清单07 尺规作图与轴对称（考点清单，7个考点梳理+9个题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

清单07 尺规作图与轴对称（7个考点梳理+9个题型解读+提升训练） 【清单01】作一个角等于已知角 1. 在∠α上以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； 2. 作射线O'A； 3. 以点O'为圆心，OP(或OQ)长为半径作弧，交O'A于点M； 4. 以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N； 5. 过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线 【清单02】作已知角的角平分线 1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； 2. 分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3. 作射线OP，OP即为∠AOB的平分线 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 【清单03】作线段的垂直平分线 1. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N； 2. 作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线 原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【清单04】过一点作已知直线的垂线 情况1 过直线上一点作已知直线的垂线 (1)以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径向直线l的上方(或下方)作弧，交于点M； (3)过点M，P作直线，直线MP即为所求作垂线 原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 情况2 过直线外一点作已知直线的垂线 (1)任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； (2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，在点M的同侧交于点N； (4)过点P，N作直线，直线PN即为所求作垂线 原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长；到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【清单05】 轴对称图形的概念 1.轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。可以有多条对称轴。 【清单06】 轴对称 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。只有一条对称轴。 重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 题型考点：①判断轴对称。 【清单07】 轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。 ②对应边 相等 ，对应角相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。 ④对应点的连线之间相互 平行 。 【考点题型一】作一个角等于已知角 【例1】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【变式1 -1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 【变式1 -2】下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交于点； ②分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ③连接 ； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面证明． 证明：连接CD． 在和中， ， ∴（____________）（填推理理由）． ∴（____________）（填推理理由）． 【考点题型二】作角平分线 【例2】如图，已知锐角，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题． (1)画法： ①画的角平分线，在射线上任意取一点E， ②过点E画，交射线于点G． (2)问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与相等的角．直接写出两个即可．（除外） 【变式2 -1】下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【变式2 -2】在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．    (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线； (2)求的度数． 【考点题型三】作垂线 【例3】已知：如图，. 求作：线段，使得. 作法：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点和点； ②作直线，交于点； ③连接. 所以线段即为所求作的线段. (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹） (2)完成下列证明： 证明：是线段的垂直平分线， （____________）.（填写推理依据） ___________°. ， . . 【变式3 -1】如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．        (1)在直线上作点，使，连接； (2)在的延长线上任取一点，连接； (3)在，，中，最短的线段是 ，依据是 ． 【变式3 -2】已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【考点题型四】作垂直平分线 【例4】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【变式4 -1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【变式4 -2】如图，分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接AB、AD、CB、CD．若AB＝2，，则四边形ABCD的面积为 ． 【考点题型五】作三角形 【例5】小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段，作出等边（点在线段上方），再作的角平分线交于； (2)补全证明过程（写出结论依据）： 由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（________），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 【变式5 -1】已知：如图1，线段a，b（）． （1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a． 作法：①作线段． ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． ③在MN上取一点C，使． ④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； （2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长． 作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝ ． ④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）． 【考点题型六】逆命题逆定理 【例6】下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 【变式6 -1】已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 【变式6 -2】命题 “等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）． 【考点题型七】轴对称图形 【例7】榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -1】下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【考点题型八】画轴对称图形 【例8】如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式8 -1】如图，在正方形的外侧作射线，，作点关于射线的对称点，连接交于点，连接．    (1)依题意补全图形； (2)若，则________； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式8 -2】已知：线段及过点A的直线l．如果线段与线段关于直线l对称，连接交直线l于点D，以为边作等边，使得点E在的下方，作射线交直线l于点F，连结． (1)根据题意补全图形； (2)如图，如果， ①　 　；（用含有α代数式表示） ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【考点题型九】设计轴对称图案 【例9】图，在2×2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9 -1】如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 尺规作图与轴对称（7个考点梳理+9个题型解读+提升训练） 【清单01】作一个角等于已知角 1. 在∠α上以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； 2. 作射线O'A； 3. 以点O'为圆心，OP(或OQ)长为半径作弧，交O'A于点M； 4. 