专题06 图形的变换与投影视图展开图（考题猜想，15种题型74题专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期北京版

专题06 图形的变换与投影视图展开图（考题猜想，15种题型74题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平移变换 · 找旋转中心旋转角对应点 · 根据旋转的性质求解 · 画旋转图形 · 求旋转图形的旋转角度 · 求旋转90度后的坐标 · 成中心对称 · 中心对称图形及性质 · 求关于原点对称的点坐标 · 轴对称图形的识别 · 成轴对称及性质 · 位似变换 · 中心投影和平行投影 · 基本几何体的三视图 · 基本几何体的平面展开图 一、平移变换（4个小题） 1．北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图是中国体育代表团的引导牌．下面四个图案中，可以通过平移图得到的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点B的坐标是 　 　； (2)在（1）的条件下，画出关于原点O对称的，点坐标是 　 　； (3)在（1）的条件下，平移，使点A移到点，画出平移后的，点的坐标是 　 　，点的坐标是 　 　 4．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点． (1)如图，点． ①在图中画出点Q； ②求证：； (2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围． 二、找旋转中心旋转角对应点（3个小题） 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段绕某点(旋转中心)逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是(    )    A．点B B．点G C．点E D．点F 7．如图所示，绕点P顺时针旋转得到，则旋转的角度是 ． 三、根据旋转的性质求解（14个小题） 8．如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 10．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．9 11．如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 12．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 13．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若．则的度数为 ； (2)若，求的长． 14．如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)比较与的大小，并证明； (3)连接，G为的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 15．如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系并证明； (2)将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点（不与点，重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出的长．（用含，的式子表示） 16．已知是等边三角形，点P在的延长线上，以P为旋转中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点M为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 17．在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 18．在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．    (1)如图1，当时，则______（用含有的式子表示）； (2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F，交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 19．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； (2)已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 21．在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； (2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 四、画旋转图形（4个小题） 22．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长（结果保留）． 23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（即每个小正方形的顶点），，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段． (1)请使用尺规作图画出线段； (2)将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数． 24．如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． (1)在图中画出； (2)是以点______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将______时针旋转______度得到的． 25．如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 五、求旋转图形的旋转角度（2个小题） 26．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ）    A． B． C． D． 27．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 六、求旋转90度后的坐标（4个小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系 xOy 中， 点 ，点．将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BC，则点 C的坐标为 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到．    (1)画出； (2)点的坐标为________，点的坐标为________． 31．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 七、成中心对称（3个小题） 32．在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 33．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)画出与关于原点中心对称的，点的坐标是________； (2)画出将绕着点逆时针方向旋转得到的． 34．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． （1）在图中画出点O的位置； （2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1 八、中心对称图形及性质（3个小题） 35．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 36．1.2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 37．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 九、求关于原点对称的点坐标（3个小题） 38．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 39．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 十、轴对称图形的识别（3个小题） 41．北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 42．