x＝2， 此时符合题意． 若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x， ∴﹣3x＝﹣2（x+1）+8， ∴x＝﹣6． 此时符合题意． ∴x的值是2或﹣6． 故答案为：2或﹣6． 6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，an为an﹣1的差倒数，则a2＝　　；若a1+a2+⋯+an＝55，则n＝　113　． 【分析】分别求出a2，a3，a4的值，根据其规律，再求相应的n值． 【解答】解：∵a1＝﹣1， ∴a2， a3， a4， …， ∴该列数是以﹣1，，2这三个数循环出现， ∵﹣12，a1+a2+⋯+an＝55， ∴36……2， ∴3654， ∴54+（﹣1）55， ∴n＝36×3+3+2＝113． 故答案为：，113． 7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【分析】（1）根据题意列出关于m的方程，进行判断． （2）根据三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，得出b＝2c+7，表示出三位数，进行判断． （3）根据四位数x为“1倍数”，得出a﹣c＝b﹣d，再得出11（a﹣c）为8倍数，求出a﹣c，b﹣d的值，得出答案． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出答案． 【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4⇒﹣4m＝﹣2． 解得：m． m不是整数，所以3274不是“m倍数“． 2m﹣9＝6m﹣1⇒﹣4m＝8． 解得：m＝﹣2． 2961是“﹣2倍数“，m为﹣2． （2）∵x为三位数，个位为7， ∴a＝0．d＝7． ﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7． 整理得：b＝2c+7． 这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）． ∵30c+101是整数． ∴这三位数x能被7整除． （3）∵这四位数为“1倍数”． ∴a﹣b＝c﹣d⇒a﹣c＝b﹣d． ∵y＝10a+b，z＝10c+d． ∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）． ∵为整数． ∴为整数． 即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8． ∵各位数的数字互不相等． ∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8． ∴这四位数应为9810，1098． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d． ∵x为“4倍数“． ∴4a﹣b＝4c﹣d①． ∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”． ∴4a﹣c＝4b﹣d②． ①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b⇒﹣3c＝﹣3b⇒c＝b． 将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d． 整理得：d＝5b﹣4a． ∵x+6为“﹣4倍数“． ∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6． 把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得： ﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6． 整理得：8a﹣8b＝6． ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴8a﹣8b不可能等于6， ∴d＜4不符合题意． 当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10）， 整理得：4a+b＝4c+d， 把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得： 4a+b＝4b+（5b﹣4a）， 整理得：a＝b， ∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b， 即d＝b． ∴a＝b＝c＝d． ∵x+6为四位数， ∴a＝b＝c＝d＜9． ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 【考点11 日历与幻方问题】 1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A．35 B．63 C．99 D．119 【分析】设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，这四个数的和是4x+31，将每个选项逐个代入并根据日历的特点分析即可． 【解答】解：设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14， ∴这四个数的和是x+x+8+x+9+x+14＝4x+31， 当4x+31＝35时，解得x＝1，则这四个数分别1，9，10，15，符合日历特点； 当4x+31＝63时，解得x＝8，则这四个数分别8，1617，22，符合日历特点； 当4x+31＝99时，解得x＝17，则这四个数分别17，25，26，31，符合日历特点； 当4x+31＝119时，解得x＝22，则这四个数分别22，30，31，36，不符合日历特点； ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x﹣y的值是（　　） ﹣1 x 2 ﹣2 y A．0 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】设最右边一列中间的数为z，先根据幻方的定义可得x+2+z＝﹣1+z+y，然后变形即可解答． 【解答】解：设最右边一列中间的数为z， 根据题意可得：x+2+z＝﹣1+z+y， 变形可得：x﹣y＝﹣3． 故选：B． 3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（　　） A．98 B．210 C．314 D．386 【分析】设第一行中间这个数为x，得到四个数的和为4x+10，分别解方程逐一判断即可解题． 【解答】解：设第一行中间这个数为x，则另三个数为x﹣2，x+2，x+10， ∴这四个数的和为：x+x﹣2+x+2+x+10＝4x+10 A．当4x+10＝98，解得：x＝22是第三行的首位数字，不符合题意； B．当4x+10＝210，解得：x＝50是第五行的末尾数字，不符合题意； C．当4x+10＝314，解得：x＝76，符合题意； D．当4x+10＝386，解得：x＝94是第十行的数字，不符合题意； 故选：C． 