专题07相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

专题07 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：A字模型（共8题） 1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 【解答】解：（1），米， 米， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：， 明德楼的高为12米； （2）由题意得：， ， ， ， ， 解得：， 塑像的影长为4米． 2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度． 【解答】解：如图，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 即， 解得， （米， 答：教学楼的高度为16.6米． 3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：大树的高度为． 4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【解答】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米． 5．（2023秋•大荔县期末）如图，矩形中，，，是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为． （1）求的半径； （2）延长交的延长线于点，求的值． 【解答】解：（1）连接，并延长交于点， 与相切于点， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设的半径为， 在中，， ， ， 的半径为； （2）由（1）得： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 的值为15.6． 6．（2023秋•广安区校级期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 【解答】解：由题意得：米，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 灯杆的高度为3.8米． 7．（2023秋•莱西市期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，平分； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，，， ，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知： ， ，， ， ， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 8．（2023秋•市南区期末）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， ，， ， ， ，即， 解得：， 当时，； （2）存在某一时刻，使得的面积等于6． 理由如下： 过点作于，作于，如图1， 则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 当时，的面积等于6． （3）存在，使得． 理由如下： 如图2，过点作于，于，交于，过点作于， 则，， 是的中点， ，，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ，， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， 解得：； 存在，使得． 题型二：8字模型（共7题） 1．（2022秋•隆昌市校级期末）已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【解答】证明：（1）． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且． （1）求证：； （2）． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）由（1）中相似可得，， ， ， ，， ， ， ． 3．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点，平分与交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点，若，，求长． 【解答】（1）证明：如图，连接， 则， ， 平分， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 为直径， ， ，， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，即， ， ， 解得：． 4．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ，． ，． ． ． （2）， ． ， ． ， ． ，即． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，即． 平行四边形是菱形． 5．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积， 答：的面积为9． 6．（2022秋•南开区校级期末）如图，在中，是延长线上一点，连接交，于，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【解答】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 又， ． （2）解：设，则， ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， 又， ． 即的值为． 7．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？ 【解答】解：过点作垂直，垂足为，如图： ，，， ，， ，， ，， ，， ， ，，，，， 设 ，则， ， ， ， 深坑深度5.5米． 题型三：一线三等角模型（共7题） 1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【解答】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， ； （2）解：由（1）证得， ， 设，则， ， 或， 或． 2．（2022秋•魏都区校级期末）如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 【解答】（1）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 的长为； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 【解答】解：（1）证明：等边 将沿折叠，点落在边上的处． 又 ； （2） 设，则， 翻折， 设， ，， 由得： ① 由得： ② 由①②解得：， ． 4．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积， 答：的面积为9． 5．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　或2　． 【解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：为的中点， ， 由（1）知， ， 即， ； 【应用】解：如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意， ②如果，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，，， ， ； 如果，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为的中点， ， 综上，的长为或2， 故答案为：或2． 6．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，若，求的值； ②如图3，若，求的面积． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 即； （2）解：①， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点，分别作，，垂足分别为，，过点作于点， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 又，则， ． 又， ， ， 则， ， 则， ， ， ， 由， 得， ， ， ． 7．（2022秋•岚山区校级期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ． ． ， ， ． ． （2）解：过点作于点． 由（1）得． ． ，，， ， ． ， ． ． （3）解：过点作于点，过点作的延长线于点． ． 四边形是平行四边形， ，． ． ． ，． ，， ， ， 设，，． ，． ， 由（1）得． ， ， ， ， ， ，． 平行四边形的面积． 