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 十一、成轴对称及性质（9个小题） 44．如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 45．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 46．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 47．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 48．定义新运算“◎”，其规则为，若抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 49．在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 50．如图，平面直角坐标系中，矩形，其中、、、定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形的边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”． (1)已知点、点、点、点中是矩形关于y轴的关联点的是___； (2)的圆心半径为，若上至少存在一个点是矩形关于直线的关联点，求t的取值范围； (3)的圆心半径为r，若存在t值使上恰好存在四个点是矩形关于直线的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)． 51．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 52．在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转的对应点在上，则称P为的旋转点．下图为的旋转点P的示意图． (1)已知：的半径为2． ①在点，，中，的旋转点是 ； ②点P在直线上，若点P为的旋转点，求点P的横坐标的取值范围． (2)设⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 　 　　 　　 十二、位似变换（4个小题） 53．如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 54．在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：在图形，上找到任意两点，，使得在射线上存在点，使得，为正数，则称点为图形，图形的倍长点． (1)已知点，直线； ①点为点，直线的 -倍长点． ②点为点，直线的 -倍长点． (2)图形是圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若点为图形，图形的倍长点，请画出所有满足题意点所围成的图形，并求该图形的面积． (3)图形为圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若存在，，线段上任意点均为圆形，图形的倍长点，请直接写出的范围． 55．如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 56．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点，，，处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，，在点，处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则，（180°-∠_____）； ②四边形为平行四边形（理由是________）； ③，于是可得，，三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 十三、中心投影和平行投影（4个小题） 57．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸． 58．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是 ． 59．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为 cm2． 60．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 十四、基本几何体的三视图（6个小题） 61．下列立体图形中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 62．下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 63．图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 64．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．6 65．如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 66．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 十五、基本几何体的平面展开图（8个小题） 67．下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能是 A． B． C． D． 68．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 69．下图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆柱 70．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   71．如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 72．下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 73．如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 74．下图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 $$专题06 图形的变换与投影视图展开图（考题猜想，15种题型74题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 平移变换 · 找旋转中心旋转角对应点 · 根据旋转的性质求解 · 画旋转图形 · 求旋转图形的旋转角度 · 求旋转90度后的坐标 · 成中心对称 · 中心对称图形及性质 · 求关于原点对称的点坐标 · 轴对称图形的识别 · 成轴对称及性质 · 位似变换 · 中心投影和平行投影 · 基本几何体的三视图 · 基本几何体的平面展开图 一、平移变换（4个小题） 1．北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图是中国体育代表团的引导牌．下面四个图案中，可以通过平移图得到的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小、方向解答． 【详解】解：能通过平移得到的是A选项图案． 故选：A． 2．如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（    ） A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位 C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质可得，因为点P在函数的图象上，因此可求出函数解析式，利用正六边形平移设，，根据平移后点B、C恰好都落在该函数的图象上，将这两个点代入函数解析式即可求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】过点P作轴于点G，连接， 由题意可知，G是的中点， ， ， 点P在函数的图象上， ， ， 正六边形中， ， 在中，， ，， ，， 设正六边形向右平移m个单位，向上平移n各单位，则， 使点B、C恰好都落在该函数的图象上， ， 解得或， 又， ， 即正六边形右平移1个单位，上平移个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正六边形的性质，反比例函数的图像和性质，将正六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键． 