以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N； 5. 过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线 【清单02】作已知角的角平分线 1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； 2. 分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3. 作射线OP，OP即为∠AOB的平分线 原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 【清单03】作线段的垂直平分线 1. 分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N； 2. 作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线 原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【清单04】过一点作已知直线的垂线 情况1 过直线上一点作已知直线的垂线 (1)以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径向直线l的上方(或下方)作弧，交于点M； (3)过点M，P作直线，直线MP即为所求作垂线 原理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 情况2 过直线外一点作已知直线的垂线 (1)任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； (2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，在点M的同侧交于点N； (4)过点P，N作直线，直线PN即为所求作垂线 原理：圆弧上的点到圆心的距离等于半径长；到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 【清单05】 轴对称图形的概念 1.轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。可以有多条对称轴。 【清单06】 轴对称 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。只有一条对称轴。 重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 题型考点：①判断轴对称。 【清单07】 轴对称与轴对称图形的性质 1.轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。 ②对应边 相等 ，对应角相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。 ④对应点的连线之间相互 平行 。 【考点题型一】作一个角等于已知角 【例1】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【分析】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定方法，熟练掌握作图是解题的关键．根据作法得到，再根据全等三角形的判定方法即可得到答案． 【详解】解：根据作法得到， 故由可得， 故选A． 【变式1 -1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以依据是， 故答案为：． 【变式1 -2】下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交于点； ②分别以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ； ③连接 ； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面证明． 证明：连接CD． 在和中， ， ∴（____________）（填推理理由）． ∴（____________）（填推理理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据作图步骤作图保留作图痕迹即可； （2）填写全等判定方法，及全等性质即可． 【详解】（1） （2）证明：如下图所示连接 ． 在和中， ， ∴（ SSS ）（填推理理由）． ∴（全等三角形的对应角相等）（填推理理由） 【点睛】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，关键是掌握作图中依据的全等原理，构造全等三角形从而得到相等的角． 【考点题型二】作角平分线 【例2】如图，已知锐角，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题． (1)画法： ①画的角平分线，在射线上任意取一点E， ②过点E画，交射线于点G． (2)问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与相等的角．直接写出两个即可．（除外） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图，作一个角等于已知角，角平分线的意义及平行线的性质， （1）①以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交于点G，F，分别以点G，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线即可，再根据题意找出点E；②作，使的边交于点G即可； （2）由角平分线的意义和平行的性质即可求解； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）①如图，即为所求； ②如图，即为所求； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴图形中与相等的角有． 【变式2 -1】下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法： 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； 分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； 画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴(______)， ∴____________， ∵， ∴， 又∵， ∴(______)． 【答案】(1)补图见解析； (2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【分析】（）根据题意补全图形，即可； （）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证； 本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)， 故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式2 -2】在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．    (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图法可作的平分线； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键． 【考点题型三】作垂线 【例3】已知：如图，. 求作：线段，使得. 作法：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点和点； ②作直线，交于点； ③连接. 所以线段即为所求作的线段. (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹） (2)完成下列证明： 证明：是线段的垂直平分线， （____________）.（填写推理依据） ___________°. ， . . 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形内角和定理，对于（1），根据步骤作出图形即可； 对于（2），根据题意补充条件即可． 【详解】（1）作图： （2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45． ∵是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45． 【变式3 -1】如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．        (1)在直线上作点，使，连接； (2)在的延长线上任取一点，连接； (3)在，，中，最短的线段是 ，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查作图复杂作图，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）作直线即可； （2）连接即可； （3）根据垂线段最短即可． 【详解】（1）如图，如图，点C即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）根据垂线段最短可知，线段最短， 故答案为：，垂线段最短．    【变式3 -2】已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， 即， 故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；；． 【考点题型四】作垂直平分线 【例4】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 【变式4 -1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质即可判断． 【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处， 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键． 【变式4 -2】如图，分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接AB、AD、CB、CD．