题型四：手拉手旋转模型（共9题） 1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 【解答】（1）证明：，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ． 2．（2022秋•大东区期末）如图，为内的一点，为外的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，直接写出线段的长度为 　　． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 的长是2.4． 故答案为：2.4． 3．（2022秋•松原期末）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 　　（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，、交于点，则　　度． 【解答】解：感知：将绕点逆时针旋转得到△， ， 即， 又，， ， 即， 故答案为：相等； 探究：，证明如下： 将绕点逆时针旋转得到△， ，，， ， ， ； 应用：， ， ， 设与相交于点， ， ， ，， ， ． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上时，且，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示） 【解答】（1）证明：如图1中， 和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图2， ，即， ， ， 又， ； （3）解：， ， ， ， 解得：， ， ， ，， 在中，． 5．（2022秋•驿城区校级期末）已知在中，于点． （1）在图1中，写出其中两对相似三角形． （2）已知，，将绕着点按顺时针方向进行旋转得到△，连接，． ①如图2，判断与之间的位置及数量关系，并证明； ②在旋转过程中，当点，，在同一直线时，求的长． 【解答】解：（1）， ， ，； （2）①，，理由如下： 由（1）知，在图1中，， ， 如图2，， ， △， ，， ， ， ， ，； ②如图，当点、、在同一直线上时， 由①知，，， 设，， 在中，由勾股定理得，， 解得（负值舍去）， 如图，当、、在同一直线上时， 同理可得，， 解得（负值舍去）， 综上：或． 6．（2022秋•沭阳县校级期末）在中，，在中，，请探索解答下列问题． 【问题发现】 （1）如图1，若，点，分别在，上，则与的数量关系是 　 　，直线与的夹角为 　 　； 【类比探究】 （2）如图2，若，将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，若，将绕点旋转过程中，当，，三点共线．请直接写出的长． 【解答】解：（1），，， ， ，， ，， ， ， 直线与的夹角为， 故答案为：，； （2）不满足，，直线与的夹角为， 理由如下：如图2，过点作于，延长、交于点， ， ， ，，， ，， ，， 由勾股定理得：， ， 同理可得：， ， ， ， ，， ，， ，直线与的夹角为； （3）如图3，点在线段上， ， ，， 由勾股定理得：， ， ， 如图4，点在线段上， ， ， 综上所述：当，，三点共线．的长为或． 7．（2022秋•梅里斯区期末）在中，，点为边上一动点，，，连接，． （1）问题发现： 如图①，若，则　 　，与的数量关系是 　　 ； （2）类比探究： 如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由； （3）拓展应用： 如图③，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【解答】解：（1）， ，， ，， 和是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， 理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： 四边形是正方形， ，对角线与互相垂直平分， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； ②当时，如图④所示： 同①得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 综上所述，线段的长度为或． 8.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 9.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 题型五：三角形内接矩形模型（共3题） 1.（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ．    【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：∽， 即：， 又∵， ∴， ， 解得：，即：， 同理：∽， ， 解得：，即：， 同理：∽， ， 解得：，即：， 由此规律得： 线段的长为：， 故答案为：． 2.（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【答案】/ 【详解】解：在中，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，即， 解得， ，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得， 故答案为：． 3.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB， ∴∠A＝∠ADP＝45°， ∴AP＝DP＝2t， 故答案为2t， （2）如图， ∵四边形DEFP是正方形， ∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°， ∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°， ∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF， ∵AB＝AP+PF+FB， ∴2t+2t+2t＝8， ∴t＝； （3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积， 即S＝DP2＝4t2， 当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积， ∵AP＝DP＝PF＝2t， ∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t， ∵BF＝HF＝8﹣4t， ∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8， ∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE， ∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32， 综上所述，S与t之间的函数关系式为. （4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝5a， ∴， ∴， ∴t＝， 如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O， ∵四边形PDEF是正方形， ∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°， ∴∠DFP＝∠ABC＝45°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DF＝4EG， ∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO， ∴PG＝3a， ∵， ∴， ∴t＝， 综上所述：t＝或. 题型六：双垂直模型（共2题） 1.（23-24九年级·广西南宁·期末）如图1，在正方形中，长为，点和点分别是，边上一点，且，连接，，和相交于点．    (1)求证：； (2)如图2，过作，垂足为．    ①若，求的长； ②如图3，连接并延长交于点，若为的中点，求的值．    【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴； （2）①由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：，， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； ②∵为的中点，， ∴，， ∵， 同理可得：， ∴， ∴设， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴． 2.