4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【解答】解：如图， 由题意得：x﹣5+8＝x+a﹣2， 解得：a＝5， ﹣2+b+8＝﹣5+b+d， 解得：d＝11， ﹣2+11+e＝8+c+e， 解得：c＝1， ﹣5+b+d＝8+1+e，即：﹣5+b+11＝8+1+e， 解得：b＝3+e， x﹣5+8＝8+c+e，即x﹣5+8＝8+1+e， 解得：x＝6+e， 则x+b+e＝8+1+e，即6+e+3+e+e＝9+e， 解得：e＝0， 所以x﹣5+8＝8+c+e，即x+3＝9， 解得：x＝6． 故选：C． 5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据“四个数字之和记为S．当S＝82”列方程求解． 【解答】解：由题意得：a+a+1+a+9+a+8＝82， 解得：a＝16， 16是周二， 故选：B． 6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　3　． 【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值． 【解答】解：如图， 由题意得，x+y+2+5＝23， ∴x+y＝16， 又∵4+a+x+y＝23， 即4+a+16＝23， ∴a＝3， 故答案为：3． 7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　﹣5　． 【分析】先求出这8个数的和，即可求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和，然后列式计算即可求出a、b的值． 【解答】解：如图， 1+（﹣2）+（﹣3）+3+4+6+（﹣7）+8 ＝（1+3+4+6+8）+（﹣2﹣3﹣7） ＝22+（﹣12） ＝10， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴这个和为10÷2＝5， ∴﹣7+6+b+8＝5，﹣7+c+8+d＝5，c+a+4+d＝5， ∴b＝﹣2，c+d＝4， ∴a＝﹣3， ∴a+b＝﹣3﹣2＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【考点12 数字规律问题】 1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+nn（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2（1×2×3﹣0×1×2），2×3（2×3×4﹣1×2×3），3×4（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是（　　） A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 【分析】根据所给等式，求出1×2+2×3+…+n（n+1）即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为1×2， 2×3， 3×4， …， n（n+1）； 将以上等式两边相加得， 1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）， 当n＝50时， 1×2+2×3+3×4+…+50×5144200． 故选：B． 2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（　　） A．284 B．296 C．303 D．304 【分析】首先观察出第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1，由此进一步解决问题． 【解答】解：由于第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1． 那么第18列的第一个数为172+1＝290， ∴第15行，第18列的数字是290+15﹣1＝304， 故选：D． 3．（2024秋•黔东南州期末）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+⋯+52024，求出5S，然后错位相减计算即可得解． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52024，则5S＝5+52+53+54⋯+52025， ∴5S﹣S＝52025﹣1， ∴， ∴1+5+52+53+…+52024（52025﹣1）， 故选：D． 4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算． 【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、… ∴第100个数为100×2＝200， 即x＝200， 观察第②行：3、5、7、9、11、13、… ∴第100个数为100×2+1＝201， 观察第③行：1、4、9、16、25、36、… ∴第100个数是1002＝10000， 即x＝200、y＝201、z＝10000， ∴2x﹣y+2z＝20199， 故选：C． 5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：　　． 【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1，由此求和即可． 【解答】解：1， 故答案为：． 6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个，3个，4个，…n个（n为正整数）按顺序排成一排：1，，，，，，，，，，，，，记a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…S1＝a1，S1＝a1+a2，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S1000﹣S1008＝　2009　． 【分析】由题意可得：n个的和为1，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，从而可求解． 【解答】解：∵n个的和为1，a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， ∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，…， ∴S1＝1，S2＝1+2，Sn＝1+2+3+…+n， ∴S1000﹣S1008 ＝1+2+3+…+1000﹣（1+2+3+…+1008） ＝1+2+3+…+1008+1009+1000﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1008 ＝2009． 故答案为：2009． 7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）若n＝7时，则S的值为 　56　． （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝　n（n+1）　． （3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）． 