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点B的坐标是 　 　； (2)在（1）的条件下，画出关于原点O对称的，点坐标是 　 　； (3)在（1）的条件下，平移，使点A移到点，画出平移后的，点的坐标是 　 　，点的坐标是 　 　 【答案】(1) (2)见解析， (3)见解析，， 【分析】本题考查了中心对称作图，平移作图，中心对称与坐标的关系，平移与坐标的关系，属于基础题，解题的关键是正确作出变换后的图形． （1）根据点B的位置直接写出坐标，在轴上的点，其纵坐标是0； （2）先找出三点关于原点的对称点，再连接对称点即可，结合图形写出的坐标； （3）先找出三点平移后的对应点，再连接对应点即可，结合图形写出的坐标． 【详解】（1）解：点B的坐标是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 点坐标是； 故答案为：； （3）解：如图所示： 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：，． 4．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点． (1)如图，点． ①在图中画出点Q； ②求证：； (2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】（1）①按要求画出图形即可，②连接，由平移的性质得四边形是平行四边形，则由得，证，即可得到结论； （2）由题意点的坐标是，分别求出当点M运动到点时，，当点M运动到点时，，由当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：①如图所示， ②连接， ∵线段平移得到线段， ∴， ∴四边形是为平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示， 点的坐标是， 当点M运动到点时，点，，， 当点M运动到点时，点，，， ∵当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质等知识，读懂题意，正确画图是解题的关键． 二、找旋转中心旋转角对应点（3个小题） 5．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 6．如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段绕某点(旋转中心)逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是(    )    A．点B B．点G C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查旋转的定义和旋转的性质，根据对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，由此即可得出答案，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题． 【详解】解：由网格图可知： 垂直平分，垂直平分， ∴交点E就是旋转中心． 故选：C． 7．如图所示，绕点P顺时针旋转得到，则旋转的角度是 ． 【答案】/90度 【分析】根据旋转的性质可知，点与点对应，则旋转的角度是，勾股定理证明是直角三角形，即可求得，即可求解． 【详解】如图，连接 ， 是直角三角形，且 绕点P顺时针旋转得到， 点与点对应，则旋转的角度是 故答案为： 【点睛】本题考查了求旋转角，勾股定理以及勾股定理的逆定理，找到旋转角是解题的关键． 三、根据旋转的性质求解（14个小题） 8．如图，等腰中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点落在上时，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】解：，， ， 由旋转得，，， ， ， 故选：B． 9．如图，等边三角形的边长为2，点，在上，点在内，的半径为．将绕点逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：    ①当点第一次落在上时，旋转角为45°； ②当第一次与相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（    ） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键． ①当点C第一次落在上时，连接，可证明是等腰直角三角形，三点共线，再求出，可得； ②当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，先求出，，，即可得出结论． 【详解】解：①当点C第一次落在上时， 连接，   ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 三点共线， ， ， ， ， ，故①不正确； 当与相切时，连接并延长与交于点M，连接，   是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②正确， 故选：A． 10．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（    ） A． B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质．连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵，，∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 11．如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】旋转 【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点顺时针旋转得到， 故答案为：旋转． 12．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；由旋转的性质得，由等边对等角得，则有，从而得证． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， 而点在的延长线上，， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． (1)若．则的度数为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）旋转得到，利用三角形的内角和定理以及等边对等角进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，求出的长，旋转得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 14．如图，是等腰直角三角形，，，D为延长线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)比较与的大小，并证明； (3)连接，G为的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）证明，得出，再证明，即可得出结论； （3）连接、，由旋转的性质得：，，得出是等腰直角三角形，即，由（2）可知，，得出，，再证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图1： ； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：，证明如下： 如图2，连接、， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵G为的中点， ∴，，， ∴，， 由（2）可知，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴． 15．如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段． (1)判断与的数量关系并证明； (2)将边绕点顺时针旋转得到线段，连接与边交于点（不与点，重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； ②若，，直接写出的长．（用含，的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）由旋转可知，再由，可得，即可证明； （2）①在上取点使得，先证明，再证明，即可求解； ②由①可知，，则，即可求出． 