专题1-1 数列(简便)计算能力训练【9类题型】(附PDF美化)- 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练（人教A版2019））

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题1-1 数列计算能力训练（简便计算） 模块一 题型·解读 【题型1】下标变换 【题型2】等差前n项和 【题型3】配凑思想 【题型4】方程韦达思想 【题型5】利用等差数列片段和计算 【题型6】利用等差数列的性质计算 【题型7】利用等差前n项和的函数性质计算 【题型8】等比数列基本量计算 【题型9】等比数列片段和相关计算 混合训练 模块二 基础知识·梳理 知识点01 等差数列的性质 要点诠释：在对等差数列基本量进行计算时，利用等差数列的性质可以起到减少计算量的作用，很多时候即使不求出和也能得出答案 1. 下标性质 （1）在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 （2）下标成等差数列且公差为m的项,,, 组成公差为的等差数列. （3）在等差数列中，若，，，则有. 2. 等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 知识点02 等差数列前n项和 1. 等差数列的前n项和公式 公式一：；公式二：（二次函数模型） 2. 前n项和与等差中项 若项数为奇数，则 (是数列的中间项)， 例如，， 3. 片段和性质 等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列，公差为. 4. 的性质 要点诠释：为等差数列为等差数列 证明：设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为 知识点03 等比数列的下标性质 1. 如果,则有. （2）如果,则有. 2. 若成等差数列,则成等比数列. 3. 等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 4. 第项与第项的关系为,变形得. 知识点04 等比数列的前n项和 1. 等比数列的前项和公式： 2. 等比数列的片段和性质：若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为),公比为. 模块三 核心题型·训练 【题型1】下标变换 【例1】等差数列中，若，则的值为 ． 【详解】设等差数列的公差为，由，. 【练习1-1】若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 【练习1-2】已知等差数列满足，则的值为 . 【练习1-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【题型2】等差前n项和 【例2】（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） 【简析】，由，故. 【练习2-1】已知等差数列，其前项和为，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【练习2-2】为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习2-3】（23-24高二·湖北武汉）设为等差数列的前项和，若，则 A．5 B．10 C． D．15 【例3】两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【练习3-1】（高二·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【练习3-2】等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】配凑思想 【例4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知为等差数列，且，，则 . 【详解】由等差中项性质得，解得. 【练习4-1】已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【练习4-2】若是公差不为的等差数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】方程韦达思想 基本原理：若，则是方程的两根 【例5】（24-25高二·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【详解】因为，故，即是方程的两根， 解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时 【练习5-1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式________ 【练习5-2】在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用等差数列片段和计算 【例6】已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【练习6-1】等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【练习6-2】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【练习6-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【练习6-4】所以设为等差数列的前项和，且，，则 . 【题型6】利用等差数列的性质计算 【例7】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【练习7-1】（2024·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【练习7-2】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【题型7】利用等差前n项和的函数性质计算 【例8】设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则 . 【练习8-1】（多选）已知等比数列的前项和为，且， ，成等差数列，则数列的公比可能为（    ） A．1 B． C． D． 【练习8-2】已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（    ） A． B． C． D． 