第4章 第14讲 万有引力与航天（教师用书）-【名师大课堂】2025年新高考物理艺术生总复习必备

第14讲 万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 面积定律是对同一个行星而言的,不同的 行星相等时间内扫过的面积不等.由面积定律 可知,行星在近日点的速度比它在远日点的速 度大. 二、万有引力定律 1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力 的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质 量m1和m2的乘积成 正比 ,与它们之间距 离r的二次方成 反比 . 2.公 式:F= G m1m2 r2 ,其 中 G=6.67× 10-11N·m2/kg2. 3.适用条件:严格地说,公式只适用于 质点 间 的相互作用,当两个物体间的距离 远大于 物 体本身的大小时,物体可视为质点.均匀的球体 可视为质点,其中r是 两球心 间的距离.一 个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适 用,其中r为 球心 到质点间的距离. 万有引力定律的“三性” (1)普遍性:任何有质量的物体间都存在 万有引力. (2)相互性:两物体间的万有引力是一对 作用力与反作用力. (3)宏观性:只有质量巨大的天体间或天 体与其附近物体间的万有引力才有实际的物 理意义. 三、宇宙速度 1.第一宇宙速度(环绕速度) (1)v1= 7.9 km/s,是人造卫星的最小 发 射 速度,也是人造卫星最大的 环绕 速度. (2)第一宇宙速度的计算方法 a.由GMm R2 =mv 2 R 得v= GMR . b.由mg=mv 2 R 得v= gR . 2.第二宇宙速度(脱离速度):v2= 11.2 km/s, 使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度. 3.第三宇宙速度(逃逸速度):v3= 16.7 km/s, 使物体挣脱 太阳 引力束缚的最小发射速度. 四、经典力学时空观和相对论时空观 1.经典力学时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随 速度 的改变而改变的. (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和 对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相 同 的. 2.相对论时空观 (1)在狭义相对论中,物体的质量随物体的速度 的增加而增加,用公式表示为m= m0 1-v 2 c2 . (2)在狭义相对论中,同一物理过程的位移和时 间的测量与参考系 有关 ,在不同的参考系中 不同 . 3.经典力学的适用范围:只适用于 低速 运动, 不适用于 高速 运动;只适用于宏观世界,不 适用于 微观 世界. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 840 万有引力定律与开普勒定律 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是 重力 mg,二 是 提 供 物 体 随 地 球 自 转 的 向 心 力F向. (1)在赤道上:GMm R2 =mg1+mω2R. (2)在两极上:GMm R2 =mg0. (3)在一般位置:万有引力GMm R2 等于重力mg与 向心力F向 的矢量和. 越靠近南、北两极,g值越大,由于物体随地球自 转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于 重力,即GMm R2 =mg. 2.星球上空的重力加速度g' 星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速 度为g',mg'= GMm(R+h)2 ,得g'= GM(R+h)2 ,所以 g g'= (R+h)2 R2 . 3.万有引力的“两点理解” (1)两点理解 ①两物体间的万有引力是一对作用力和反作 用力. ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万 有引力的一个分力. (2)两个推论 ①推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质 点受到球壳的万有引力的合力为零,即ΣF引=0. ②推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点 (质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(质量为 M')对其的万有引力,即F= GM'm r2 . (多选)如图所示,海王星沿椭圆轨道绕太 阳运动,运动轨道的半长轴为a、半短轴为b,海 王星的运行周期为T,P、Q 为轨道长轴的两个端 点,M、N 为轨道短轴的两个端点,太阳位于其中 的一个焦点上.已知椭圆面积公式为S=πab,若 只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星 在从P 经过M、Q 运动到N 的过程中,下列说法 正确的是 ( BD ) A.从P 运动到M 所用的时间为T4 B.从 M 运动到Q 所 用 的 时 间 为 a2-b22πa + 1 4 T C.从Q 运动到N 阶段,万有引力一直做正功,机 械能逐渐变大 D.从 M 经Q 运动到N 阶段,动能先减小后增大 解析:根据运动的对称性可知,海王星从P 运动 到Q 所用的时间为T2 ,由开普勒第二定律可知, 海王星在PM 段的平均速度大小大于在MQ 段 的平均速度大小,则在PM 段运动的时间小于在 MQ 段运动的时间,故从 P 运动到 M 所用的时 间小于T 4 ,A错误;从 M 运动到Q,由开普勒第 二定律可知t T= S' πab ,而S'=12b a 2-b2+πab4 , 解 得 从 M 运 动 到 Q 所 用 的 时 间t= a2-b2 2πa + 1 4 T,B正确;从Q 运动到N 阶段, 万有引力一直做正功,但机械能不变,C错误;从 M 经Q 运动到N 阶段,万有引力对它先做负功 后做正功,动能先减小后增大,D正确. 万有引力定律的应用 1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引 力,即GMm r2 =mω2r=m 2πT 2 r=mv 2 r =ma. (2)在中心天体表面或附近运动时,万有引力近 似等于重力,即mg=GMmR2 (g表示天体表面的 重力加速度). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 940 2.