（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， 而∠A=∠A，∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC² = AB·AD； （2）①证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴BC2=BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2=BF•BE， ∴BO•BD=BF•BE， 即，而∠OBF=∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=， ∴CE=， ∴DE=BC-CE=2； 在Rt△OBC中，OB=BC=， ∵△BOF∽△BED， ∴，即， ∴OF=. 题型七：母子模型（共4题） 1．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 2.（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2 ∴， ∴ ∵∠C =∠C ∴△ACD∽△BCA． 3.（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 4.（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． $$专题07 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：A字模型（共8题） 1．（2023秋•锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． （1）求明德楼的高； （2）求塑像的影长． 2．（2023秋•金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度． 3．（2023秋•晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 4．（2023秋•海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 5．（2023秋•大荔县期末）如图，矩形中，，，是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为． （1）求的半径； （2）延长交的延长线于点，求的值． 6．（2023秋•广安区校级期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 7．（2023秋•莱西市期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，平分； （2）设的面积为，求与的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 8．（2023秋•市南区期末）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型二：8字模型（共7题） 1．（2022秋•隆昌市校级期末）已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 2．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且． （1）求证：； （2）． 3．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点，平分与交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点，若，，求长． 4．（2023秋•榆林期末）已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 5．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 6．（2022秋•南开区校级期末）如图，在中，是延长线上一点，连接交，于，． （1）求证：； （2）若，求的值． 7．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？ 题型三：一线三等角模型（共7题） 1．（2023秋•龙川县校级期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 2．（2022秋•魏都区校级期末）如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 3．（2023秋•谢家集区期末）已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 4．（2022秋•沐川县期末）如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 5．（2023秋•西固区期末）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　或2　． 6．（2023秋•蒙城县期末）如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，． （1）求证：； （2）若，． ①如图2，若，求的值； ②如图3，若，求的面积． 7．（2022秋•岚山区校级期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积． 题型四：手拉手旋转模型（共9题） 1．（2023秋•包河区期末）已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 2．（2022秋•大东区期末）如图，为内的一点，为外的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，直接写出线段的长度为 　　． 3．（2022秋•松原期末）已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点． 感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 　　（不需要证明）； 探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由； 应用：如图③，若，、交于点，则　　度． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上时，且，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示） 5．（2022秋•驿城区校级期末）已知在中，于点． （1）在图1中，写出其中两对相似三角形． （2）已知，，将绕着点按顺时针方向进行旋转得到△，连接，． ①如图2，判断与之间的位置及数量关系，并证明； ②在旋转过程中，当点，，在同一直线时，求的长． 6．（2022秋•沭阳县校级期末）在中，，在中，，请探索解答下列问题． 【问题发现】 （1）如图1，若，点，分别在，上，则与的数量关系是 　 　，直线与的夹角为 　 　； 【类比探究】 （2）如图2，若，将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（1）的条件下，若，将绕点旋转过程中，当，，三点共线．请直接写出的长． 7．（2022秋•梅里斯区期末）在中，，点为边上一动点，，，连接，． （1）问题发现： 如图①，若，则　 　，与的数量关系是 　　 ； （2）类比探究： 如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由； （3）拓展应用： 如图③，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 8.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 9.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 题型五：三角形内接矩形模型（共3题） 1.（2023春·山东东营·九年级统考期末）如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ．    2.（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    3.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 题型六：双垂直模型（共2题） 1.（23-24九年级·广西南宁·期末）如图1，在正方形中，长为，点和点分别是，边上一点，且，连接，，和相交于点．    (1)求证：； (2)如图2，过作，垂足为．    ①若，求的长； ②如图3，连接并延长交于点，若为的中点，求的值．    2.（2023春·福建莆田·九年级校考期末）【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 题型七：母子模型（共4题） 1．（2022上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 2.（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 3.（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 4.（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． $$