【题型8】等比数列基本量计算 【例9】设等比数列的前项和为，，，则 【练习9-1】已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【练习9-2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【练习9-3】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【练习9-4】记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 【练习9-5】（2023·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【题型9】等比数列片段和相关计算 【例10】设等比数列的前项和为，，，则 【练习10-1】已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【练习10-2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【练习10-3】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【练习10-4】记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 【练习10-5】（2023·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 混合训练 1. （23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 2.设等比数列的前项和为，则 . 3. （23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 4.已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（    ） A．63 B．72 C．135 D．144 5.已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 6.等比数列的前项和记为，若，则 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$1 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 寒假衔接 专题 1 数列计算能力训练 (简便计算) 知识点一 等差数列的性质 要点诠释： 对等差数 基本量进行计算时， 用等差数 的性质可以起 减 计算量的 用， 多时候即 不 出 a1 d也能 出答案 1.下标性质 (1) 等差数 an 中,若m+n= p+ q(m,n,p,q∈N *), am+ an= ap+ aq. 特 的,若m+n= 2p(m,n,p∈N *), 有 am+ an= 2ap (2)下标成等差数 且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m,⋯ k,m∈N * 组成公差为md的等差数 . (3) 等差数 an 中，若 an=m，am=n，m≠n， 有 am+n= 0. 2.等差数 通项公式的变形及推 (1)an= dn+ a1-d n∈N *  (2)an= am+ (n-m)d m,n∈N * . (3)d= an-amn-m   m,n∈N * ,且 m≠n . 知识点二 等差数列前n项和 1.等差数 的 n项 公式 公 一：Sn= n a1+an  2 ；公 二：Sn=na1+ n(n-1) 2 ⋅ d(二次函数模 ) 2. n项 与等差中项 若项数为奇数 2n- 1(n∈N *)， S2n-1= 2n-1  a1+a2n-1 2 = (2n- 1) ⋅ an (an 数 的中间项)， 如S9= 9 ⋅ a5，S13= 13 ⋅ a7，S17= 17 ⋅ a9 3.片段 性质 等差数 an 中,其 n项 为Sn, an 中连续的n项 构成的数 Sn, S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,⋯构成等差数 ，公差为n2d. 4. Sn n 的性质 要点诠释：an 为等差数 ⇔ Sn n  为等差数 证 ：设等差数 an 的公差为 d， Sn n = n a1+an  2 n = a1+an 2 ， Sn+1 n+1 - Sn n = an+1+a1 2 - an+a1 2 = d 2 ，所以，数 Sn n  为等差数 ，且公差为 d 2 知识点三 等比数列的下标性质 1. 如果m+n= k+ l m,n,k,l∈N * , 有 am ⋅ an= ak ⋅ al. 特 的:如果m+n= 2k m,n,k∈N * , 有 am ⋅ an= a2k. 2. 若m,n,p m,n,p∈N * 成等差数 , am,an,ap成等比数 . 2 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 3. 等比数 的项的对称性: 有 等比数 中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项 的积,即 a1 ⋅ an= a2 ⋅ an-1= ak ⋅ an-k+1=⋯ 4. 第n项与第m项的关系为 an= amqn-m,变 qn-m= an am . 知识点四 等比数列的前n项和 1. 等比数 的 n项 公 ：Sn= na1(q=1), a1 1-qn  1-q (q≠1)  2. 等比数 的片段 性质：若等比数 an 的 项 n 为 Sn, Sn,S2n- Sn,S3n- S2n,⋯成等 比数 (其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,⋯ 不为 0,q ≠-1),公比为 qn. 核心考点一 下标变换 1 等差数 an 中，若 2a3+ a9= 18， a2+ 3a6的值为 1 若数 {an} 等差数 ，且 a2+ a4+ a6= 72， 3a6- a10= ( ) A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 2 已知等差数 an 满足 a3+ a6+ a8+ a11= 12， 2a9- a11的值为 3 (23- 24高二上· 苏南京·期末)若数 ann  等差数 ，且 a4= 2,a8= 12， a12= ( ) A. 30 B. 92 C. 20 D. 5 2 核心考点二 等差前n项和 2 (2024·全国·高考真题)已知等差数 an 的 n项 为Sn，若S9= 1， a3+ a7= ( ) 1 已知等差数 an ，其 n项 为Sn,a4+ a5+ a6= 12， S9= ( ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 2 Sn为等差数 an 的 n项 ，a5+ a6= 12，S9= 45， 该等差数 的公差 d= (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 设Sn为等差数 an 的 n项 ，若 a8+ a10- 3a9= a2- 2， S10= ( ) A. 5 B. 10 C. 252 D. 15 3 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 3 两个等差数 an ，bn 的 n项 为Sn，Tn，且 Sn Tn = 2n-33n-2 ， a5 b5 = ( ) A. 23 B. 3 4 C. 3 5 D. 5 6 4 (高二·浙 嘉兴·期末)已知等差数 an  bn 的 n项 为 Sn、Tn，若 Sn Tn = 3n+4n+2 ， a3+a7+a8 b2+b10 = ( ) A. 11113 B. 37 13 C. 111 26 D. 37 26 5 等差数 an 、 bn 的 n项 为Sn与Tn，且 Sn Tn = 2n+2n+3 ， a3+a9 3b7-b9 = ( ) A. 149 B. 12 7 C. 26 15 D. 7 4 核心考点三 配凑思想 4 (高二上·安 州·期末)已知 an 为等差数 ，且 a1+ a2= 1，a8+ a9= 5， a5= . 