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出n＝7时，S的值； （2）根据表格中的数据，可以计算出S＝2+4+6+…+2n的值； （3）根据题目中的式子可知，102+204+206+…+2020＝（2+4+…+200+202+…+2020）﹣（2+4+…+100），然后计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得， n＝7时，S＝2+4+…+16＝7×8＝56， 故答案为：56； （2）由题意可得， S＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）， 故答案为：n（n+1）； （3）102+104+106+…+2020 ＝（2+4+…+100+102+…+2020）﹣（2+4+…+100） ＝1010×1011﹣50×51 ＝1021110﹣2550 ＝1018560． 【考点13 图形规律问题】 1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五角星的个数为（　　） A．3600 B．3500 C．3599 D．3499 【分析】依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形五角星的个数为：3＝1×3； 第2个图形五角星的个数为：8＝2×4； 第3个图形五角星的个数为：15＝3×5； 第4个图形五角星的个数为：24＝4×6； …， 所以第n个图形五角星的个数为n（n+2）， 当n＝59时， n（n+2）＝59×61＝3599（个）， 即第59个图形五角星的个数为3599个． 故选：C． 2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（　　） A．63 B．84 C．108 D．152 【分析】根据第①个图形的棋子数是3＝3×1，第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），…，可得第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），据此求出第⑥个图形中棋子的颗数为多少即可． 【解答】解：∵第①个图形的棋子数是3＝3×1， 第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2）， 第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3）， …， ∴第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n）， ∴第⑥个图形中棋子的颗数为： 3×（1+2+…+6） ＝3×21 ＝63． 故选：A． 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解． 【解答】解：第1个数为0， 第2个数为：2+4+6＝12， 第3个数为：12+8+10+12＝42， 第4个数为：42+14+16+18＝90， 第5个数为：90+20+22+24＝156， 故选：D． 4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（　　） A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601 【分析】观察所给图形中各部分的数字，发现规律即可解决问题． 【解答】解：观察所给图形可知， 第奇数个图形右上角的数字是正数，第偶数个图形右上角的数字是负数，且绝对值为完全平方数， 所以第n个图形右上角的数字可表示为：（﹣1）n+1n2． 图形中左上角的数字为从1开始的连续奇数， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：2n﹣1． 因为第p＝101， 则2n﹣1＝101， 解得n＝50， 所以q＝（﹣1）51×502＝﹣2500． 故选：B． 5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题中定义求出第一行数字，即可求出其序号，进而解决问题． 【解答】解：由题知， A选项中第一行的数字为：0，0，1，1． 则其序号为：0×23+0×22+1×21+1×20＝3， 所以该生为3班的学生． 故A选项不符合题意． B选项中第一行的数字为：0，1，0，1． 则其序号为：0×23+1×22+0×21+1×20＝5， 所以该生为5班的学生． 故B选项不符合题意． C选项中第一行的数字为：0，1，1，0． 则其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6， 所以该生为6班的学生． 故C选项符合题意． D选项中第一行的数字为：0，1，1，1． 则其序号为：0×23+1×22+1×21+1×20＝7， 所以该生为7班的学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有　（n2+n+4）　个小圆圈． 【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6个； 第2个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10个； 第3个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16个； … 则第n个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案为：n2+n+4． 7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　（n+1）　个；共有小圆圈 　n（n+1）　个． ②1+2+3+⋯+n＝　　 数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　2n+1　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝　　； ⑤12+22+32+⋯+n2＝　　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　　． ⑦求212+222+232+…+302的值． 【分析】问题呈现：根据图中的四边形的面积计算； 数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解． 【解答】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈（n+1）个；共有小圆圈n（n+1）个． ②1+2+3+⋯+n， 故答案为：（n+1），n（n+1），； 数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1， ：故答案为：2n+1； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝（2n+1）， 故答案为：； ⑤12+22+32+⋯+n23， 故答案为：； 拓展运用：根据以上发现， ⑥， 故答案为：； ⑦求212+222+232+⋯+302 ＝12+22+32+⋯+302﹣（12+22+32+⋯+202） ＝9455﹣2870 ＝6585． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$