【详解】（1）证明：，理由如下： 由旋转可知， ， ， ， ； （2）解：①，理由如下： 在上取点使得， ，， ， ， ，， 又， ， ， ， ； ②由①可知，，， ， ． 16．已知是等边三角形，点P在的延长线上，以P为旋转中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点M为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）以为边作等边三角形，连接，证明，可得，由旋转的性质和三角形中位线定理可得． 【详解】（1）解：由题意，作图如图1，    ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：，证明如下； 如图2，以为边作等边三角形，连接，    ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴点H， P， Q三点共线， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，中位线等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17．在中，，，点为的延长线上一点，连接，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解； （2）由余角的性质可求解； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）补全图形如图所示； （2）， ， 以为中心，将线段顺时针旋转 得到线段， ， ， ； （3）线段，，之间的数量关系是， 理由如下：过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在 与 中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．    (1)如图1，当时，则______（用含有的式子表示）； (2)如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F，交于点E，连接． ①依题意在图2中补全图形，并求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①图形见解析，．②，证明见解析． 【分析】（1）本题由旋转的性质可知，结合推出，再根据等腰三角形性质即可求解． （2）①本题考查等腰三角形性质，根据等腰三角形性质用表示出和，再利用即可解题． ②延长，取，连接，证明，得到，，利用为的角平分线，再证明，得到，最后结合勾股定理即可解题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ，， ，， 为等腰三角形， ， 故答案为：． （2）解：①补全图形如下：   ， ， ， ， ， ， ． ②解：，证明如下： 证明：延长，取，连接，如图所示：   ， ， ， ，， ，为的角平分线， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 整理得． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质和判定，角平分线性质、全等三角形性质和判定、勾股定理等，解题的关键在于旋转构造等腰三角形和全等三角形，再熟练运用其性质即可解题． 19．如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 【答案】(1)B，C； (2)①2；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据“α对称旋转”新定义即可判断; （2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出即可证得结论;②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案; (3) 点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且,则与x轴相切，再证得，即可求得答案； 【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示：   不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； （2）①当时，如图，   x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线，   轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． （3）点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″   ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使，   ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 20．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转180°可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段为以点P为中心的“关联线段”． (1)如图，已知点，，，，在线段，，中，以点P为中心的“关联线段”是______； (2)已知点，线段是以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”． （2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）作关于P点的对称圆，则F点既在上，又在直线上， 因此F点是和直线的交点．当直线与相切时，即可求出m的最大范围．分两种情况：切线在左边和在右边．根据等腰直角三角形的性质可求得F点坐标，再代入即可求出m的最大值和最小值，进而可得m的取值范围． 【详解】（1） 如图， ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴若线段是以点P为中心的“关联线段”， 则与关于P点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点P为中心的“关联线段”， 综上，以点P为中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，P点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． （3） ∵P点在x轴上， ∴的对应点只能为． ∵P点是的中点， ． 将绕P点旋转得， 则，且F点在上． 又∵F点在直线上， ∴F点是和直线的交点． 当与相切于时，连接作轴， 设直线于x轴的交点为A点， 则，， 则，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得． 当与相切于时，连接作轴于G点， 设直线于x轴的交点为B点， 则，， 且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 将代入得， ， 解得， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的小册子、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 21．在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； (2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析 【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明； （2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想． 【详解】（1）证明，，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ， ， 则； （2）选择图2： ①补全图形如图所示： ②猜想． 如图，过点作于点，连接， 则， ，， ，， ， 为线段中点， ， ． 由（1）可知是等边三角形， ，， ， 在利中， ， ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等． 四、画旋转图形（4个小题） 22．如图．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求点经过的路径的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析，； (2)． 