1 已知 数 an  等差数 ，若 a4= 8，3 a2+a6 = a2 ⋅ a6， a2024= ( ) A. 2024 B. 2023 C. 4048 D. 4046 2 若 an  公差不为 0的等差数 ，满足 a23+ a24= a25+ a26， a1+ a8= ( ) A. - 10 B. - 5 C. 0 D. 5 核心考点四 方程韦达思想 基本原理：若 m+n=a mn=b  ， m，n是方程 x2- a+ b= 0的两根 5 (高二· 苏苏州·期中)已知等比数 an 满足 a6+ a11= 1,a7a10=-2， a1+ a16= . 1 已知等差数 an 为 数 ，且满足 a3+ a7= 34，a4 ⋅ a6= 280， 其 项公 an= 2 等差数 an 中，已知 a3+ a8+ a13= 12，a3a8a13= 28， 数 an 的 项公 可以为 ( ) A. an= 4n- 1 B. an= 2n+ 1 C. an=- 35 n+ 44 5 D. an= 3 5 n- 8 5 4 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 核心考点五 利用等差数列片段和计算 6 已知等差数 c， n项 为Sn,S20-S10= 10， S30= ( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 1 等差数 an 的 n项 Sn，若Sn= 1,S3n-Sn= 5， S4n= ( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 15 2 (高二上·福建福州·期末) 等差数 an 中，若S3= 3,c， S12= ( ) A. 100 B. 120 C. 57 D. 18 3 (23- 24高二上· 东深 ·期末)已知等差数 an 的 n项 为Sn，S4= 1，S8= 4， a17+ a18+ a19+ a20= ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4 设Sn为等差数 an 的 n项 ，且S3=-15,S6=-12， a10+ a11+ a12= 核心考点六 利用等差数列 Snn 的性质计算 7 (22-23高二上·浙 台州·期末)已知等差数 an 的 n项 为Sn，若公差 d= 2，且S5= S2018， S2022= ( ) A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 1 (2024·高考真题)记Sn为等差数 an 的 项 ，已知S5=S10，a5= 1， a1= ( ) A. 72 B. 7 3 C. - 1 3 D. - 7 11 2 已知等差数 an 的首项为 a 1， n项 为Sn，若 S2023 2023 - S2022 2022 = 1，且Sn≥S5， a 1的取值 围为 核心考点七 利用等差前n项和的函数性质计算 8 设公比为 q的正项等比数 an 的 n项 为 Sn，且 an+1> an，若 S3= 2a2+ 2,S4= 3a3+ 2， q= . 5 寒假衔接 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 衔接 寒假 1 (多 )已知等比数 an 的 项 为Sn，且 2S5，3S7，4S8成等差数 ， 数 an 的公比 可能为 ( ) A. 1 B. 12 C. - 1 2 D. - 1 2 已知 an 为 的等比数 ，Sn 它的 n项 ，若 a1a5= a3，且 a4与 a5的等差中项为 ， S5等于 ( ) A. 154 B. 15 2 C. 31 4 D. 31 2 核心考点八 等比数列基本量计算 9 设等比数 an 的 n项 为Sn，a5+ a6= 27，S6= 39， S2= 1 已知等比数 an 的 n项 为Sn，若S8+S24= 140，且S24= 13S8， S16= ( ) A. 40 B. - 30 C. 30 D. - 30或 40 2 已知等比数 an 的 n项 为Sn，若 S3 S6 = 14 ， S12 S3+S6 = ( ) A. 43 B. 8 C. 9 D. 16 3 设等比数 an 的 n项 为Sn，且S6= 3S3， S9 S3 = ( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 4 记Sn为等比数 an 的 n项的 ，若S3= 72 ，S6= 63 2 ， a12= ． 5 (2023·高考真题)记Sn为等比数 an 的 n项 ，若S4=-5，S6= 21S2， S8= ( ) ． A. 120 B. 85 C. - 85 D. - 120 核心考点九 等比数列片段和相关计算 10 设等比数 an 的 n项 为Sn，a5+ a6= 27，S6= 39， S2= 1 已知等比数 an 的 n项 为Sn，若S8+S24= 140，且S24= 13S8， S16= ( ) A. 40 B. - 30 C. 30 D. - 30或 40 6 中考冲刺 宝 锋从磨砺出 梅 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 衔接 寒假 2 已知等比数 an 的 n项 为Sn，若 S3 S6 = 14 ， S12 S3+S6 = ( ) A. 43 B. 8 C. 9 D. 16 3 设等比数 an 的 n项 为Sn，且S6= 3S3， S9 S3 = ( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 4 记Sn为等比数 an 的 n项的 ，若S3= 72 ，S6= 63 2 ， a12= ． 5 (2023·高考真题)记Sn为等比数 an 的 n项 ，若S4=-5，S6= 21S2， S8= ( ) ． A. 120 B. 85 C. - 85 D. - 120 混合训练 1 (23- 24高二下· 林· 学考试)等差数 an 的 n项 为 Sn.