若AB＝2，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的判定求出BE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接AC，交BD于点E， 由作图可知，AC所在的直线是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，BE＝ED＝， 在Rt△ABE中，AE＝＝1， ∴四边形ABCD的面积＝×1×2＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【考点题型五】作三角形 【例5】小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段，作出等边（点在线段上方），再作的角平分线交于； (2)补全证明过程（写出结论依据）： 由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（________），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 【答案】(1)画图见解析 (2)等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合 【分析】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）先作等边三角形，再作的角平分线即可； （2）由等腰三角形的三线合一可得垂直平分，进一步可得结论． 【详解】（1）解：如图所示：，线段即为所求； （2）由作图可知： ∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合），， ∴，， 又∵， ∴， 即在中，，，则． 【变式5 -1】已知：如图1，线段a，b（）． （1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a． 作法：①作线段． ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． ③在MN上取一点C，使． ④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； （2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长． 作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝ ． ④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）b，a，见解析 【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可； （2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可． 【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形； （2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G． ②过点G作直线l的垂线GH． ③在GH上取一点P，使PG＝b． ④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F． ⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形． 如图，PEF就是所求作的等腰三角形． 故答案为：b，a． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键． 【考点题型六】逆命题逆定理 【例6】下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 【答案】C 【分析】根据命题的定义进行解题即可； 【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，假命题，故不符合题意； B.只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角会互补，假命题，故不符合题意； C.平行于同一条直线的两条直线互相平行，真命题，故符合题意； D.同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，假命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查判断命题的真假，掌握相关知识是解题的关键． 【变式6 -1】已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 【答案】假 【分析】本题考查了命题及其逆命题，全等三角形的性质，正确写出逆命题是解题关键． 【详解】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题为“两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”， 两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等， 这个命题的逆命题为假命题， 故答案为：假． 【变式6 -2】命题 “等边对等角”的逆命题是 ，是 （填“真命题”或 “假命题”）． 【答案】 等角对等边 真命题 【分析】先写出其逆命题，再判定即可． 【详解】解： “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题． 故答案为：等角对等边，真命题． 【点睛】要根据逆命题的定义，写出逆命题，结合三角形的性质来判断命题的真假． 【考点题型七】轴对称图形 【例7】榫卯拼接木艺是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中不是轴对称图形，故不符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，故符合要求； D中不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 【变式7 -1】下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可． 【详解】解：A、对称轴是3条，本选项不符合题意； B、对称轴是4条，本选项符合题意； C、对称轴是2条，本选项不符合题意； D、对称轴是6条，本选项不符合题意； 故选：C． 【考点题型八】画轴对称图形 【例8】如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出个， ， 故选：D． 【变式8 -1】如图，在正方形的外侧作射线，，作点关于射线的对称点，连接交于点，连接．    (1)依题意补全图形； (2)若，则________； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析 (2)45 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案； （2）根据题意，由对称性可知，，再结合正方形性质得到，，从而可以得到是等腰三角形，得，则，在中，利用三角形内角和定理即可得到答案； （3）线段，，之间的数量关系为．证明如下：过点做交于点，如图所示，由题意可知：，， 得到，，在中，，，则，再证明, 得到，由，即可得到． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如下图所示：    （2）解：如（1）中图形所示：    在正方形中，，， 点关于射线的对称点，， ，， 是等腰三角形， ， ，，， ， 在中，利用三角形内角和定理，，，则， 故答案为：； （3）解：线段，，之间的数量关系为． 证明如下：过点做交于点，如图所示：    由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，，则， 在和中， ∴, ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及对称作图、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握相关几何知识的判定与性质是解决问题的关键． 【变式8 -2】已知：线段及过点A的直线l．如果线段与线段关于直线l对称，连接交直线l于点D，以为边作等边，使得点E在的下方，作射线交直线l于点F，连结． (1)根据题意补全图形； (2)如图，如果， ①　 　；（用含有α代数式表示） ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据要求作出图即可； （2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可； ②结论：，在上截取，使得，连接，证明，推出，推出，可以得出结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）解：①∵线段与线段关于直线对称， ∴垂直平分线段， ∵是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②结论： 理由如下： 在上截取，使得，连接 ， 是等边三角形 在和中 ， ， 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【考点题型九】设计轴对称图案 【例9】图，在2×2正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中可以画出与△ABC成轴对称的格点三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】在网格中画出轴对称图形即可． 【详解】解：如图所示，共有5个格点三角形与△ABC成轴对称， 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是熟练掌握轴对称的定义，准确画出图形． 【变式9 -1】如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的特征直接画图即可 【详解】如图所示 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$