【分析】（1）将点分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可； 本题主要考查了作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． 【详解】（1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）由图知， ，， ∴点在旋转过程中所走过的路径长为． 23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（即每个小正方形的顶点），，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点O逆时针旋转得到线段． (1)请使用尺规作图画出线段； (2)将线段绕点O逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再求出，可得结论． 【详解】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示， 在中，， ， 是直角三角形， ， ， ∴． ∵线段关于直线对称的线段为， ， ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 24．如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． (1)在图中画出； (2)是以点______（填“”，“”或“”）为旋转中心，将______时针旋转______度得到的． 【答案】(1)见详解 (2)，顺，90． 【分析】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据图中的的位置，得是以点为旋转中心，将顺时针旋转90度得到的． （2）利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：是以点为旋转中心，将顺时针旋转90度得到的． 故答案为：，顺，90． 25．如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键， （1）依题意，补全图形即可； （2）根据角的和差计算即可； （3）作，交延长线于点M，证明，得出，即可证出结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形，如下： （2）解：由题意得：， ； （3）解：，理由如下： 如下图：作，交延长线于点M， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 五、求旋转图形的旋转角度（2个小题） 26．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴． ∴该角度可以为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，图形的旋转，等边三角形的性质，熟练掌握弧，弦，圆心角的关系是解题的关键． 27．把一个平面图形绕着平面上一个定点旋转α度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．生活中的旋转对称图形有很多，善于捕捉生活中的这些美丽的图形，积累素材，可以为今后设计图案打下基础，下列正多边形，绕其中心旋转一定角度后与自身重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，即可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、最小旋转角度； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是D． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 六、求旋转90度后的坐标（4个小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抓住三要素：旋转中心是原点，旋转方向是顺时针，旋转角度是，据此画图得到点及其坐标． 【详解】解：如图所示：将点A顺时针旋转得到点，其坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查在直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是根据旋转的三要素画图得到所求点的坐标． 29．在平面直角坐标系 xOy 中， 点 ，点．将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BC，则点 C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴，， 由旋转性质得：，即点B是的中点， 过点C作轴于D，则， ∴， ∴， ∴，， ∴点C坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到．    (1)画出； (2)点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析； (2)、． 【分析】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据旋转的性质，找到的顶点A和顶点B的对应点和，再顺次连接、、O三点即可； （2）由（1）即可直接写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作；    （2）由（1）图可知、． 31．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键． （1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到； （2）由（1）中作出的即可得到答案； （3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：作图如下： 即为所求； （2）解：由（1）中图形，如图所示： ； （3）解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ． 七、成中心对称（3个小题） 32．在平面直角坐标系中，与关于原点O成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断． 【详解】解：A、与关于y轴对称，所以A选项不符合题意； B、与关于x轴对称，所以B选项不符合题意； C、与关于对称，所以C选项不符合题意； D、与关于原点对称，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 33．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)画出与关于原点中心对称的，点的坐标是________； (2)画出将绕着点逆时针方向旋转得到的． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】（1）分别找到点、点、点关于原点对称的点、点、点，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；点的坐标是； （2）解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 34．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． （1）在图中画出点O的位置； （2）将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析； 【分析】（1）连接对应点B、F，对应点C、E，其交点即为旋转中心的位置； （2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据网格结构的特点作出即可． 【详解】解：（1）如图所示，连接BF，CE交于点O，点O即为所求． （2）如图所示，△A1B1C1为所求； （3）如图所示，点M即为所求． 理由：连接， 根据题意得：， ∴四边形菱形， ∴A1M平分∠B1A1C1． 八、中心对称图形及性质（3个小题） 35．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 36．1.2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务．下列有关航天的4个图标图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 37．