若 a1011+ a1012+ a1013+ a1014 = 8， S2024= ( ) A. 8096 B. 4048 C. 4046 D. 2024 2 设等比数 an 的 n项 为Sn,a5+ a6= 16,S6= 21， S2= . 3 ( 东 州·期末) 等差数 an 中，Sn为其 n项 ，若S3= 1，S6= 4， S9= ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 4 已知数 an 为等差数 ，其 n项 为Sn，且 a3= 7， S10 10 - S5 5 = 10， S9= ( ) A. 63 B. 72 C. 135 D. 144 5 已知数 an 的 n项 为Sn，若 Sn n   等差数 ，且S10= 0,S8= 2S4+ 8， a1= ( ) A. 14 B. - 9 4 C. 5 2 D. - 5 2 6 等比数 an 的 n项 记为Sn，若S2=-1,S8= 17S4， S6= . 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题1-1 数列计算能力训练（简便计算） 模块一 题型·解读 【题型1】下标变换 3 【题型2】等差前n项和 3 【题型3】配凑思想 5 【题型4】方程韦达思想 6 【题型5】利用等差数列片段和计算 7 【题型6】利用等差数列的性质计算 8 【题型7】利用等差前n项和的函数性质计算 9 【题型8】等比数列基本量计算 10 【题型9】等比数列片段和相关计算 12 混合训练 14 模块二 基础知识·梳理 知识点01 等差数列的性质 要点诠释：在对等差数列基本量进行计算时，利用等差数列的性质可以起到减少计算量的作用，很多时候即使不求出和也能得出答案 1. 下标性质 （1）在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 （2）下标成等差数列且公差为m的项,,, 组成公差为的等差数列. （3）在等差数列中，若，，，则有. 2. 等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 知识点02 等差数列前n项和 1. 等差数列的前n项和公式 公式一：；公式二：（二次函数模型） 2. 前n项和与等差中项 若项数为奇数，则 (是数列的中间项)， 例如，， 3. 片段和性质 等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列，公差为. 4. 的性质 要点诠释：为等差数列为等差数列 证明：设等差数列的公差为，，则，所以，数列为等差数列，且公差为 知识点03 等比数列的下标性质 1. 如果,则有. （2）如果,则有. 2. 若成等差数列,则成等比数列. 3. 等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 4. 第项与第项的关系为,变形得. 知识点04 等比数列的前n项和 1. 等比数列的前项和公式： 2. 等比数列的片段和性质：若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为),公比为. 模块三 核心题型·训练 【题型1】下标变换 【例1】等差数列中，若，则的值为 ． 【详解】设等差数列的公差为，由，. 【练习1-1】若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可得：，解得：， 而 【练习1-2】已知等差数列满足，则的值为 . 【答案】3 【简析】由等差数列通项公式得， 【练习1-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项，有，即，解得. 【题型2】等差前n项和 【例2】（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） 【简析】，由，故. 【练习2-1】已知等差数列，其前项和为，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，求得，再由，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且， 由等差数列的性质，可得，所以， 又由. 【练习2-2】为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列前和公式以及等差数列定义即可得到答案. 【详解】, 故. 【练习2-3】（23-24高二·湖北武汉）设为等差数列的前项和，若，则 A．5 B．10 C． D．15 【答案】B 【分析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】若，由等差中项性质得， 故，即，易知. 【例3】两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且， 根据等差数列的求和公式，可得. 【练习3-1】（高二·浙江嘉兴·期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可 【详解】设等差数列的公差为，则， 因为，所以， 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以，所以 【练习3-2】等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和性质，公式求解. 【详解】由等差数列性质得，， 等差数列前n项和满足，则， 等差数列前n项和满足，则， 所以. 【题型3】配凑思想 【例4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知为等差数列，且，，则 . 【详解】由等差中项性质得，解得. 已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【详解】解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求， 解法二：由得， 又因为，即，解得，所以. 【练习4-1】若是公差不为的等差数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，可得，，， 即，， ，所以，，由等差数列的基本性质可得，即 【题型4】方程韦达思想 基本原理：若，则是方程的两根 【例5】（24-25高二·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为，故，即是方程的两根，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时 【练习5-1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式________ 【答案】 【简析】，即是方程的两根，解得，另一组解舍去，所以数列的公差，，所以数列的通项公式为. 