专题05 统计与概率（4大基本题型+4大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题05 统计与概率 1、 基础题型 1、 事件的独立性 2、 分层抽样 3、 用样本估计总体 4、 统计图表 2、 重难点题型 1、 用样本估计总体的应用 2、 概率 3、 概率的应用 4、 统计概率综合 事件的独立性 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 2．（22-23高一下·北京朝阳·期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．“都是白球”与“至少有一个白球” B．“恰有一个白球”与“都是红球” C．“都是白球”与“都是红球” D．“至少有一个白球”与“都是红球” 分层抽样 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（    ）人 A．220 B．225 C．580 D．585 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 用样本估计总体 1．（2023·四川凉山·一模）已知一组数的平均数，方差，则数据的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，4 C．2，4 D．2，2 2．（23-24高一上·北京房山·期末）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 统计图表 1．（19-20高一下·全国·课后作业）给出如图所示的三幅统计图及四个命题： ①从折线图能看出世界人口的变化情况； ②2050年非洲人口将达到大约15亿； ③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多； ④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.    给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学大； ②甲同学成绩的平均数比乙同学高； ③甲同学成绩的分位数比乙同学小； ④甲同学成绩的方差比乙同学大 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①③④ 3．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（    ） A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差 B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 4．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 用样本估计总体的应用 1．（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:    记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则 ； 若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则 （用“<，>或=”连接）． 3．（23-24高一上·北京西城·期末）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分， 则甲得分的中位数是 ，乙得分的方差为 ． 4．（21-22高一上·北京西城·期末）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 ，乙组数据的25%分位数是 ． 概率 1．（23-24高一上·北京昌平·期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为 ；至少有两人投中的概率为 . 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 3．（15-16高二上·河北石家庄·期末）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是 概率的应用 1．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 2．（23-24高一上·北京石景山·期末）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下： 甲队 88 91 93 96 乙队 89 94 97 92 (1)在4次比赛中，求甲队的平均得分； (2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率； (3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明） 3．（23-24高一上·北京西城·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 4．（9-10高三·湖南·阶段练习）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图. （1）依茎叶图判断哪个班的平均身高较高说明理由； （2）计算甲班的样本方差（精确到0.1）； （3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的 同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率． 统计概率综合 1．（23-24高一上·北京房山·期末）某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； (3)假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 2．（23-24高一上·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 3．（23-24高一上·北京昌平·期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图： 分组区间 频数 频率 合计 (1)求出表中，及图中的值； (2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数； (3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率. 4．（23-24高一上·北京西城·期末）某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对、两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到员工的频率分布直方图和员工的频数分布表： 分数区间 频数 2 3 12 18 15 (1)在评审团的50人中，求对员工的评分不低于80分的人数； (2)从对员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； (3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？ 5．（23-24高一上·北京·期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立． (1)将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40和不低于65的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65的概率． (2)用频率估计概率，从运用新､旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55的概率； (3)求频率分布直方图中的值．假定新､旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果） 6．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计与概率 1、 基础题型 1、 事件的独立性 2、 分层抽样 3、 用样本估计总体 4、 统计图表 2、 重难点题型 1、 用样本估计总体的应用 2、 概率 3、 概率的应用 4、 统计概率综合 事件的独立性 1．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【答案】D 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 2．（22-23高一下·北京朝阳·期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（    ） A．“都是白球”与“至少有一个白球” B．“恰有一个白球”与“都是红球” C．“都是白球”与“都是红球” D．