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 九、求关于原点对称的点坐标（3个小题） 38．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 39．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 40．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 十、轴对称图形的识别（3个小题） 41．北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 42．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 43．平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 十一、成轴对称及性质（9个小题） 44．如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③． 【详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点D关于直线的对称点点F在边上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 假设成立， ∵与不平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，则， ∴， 显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符， ∴不成立，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 故选：B． 45．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度． 【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：    根据题意可得：， ∵， ∴， 在中， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 46．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴的对称点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 47．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 48．定义新运算“◎”，其规则为，若抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义将解析式变形，并化简为顶点式，即可得解； （2）首先求出顶点关于x轴的对称点，坐标继而得出相应解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴顶点坐标为； （2）∵抛物线的顶点为， ∴该点关于x轴对称点的坐标为， 即新抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次函数的图象和性质，二次函数的图象变换，解题的关键是理解关于x轴对称的二次函数图象，开口相反，对称轴不变． 49．在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折旋点定义求解即可； 根据折旋点定义求解即可； （2）设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，即可确定b的取值范围； （3）确定点F的折旋点，再根据与圆相切求取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，点关于x轴对称点F的坐标为，绕顺时针旋转得到点B，易证,，，B点坐标为， 故答案为：， 如图所示，E点是以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点， 因此，E点坐标为， 故答案为：； （2）解：设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为， 点在直线上， ,即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图所示，当M在第二象限时，连接， ，，， 同理，当M在第四象限时，， 所以，；    （3）解：由可知，由（1）可知，关于x轴－点的折旋点N坐标为， ∴点N关于x轴－点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 当圆在直线左侧与直线相切时，如图所示，由可知，，易得，，， 由三角函数得，，， ， ，    当圆在直线右侧与直线相切时，如图所示，同理可得，，, ， ， ．    【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系和一次函数综合，涉及到了三角函数、全等三角形、旋转等知识，解题关键是充分理解题意，准确把握已知条件，发现折旋点坐标变化规律． 50．如图，平面直角坐标系中，矩形，其中、、、定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形的边上，则称点P为矩形关于直线l的“关联点”． (1)已知点、点、点、点中是矩形关于y轴的关联点的是___； (2)的圆心半径为，若上至少存在一个点是矩形关于直线的关联点，求t的取值范围； (3)的圆心半径为r，若存在t值使上恰好存在四个点是矩形关于直线的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)． 【答案】(1)， (2) (3)r的取值范围为或；t的取值范围为或 【分析】（1）根据关联点的定义，一次判断各个点即可； （2）根据图形，先找出只有一个关联点的情况，即可进行解答； （3）根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点关于y轴的对称点为，与点D重合， ∴点是矩形关于y轴的关联点； ∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上， ∴点不是矩形关于y轴的关联点； ∵点关于y轴的对称点为，在边上， ∴点是矩形关于y轴的关联点； ∵点关于y轴的对称点为，不在矩形上， ∴点不是矩形关于y轴的关联点； 故答案为：，； （2）如图：过点O作x轴的平行线交于点M和点N， ∵的圆心半径为， ∴ ①当上只有点N是矩形关于直线的关联点时， ∵点N关于直线的对称点坐标为， ∴； ②当上只有点M是矩形关于直线的关联点时， ∵点M关于直线的对称点坐标为， ∴； 综上：t的取值范围为； （3）如图，当关于的对称图形与和相切时，， 当关于的对称图形与和相切时，， 当关于的对称图形与相切时，如下图: 则 解得， ∴， 当关于的对称图形为矩形的外接圆时，连接， ∵，， ∴， ∴， 综上：r的取值范围为或； ∴r的最小值为1， 令 当与相切时，， 此时， ∴， ∵， ∴，整理得： 当与相切时，， 此时， ∴， ∵， ∴，整理得：， 综上，t的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，会根据已知点的坐标求出对称轴，以及根据对称轴求对称点的坐标． 51．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．    (1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解； （2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：补全图1，如图，连接， ， ，即， ， ， ， ， ， ， F为的中点， ， ，， ， 同理， ， ， ， ； （2）， 证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．    是的中点， ． ，， ． ． ． ． 在中， ． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 52．在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转的对应点在上，则称P为的旋转点．下图为的旋转点P的示意图． (1)已知：的半径为2． ①在点，，中，的旋转点是 ； ②点P在直线上，若点P为的旋转点，求点P的横坐标的取值范围． (2)设⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 　 　　 　　 【答案】(1)①M，N；②或 (2)或 【分析】（1）①画出图形，结合“旋转点”的定义即可解答；②如图，点T是上的任意一点，将点P绕点T逆时针旋转得到点R，连接，．