天体质量和密度的计算 (1)“自力更生”法(g-R) ①利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由G=Mm R2 =mg得天体质量M=gR 2 G . ②天体密度ρ= M V= M 4 3πR 3 = 3g4πGR° ③GM=gR2称为黄金代换公式. (2)“借助外援”法(T-r) 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半 径r. ①由GMm r2 =m4π 2 T2 r得天体的质量M=4π 2r3 GT2 . ②若已知天体的半径R,则天体的密度ρ= M V = M 4 3πR 3 = 3πr 3 GT2R3. ③若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r 等于天体半径R,则天体密度ρ= 3π GT2, 可见,只 要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估 算出中心天体的密度. 3.估算天体问题应注意三点 (1)天体质量估算中常有隐含条件,如地球的自 传周期为24h,公转周期为365天等; (2)注意黄金代换式GM=gR2的应用; (3)注意密度公式ρ= 3π GT2 的理解和应用. (天体表面某深度处的重力加速度)如图所 示,O 为地球球心,A 为地球表面上的点,B 为 O、A 连线间的点,AB=d,将地球视为质量分布 均匀的球体,半径为R.设想挖掉以B为圆心、以 d 2 为半径的球.若忽略地球自转,则挖出球体后 A 点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度 之比为 ( B ) A.1-d4R B.1- d 8R C.1-dR D. d R-d 解析:设想没有挖掉B 球,则A 点物体所受的引 力是B 球的引力和剩余部分的引力的矢量和,设 地球质量为 M,B 球的质量为 M1,则 M=ρ· 4 3πR 3,M1=ρ· 4 3π d 2 3 ,根据万有引力定律, 有F=GMm R2 =4πρGRm3 ,F1= GM1m d2 =πρGdm6 , 所以F剩 =F-F1= 4πρGRm 3 - πρGdm 6 ,GMm R2 = mg,F剩 =mg剩,根据牛顿第二定律得,挖出球体 后A 点的得力加速度与挖去球体前的重力加速 度之比 为g剩 g = 4R-d2 4R =1- d 8R ,所 以 选 项 B 正确. 卫星的运行规律 1.四个分析 “四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速 度、角速度和周期与轨道半径的关系. GMm r2 = ma→a=GM r2 →a∝1 r2 mv 2 r→v= GM r →v∝ 1 r mω2r→ω= GM r3 →ω∝ 1 r3 m4π 2 T2 r→T= 4π 2r3 GM →T∝ r 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 越 高 越 慢 2.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合. (2)周期一定:与地球自转周期相同,即T=24h =86400s. (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同. (4)高 度 一 定:根 据 G Mm r2 =m4π 2 T2 r 得r= 3 GMT2 4π2 ≈4.24×104km,卫星离地面高度h= r-R≈3.6×104km(为恒量). (5)速率一定:运行速度v=2πrT ≈3.08km /s(为 恒量). (6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 050 (多选)如图所示,A 是地球的同步卫星,B 是位于赤道平面内的近地卫星,C 为地面赤道上 的物体,已知地球半径为R,同步卫星离地面的 高度为h,则 ( BD ) A.A、B加速度的大小之比为 R+hR 2 B.A、C加速度的大小之比为1+hR C.A、B、C速度的大小关系为vA>vB>vC D.要将B卫星转移到A 卫星的轨道上运行至少 需要对B 卫星进行两次加速 解析:根据万有引力提供向心力可知G=Mm r2 = ma,得 aA =G M (R+h)2 ,aB =G M R2 ,故aA aB = R R+h 2 ,选项 A错误;A、C 角速度相同,根据 a=ω2r得aA=ω2(R+h),aC=ω2R,故 aA aC =1+ h R ,选项B正确;根据GMm r2 =mv 2 r 得v= GMr , 可知轨道半径越大线速度越小,所以vB>vA,又 A、C 角速度相同,根据v=ωr可知vA>vC,故 vB>vA>vC,选项C错误;要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上,先要加速到椭圆轨道上,再由椭 圆轨道加速到A 卫星的轨道上,选项D正确. 双星与多星模型 “双星”模型 “三星”模型 “四星”模型 情景 图 续表 运动 特点 转 动 方 向、 周 期、角 速 度 相 同,运 动半径一般 不等 转动方向、周期、 角速度、线速度 大小均相同,圆 周运动半径相等 转 动 方 向、 周 期、角 速 度、线 速 度 大 小 均 相 同,圆 周 运 动半径相等 受力 特点 两星间的万 有引力提供 两星圆周运 动的向心力 各星所受万有引 力的合力提供圆 周运动的向心力 各星所受万 有引力的合 力提供圆周 运 动 的 向 心力 规 律 Gm1m2 L2 =m1ω2r1 Gm1m2 L2 =m2ω2r2 Gm2 r2 + Gm 2 (2r)2 = ma向 Gm2 L2 × cos 30° × 2 =ma向 Gm2 L2 ×2cos45°+ Gm2 (2L)2 = ma向 Gm2 L2 ×2×cos30° +GmM r2 =ma向 关 键 点 m1r1=m2r2r1+ r2=L r= L2cos30° r= 22L 或 r= L2cos30° (多星模型)(多选)宇宙空间有一种由三颗 星体A,B,C组成的三星体系:它们分别位于等 边三角形ABC的三个顶点上,绕一个固定且共 同的圆心O做匀速圆周运动,轨道如图中实线所 示,其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它 们的作用,可知这三颗星体 ( AC ) A.线速度大小关系是vA< vB<vC B.加速度大小关系是aA>aB >aC C.所受万有引力合力的大小 关系是FA>FB>FC D.质量大小关系是mA<mB<mC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 150