“至少有一个白球”与“都是红球” 【答案】D 【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况， 选项A, “至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误， 选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误， 选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误， 选项D：“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都是红球”是对立事件，故D正确， 故选：D． 分层抽样 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（    ）人 A．220 B．225 C．580 D．585 【答案】C 【详解】依题意，设高三男生人数为人，则高三女生人数为人， 由分层抽样可得，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 【答案】A 【详解】因为初中学生人抽取了人，所以抽样比为， 所以高中生抽取人， 故选：A. 用样本估计总体 1．（2023·四川凉山·一模）已知一组数的平均数，方差，则数据的平均数和方差分别是（    ） A．3，2 B．3，4 C．2，4 D．2，2 【答案】B 【详解】由题意，数据，，，的平均数为， 方差为. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京房山·期末）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表： 甲的成绩 乙的成绩 环数 6 7 8 9 10 环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 4 2 1 频数 3 2 1 1 3 甲、乙两人成绩的平均数分别记作，，标准差分别记作，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意可得：， ， ， ， 所以，. 故选：C. 统计图表 1．（19-20高一下·全国·课后作业）给出如图所示的三幅统计图及四个命题： ①从折线图能看出世界人口的变化情况； ②2050年非洲人口将达到大约15亿； ③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多； ④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中命题正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【详解】①从折线图中能看出世界人口的变化情况,故①正确； ②从条形图中可得到2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错； ③从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确； ④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误. 因此正确的命题有①③. 故选:B. 2．（23-24高一上·北京昌平·期末）以下茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）.    给出下列四个结论： ①甲同学成绩的极差比乙同学大； ②甲同学成绩的平均数比乙同学高； ③甲同学成绩的分位数比乙同学小； ④甲同学成绩的方差比乙同学大 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】①甲同学成绩的极差为， 乙同学成绩的极差为，所以①正确，排除C选项. ②甲同学成绩的平均数为， 乙同学成绩的平均数为，所以②错误. ③，所以甲同学成绩的分位数是， 乙同学成绩的分位数是，所以③错误，排除BD选项.所以A选项正确. 同时，通过观察茎叶图可知甲同学的成绩相对分散，乙同学的成绩相对集中， 所以甲同学成绩的方差比乙同学大，④正确. 故选：A 3．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（    ） A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差 B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 【答案】C 【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：， 乙在5天中每天加工零件的个数为：， 对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为， 故A错误； 对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误； 对于C，甲加工零件数的平均数为， 乙加工零件数的平均数为，故C正确； 对于D，甲加工零件数的方差为 ， 乙加工零件数的方差为， 故D错误； 故选：C 4．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件， 因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为， 则“抽到丙级品”的概率为. 故选：A 用样本估计总体的应用 1．（23-24高一上·北京房山·期末）有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，下面有四个结论： ①，，，的中位数等于，，…，的中位数； ②，，，的平均数等于，，…，的平均数； ③，，，的标准差不大于，，…，的标准差； ④，，，的极差不大于，，…，的极差. 则所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】由题意不妨设， 对于，，，的中位数和，，…，的中位数均为，故①正确； 取，此时，，，的平均数为1，它小于，，…，的平均数，故②错误； 对于③，，，，相比，，…，去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确； ，，，的极差与，，…，的极差满足，故④正确. 故答案为：①③④. 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：）:    记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则 ； 若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为，则 （用“<，>或=”连接）． 【答案】 【详解】对空：由题意得甲环境的幼苗高度为：，其中位数， 乙环境的幼苗高度为：，其中位数， 所以； 对空：甲环境下的幼苗平均高度为：， 所以 甲环境下的幼苗平均高度为： 所以 所以. 故答案为：；. 3．（23-24高一上·北京西城·期末）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分， 则甲得分的中位数是 ，乙得分的方差为 ． 【答案】 【详解】甲得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，甲得分的中位数为， 乙得分由小到大排列依次为：、、、、， 所以，乙得分的平均数为， 方差为. 故答案为：；. 4．（21-22高一上·北京西城·期末）已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是 ，乙组数据的25%分位数是 ． 【答案】 45 35 【详解】由题可知甲组数据共9个数， 所以甲组数据的中位数是45， 由茎叶图可知乙组数据共9个数，又， 所以乙组数据的25%分位数是35. 故答案为：45；35. 概率 1．（23-24高一上·北京昌平·期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为 ；至少有两人投中的概率为 . 【答案】 / / 【详解】甲、乙、丙三人都投中的概率为. 至少有两人投中的概率为. 故答案为：； 2．（23-24高一上·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 . 【答案】 【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为， 所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为， 至少两次投中的概率为. 故答案为：；. 3．（15-16高二上·河北石家庄·期末）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是 ． 【答案】 【详解】试题分析：设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，一个零件经过检测，为合格品的概率P； 由题意得：， 解可得P1=，P2=，或P1=，P2=， 则P=P1×P2=； 故答案为． 概率的应用 1．（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【详解】（1）设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； （2）甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 2．