将点P绕点C逆时针旋转得到点F，连接，，设交于点K．结合等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定和性质即可证明，说明点R的运动轨迹为以F为圆心为半径的圆．即当时，与有交点，说明当时，P为的旋转点．最后再由这个结论即可求解； （2）由图易知与直线平行且与相切的直线解析式为，过点C作该直线的垂线，垂足为H，设该直线与x轴交于点E．由（1）可知，当时，在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，进而可求出点C的横坐标取值范围．再根据圆的对称性求出点C在y轴左侧满足条件的点C的横坐标取值范围即可． 【详解】（1）①如图1， ∵点绕点逆时针旋转的对应点在上， ∴M为的旋转点； ∵点绕点逆时针旋转的对应点在上， ∴N为的旋转点； ∵点绕圆上任意点逆时针旋转的对应点不在上， ∴O不是的旋转点． 故答案为：M，N； ②如图2中，点T是上的任意一点，将点P绕点T逆时针旋转得到点R，连接，．将点P绕点C逆时针旋转得到点F，连接，，设交于点K． ∴和都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，, ∴， ∴， ∴， ∴点R的运动轨迹为以F为圆心为半径的圆． 当时，与有交点， ∴当时，P为的旋转点．   如图3， 结合前面所得结论和的半径为2，即得出： 当，即和当，即时，点P为的旋转点， ∴当时，点P为的旋转点， 结合圆的对称性可知当时，点P也为的旋转点． 综上可知点P的横坐标的取值范围为或； （2）如图4，由图易知与直线平行且与相切的直线解析式为，过点C作该直线的垂线，垂足为H，设该直线与x轴交于点． 由（1）可知，当时，在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点， ∴圆心C的横坐标的取值范围是， 根据圆的对称性可知当时也满足． 综上可知圆心C的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查点与圆的位置关系，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题． 十二、位似变换（4个小题） 53．如图，与位似，点O是它们的位似中心，相似比为，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，利用位似的性质判断解答即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∴， ∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比； ∴， ∴． ∴， 故ACD正确，B错误， 故选：B． 54．在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：在图形，上找到任意两点，，使得在射线上存在点，使得，为正数，则称点为图形，图形的倍长点． (1)已知点，直线； ①点为点，直线的 -倍长点． ②点为点，直线的 -倍长点． (2)图形是圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若点为图形，图形的倍长点，请画出所有满足题意点所围成的图形，并求该图形的面积． (3)图形为圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若存在，，线段上任意点均为圆形，图形的倍长点，请直接写出的范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）①根据题意画出图形，根据新定义，即位似的性质，结合平行线分线段成比例，即可求解； ②根据平行线分线段成比例，结合新定义，即可求解； （2）根据题意，画出位似图形，进而求组合图形的面积即可求解； （3）根据（2）的图形，类比可得线段在圆形，图形的倍长点围成的图形内部，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，连接交于点，过点作轴于点，与轴交于点，    ∴ ∴, 即， ∴为点，直线的-倍长点． 故答案为：． ②如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，设直线与交于点， 则 ∴ ∴ ∴点为点，直线的-倍长点．    故答案为：，． （2）解：∵图形为点，，所围成的三角形，点为图形，图形的倍长点， ∴满足题意点所围成的圆形是,,为圆心为半径的圆以及圆的六条切线所构成的图形，如图所示阴影部分    则直线为：，直线，则是等腰直角三角形， 标记字母如图所示，    设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，则直线与坐标轴的夹角为，即， ∵是切线， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 根据垂径定理，可得, ∴的解析式， 当时，，则， ∴， ∴， 如图所示，    同理可得直线的解析式， 则， ∴， ∵是的切线，， ∴， ∴四边形的面积， ∴阴影部分的面积为 ， （3）解：如图所示，∵，， 设为，的中点，则，， 过点作直径，且与轴平行，则， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则，，    根据（2）可得，当的直线对应时，取得较小值，则， 当的直线对应时，取得较大值，则， ∴， 如图所示，过点作的切线，交轴于点，    ∴，即， 同理可得和， 则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了新定义，位似图形的性质，平行线分线段成比例，圆与直线的位置关系，扇形面积公式，勾股定理，一次函数，熟练掌握新定义是解题的关键． 55．如图所示，在学习《图形的相似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出与的位似中心点的位置； (2)若以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为； (3)在中，若边上一点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了位似的性质． 连接、、，、、的交点就是位似中心； 连接、、，分别取、、的中点、、，连接、、得到，即为所求； 因为与的位似比为，点的坐标为，则点在上的对应点的坐标为． 【详解】（1）解：如下图所示，连接、、， 、、的交点就是位似中心； （2）解：如下图所示，连接、、， 分别取、、的中点、、， 连接、、得到， 即为所求； （3）解：与的位似比为，点的坐标为， 则点在上的对应点的坐标为． 56．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点，，，处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，，在点，处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则，（180°-∠_____）； ②四边形为平行四边形（理由是________）； ③，于是可得，，三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 【答案】①②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④ 【分析】①由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得结论； ②根据平行四边形的判定定理进行判定即可； ③根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ①∵， ∴ ∴△OAD和△OEC是等腰三角形， ∴∠，∠ ∴∠，∠ ②∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ③∵ ∴，，三点在一条直线上； ④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形， ∴其倍数比为三角形的边长比即：， 又，且 ∴ 即：当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的倍得到的． 故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及位似图形的性质，掌握位似比等于相似比是解答此题的关键． 十三、中心投影和平行投影（4个小题） 57．