【练习5-2】在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 【题型5】利用等差数列片段和计算 【例6】已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 化简得， 【练习6-1】等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【答案】A 【详解】由等差数列有成等差数列，设为d， 则， 故. 【练习6-2】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和性质求解． 【详解】是等差数列，则仍成等差数列， 又，，所以，， 【练习6-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 【练习6-4】所以设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 【详解】由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 【题型6】利用等差数列的性质计算 【例7】（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】由，故对称轴为，又， 所以，即，故， 所以. 【练习7-1】（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：；令，则， 又，故 法二：由，则，则等差数列的公差，故. 【练习7-2】已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：； ，，解得：，即的取值范围为. 【题型7】利用等差前n项和的函数性质计算 【例8】设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则 . 【答案】 【分析】本题将两式作差，再根据等比数列通项得到关于的方程，最后一定要检验. 【详解】由已知得，，两式相减可得， 即有，由,且,可得， 则，或（舍去） 【练习8-1】（多选）已知等比数列的前项和为，且， ，成等差数列，则数列的公比可能为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】，，成等差数列，得，利用前项和与通项的关系，化简得，化简得，求解可得. 【详解】设数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以， 则有，即， 所以，又， 两边同除以得，， 解得或. 【练习8-2】已知为递增的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，即，解得或（舍） 若，则，若，则 【题型8】等比数列基本量计算 【例9】设等比数列的前项和为，，，则 【答案】 【详解】法一：因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 法二设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 【练习9-1】已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得 【练习9-2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 【练习9-3】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 【练习9-4】记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，这与已知，是矛盾的， 所以，从而，， 将上面两个等式的两边分别相除，得，解得， 由此可得，因此． 【练习9-5】（2023·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 【题型9】等比数列片段和相关计算 【例10】设等比数列的前项和为，，，则 【答案】 【详解】法一：因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 法二设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 【练习10-1】已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得 【练习10-2】已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 【练习10-3】设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 【练习10-4】记为等比数列的前项的和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，这与已知，是矛盾的， 所以，从而，， 将上面两个等式的两边分别相除，得，解得， 由此可得，因此． 【练习10-5】（2023·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 混合训练 1. （23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 【答案】B 【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以，所以.故B正确. 2.设等比数列的前项和为，则 . 【答案】1 【分析】利用等比数列的通项公式和性质可知为等比数列，由此列式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可知， 因为，， 所以，且，解得 3. （23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 4.已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（    ） A．63 B．72 C．135 D．144 【答案】C 【分析】设出公差，表达出，代入得到方程，求出公差，从而求出首项，利用求和公式得到答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，则． 由，得，解得． 又因为，所以，所以． 5.已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意知是等差数列，设其公差为d，则由，可得，则，，则，故， 故. 6.等比数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】由题意知公比，设首项为，根据等比数列公式，由求出，再代入求出，由此求得. 【详解】设首项为， 因为，显然， 所以， 所以，即， 所以，解得， 又因为，所以， 当时，，， 当时，，此时 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$