（23-24高一上·北京石景山·期末）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下： 甲队 88 91 93 96 乙队 89 94 97 92 (1)在4次比赛中，求甲队的平均得分； (2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率； (3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明） 【详解】（1）设甲队的平均分为， 则 所以甲队的平均分为； （2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有 ，共包含16个基本事件， 这2个比赛得分之差的绝对值为1包含，共5个基本事件， 所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率; （3）乙队的平均分为， 则, 3．（23-24高一上·北京西城·期末）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明） 【详解】（1）从2018年到2022年运行列数的平均值为：， 所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列. （2）从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是： ， ， 用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件， 则中的结果有4个，它们是， 故所求的概率. （3）. （理由：这三年运行列数增长较慢，数据变化幅度小，所以方差最小；， 这五年运行列数增长很快，且的运行列数约是年的倍，数据变化幅度很大，所以方差最大.） 4．（9-10高三·湖南·阶段练习）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图. （1）依茎叶图判断哪个班的平均身高较高说明理由； （2）计算甲班的样本方差（精确到0.1）； （3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的 同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率． 【详解】（1）由茎叶图知：设样本中甲班位同学身高为，乙班位同学身高为，则 ． ． ∵，据此可以判断乙班同学的平均身高较高． 设甲班的样本方差为，由（1）知．则 （2）， （3）由茎叶图可知：乙班这名同学中身高不低于的同学有人，身高分别为、、、、．这名同学分别用字母、、、、表示．则记“随机抽取两名身高不低于的同学”为事件，则包含的基本事件有：、、、、、、、、、共个基本事件． 记“身高为的同学被抽中”为事件， 则包含的基本事件为：、、、共个基本事件． 由古典概型的概率计算公式可得：． 统计概率综合 1．（23-24高一上·北京房山·期末）某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从和两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率； (3)假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 易知组距为2，所以， 解得. （2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为 所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2， 记中的4人为，，，，中的2人为，， 从这6人中随机选出2人，则样本空间 ，共15个样本点 设事件：选出的2人不在同一组， ，共8个样本点， 所以 （3） 估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时 2．（23-24高一上·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【详解】（1）因为， 所以； 该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为： . （2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为： ，，，，， 用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，， 记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 则. 3．（23-24高一上·北京昌平·期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图： 分组区间 频数 频率 合计 (1)求出表中，及图中的值； (2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数； (3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率. 【详解】（1）依题意，， 所以， . （2）阅读时间在区间内的人数为. （3）抽取人，记为， 抽取人，记为. 从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有： ，共个， 至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有： ，共个， 所以至多有人阅读时间在区间内的概率为. 4．（23-24高一上·北京西城·期末）某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对、两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到员工的频率分布直方图和员工的频数分布表： 分数区间 频数 2 3 12 18 15 (1)在评审团的50人中，求对员工的评分不低于80分的人数； (2)从对员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； (3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？ 【详解】（1）由员工评分的频率分布直方图得：， 所以对员工的评分不低于80分的人数为：（人）． （2）对员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为，，评分在内的3人记为，，， 从5人中任选2人的情况有：，，，，，，，，，，共10种，它们等可能， 2人评分均在范围内的有：，，，共3种， 所以2人评分均在范围内的概率． （3）由员工评分的频率分布直方图得：， ， 则员工评分的中位数，有，解得， 由员工的频数分布表得：，， 则员工评分的中位数，有，解得， 所以评审团将推荐员工作为后备干部人选． 5．（23-24高一上·北京·期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立． (1)将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40和不低于65的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65的概率． (2)用频率估计概率，从运用新､旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55的概率； (3)求频率分布直方图中的值．假定新､旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果） 【详解】（1）的频数为， 的频数为， 再从中随机抽取2箱，基本事件总数， 恰有一箱产量不低于65kg包含的基本事件个数， 恰有一箱产量不低于65kg的概率为． （2）设事件分别表示： 从运用旧，新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg， 用频率估计概率，则， ， 相互独立， 估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率为： ． （3）频率分布直方图所有小长方形面积之和等于1，即 解得 旧养殖法的平均值估计为： ， 新养殖法的平均值估计为： ， ， 该养殖场下一年应采用新养殖法更合适． 6．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，        所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3. （2）样本中，组中有人，组中有人，                 从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为： 共包含15 个样本点, 记事件A：两人来自同一组， 则，共包含7个样本点， 所以这2人来自同一组的概率 . （3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:. 方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等， 对比两组数据，可知：或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$