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸． 【答案】450 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x寸， ∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸， ∴， 解得． 答：竹竿长为450寸， 故答案为：450． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 58．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可． 【详解】解：设树高为：，则由题意，得： ， 解得：； ∴这棵树的高是； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键． 59．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为 cm2． 【答案】500cm2． 【分析】易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得． 【详解】解：∵OA：OA′=2：5， 可知OB：OB′=2：5， ∵∠AOB=∠A′OB′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴AB：A′B′=2：5， ∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25， 又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2． 故答案为500cm2． 【点睛】本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方． 60．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 【答案】6.4 【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【详解】解：由题可知：, 解得：树高=6.4米. 【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键. 十四、基本几何体的三视图（6个小题） 61．下列立体图形中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从物体正面所看得到的图形，分别得出四个几何体的主视图即可解答．熟练掌握基本图形的三视图是解题的关键． 【详解】解：A．球的主视图是圆，故本选项不符合题意； B．圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意； C．圆台的主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意； D．圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 62．下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．据此逐一判断．注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意． 故选：D． 63．图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得． 【详解】解：∵主视图和左视图是矩形 ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，解题的关键是根据三视图还原几何体． 64．由4个棱长均为1的小正方形组成如图所示的几何体，这个几何体的表面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．6 【答案】A 【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍． 【详解】解：正视图中正方形有3个； 左视图中正方形有3个； 俯视图中正方形有3个． 则这个几何体表面正方形的个数是：2×（3+3+3）=18． 则几何体的表面积为18． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和． 65．如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得是1个大正方形，大正方形左上角有个小正方形． 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中. 66．某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：）．          (1)图中的立体图形的名称是：_________． (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积． 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积： （1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱； （2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，则该立体图形是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：， ， ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为． 十五、基本几何体的平面展开图（8个小题） 67．下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：根据分析可得：A、B、C这三个图属于正方体展开图，能够折成一个正方体；而D图不是正方体展开图． 故选D． 68．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理． 【详解】解：A选项错误，正方体展开图错误，故本选项不符合题意； B选项错误，展开图中圆应靠在扇形的弧上，错误，故本选项不符合题意； C选项正确，故本选项符合题意； D选项错误，展开图少一个底面，错误，故本选项不符合题意；． 故选：C． 69．下图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱， 故选：A． 70．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的特点是解题的关键．根据展开图，从相对面的特点出发，判断即可． 【详解】解：根据展开图，可得有两个空白面是相对面，故A不符合题意； 三角形符号的相对面是空白面，可得3个空白面两两相邻，没有相对面，故C不符合题意； 星号与圆是相对面，故D不符合题意； 只有B符合题意， 故选B． 71．如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，求代数式的值，由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，“”与“”是对面，由相反数的定义可得，，代入进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “”与“”是对面，“”与“”是对面， 相对面上的两数互为相反数， ，， ， 故答案为：． 72．下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，可利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况)判断，熟记展开图的11种形式是解题的关键． 【详解】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； B．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； C．可以作为一个正方体的展开图，符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：C． 73．如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【详解】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 74．下图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面， 因此该几何体是三棱柱． 故选：． $$