专题05 圆（考题猜想，21种题型100题专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期北京版

专题05 圆（考题猜想，21种题型100题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本认识 · 垂径定理 · 垂径定理推论 · 垂径定理的实际应用 · 弧、弦、圆心角的关系 · 圆周角定理 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 直径所对的圆周角相等 · 点和圆的位置关系 · 三角形的外接圆 · 确定圆的条件 · 直线和圆的位置关系 · 切线的判定 · 切线的性质 · 切线长定理 · 三角形的内切圆 · 圆的内接四边形 · 圆与圆的位置关系 · 正多边形和圆 · 弧长与扇形面积公式 · 圆的综合问题 一、圆的基本认识（4个小题） 1．已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为2， ∴直径为4， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于4，不可能为5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径． 2．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可． 【详解】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上， ∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键． 3．下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂于弦 C．等弧对等弦 D．等弦对等弧 【答案】C 【分析】根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系对C、D进行判断． 【详解】解：A、能完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定为等弧，所以A选项不符合题意； B、平分弦（非直径）的直径垂于弦，所以B选项不符合题意； C、等弧对等弦，所以C选项正确； D、等弦所对的弧不一定相等，一条弦在圆中所对的弧有两条，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，同时考查了圆中的基本概念与定理． 4．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　）    A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据已知，利用图象判断即可． 【详解】解：如图，当时， 当时，；    A、，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、垂径定理（6个小题） 5．如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． 连接，交于点E，则，根据垂径定理得出，进而得出，根据勾股定理可得，列出方程求出即可解答． 【详解】解：连接，交于点E， ∵， ∴， ∵点C是弧中点，， ∴， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴圆心O到弦的距离等于， 故答案为：． 6．如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 【答案】8 【分析】根据垂径定理可得，再由勾股定理计算即可； 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 7．如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，连接，，证明为等边三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径，弦， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．连接，可得，进而可得，，求出即可； 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，过圆心O， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即． 9．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得；掌握垂径定理，添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 10．如图，为的直径，弦，E为上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵弦，为的直径， ∴ ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，掌握以上知识是解题的关键． 三、垂径定理推论（7个小题） 11．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度． 【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：    根据题意可得：， ∵， ∴， 在中， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 12．如图，在中，，，半径，则 ． 【答案】2 【分析】连结OA、OB、AC、BC，则由AC=BC可以推得弧AC=弧BC，由垂径定理可得AD=BD，OD⊥AB，再根据勾股定理可以得到OD的值，最后可以算得CD的值． 【详解】解：连结OA、OB、AC、BC， ∵AC=BC， ∴弧AC=弧BC， ∴OD⊥AB，AD=BD=4， ∵OA=5， ∴在RT△OAD中，OD=， ∴CD=OC-OD=5-3=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握垂径定理、等弦对等弧的性质及勾股定理的应用是解题关键． 13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点． （1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹） （2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）画图见解析，依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；（2）⊙O的半径为5． 【分析】（1）过P点作AB的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论． （2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）过P点作AB的垂线交圆与C、D两点， CD就是所求的弦，如图． 依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦； （2）如图，连接OD， ∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径， ∴∠OPD＝90°，PD＝CD， ∵CD＝8， ∴PD＝4． 设⊙O的半径为r，则OD＝r，OP＝OA﹣AP＝r﹣2， 在Rt△ODP中，∠OPD＝90°， ∴OD2＝OP2+PD2， 即r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， 在直角中，由勾股定理得， ， 解得， ， ． 15．如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 【答案】的半径为． 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理及推论的应用，连接，由为的中点，则，故有，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接， ∵为的中点， ∴，， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴的半径为． 16．如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程． 方法一：①作射线、； ②作的平分线，与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴___（_____）（填推理的依据）． 方法二：①连接； ②作线段的垂直平分线，直线与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴___（___）（填推理的依据）． 【答案】方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理． 【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可； 方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可； 【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）． 方法二：如图，点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴（垂径定理）． 【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC． （1）求证：∠PCA＝∠ABC； （2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长． 【答案】（1）见解析；（2）PA=． 【分析】（1）根据垂径定理的推论可得OP⊥AC，根据垂直平分线的性质可得PA=PC，根据等腰三角形的性质可得∠PCA∠PAC，根据切线的性质可得OA⊥PA，可得∠PAC＋∠BAC90°，根据直径所对圆周角等于90°可得∠ACB90°，即可得出∠ABC＋∠BAC90°，可得结论； （2）根据角的和差关系可得∠APO∠BAC，根据tan∠APO＝可得tan∠BAC==，即可求出AC的长，利用勾股定理可求出AB的长，进而求出OA的长，根据tan∠APO＝=即可得PA的长． 【详解】（1）∵D是AC中点，OP过⊙O的圆心， ∴OP⊥AC，ADCD， ∴PCPA， ∴∠PCA∠PAC， ∵PA是⊙O的切线，OA为半径， ∴OA⊥PA， ∴∠PAC＋∠BAC90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB90°， ∴∠ABC＋∠BAC90°， ∴∠PCA∠ABC． （2）∵OP⊥AC， ∴∠PAC＋∠APO90°， ∵∠PAB90°， ∴∠PAC＋∠BAC90°， ∴∠APO∠BAC， ∴tan∠APOtan∠BAC==， ∵BC4， ∴AC8， ∴AB=， ∴AO， ∵tan∠APO＝=， ∴PA=． 【点睛】本题主要考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理及三角函数的定义，平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；切线垂直于经过切点的半径；直径所对圆周角等于90°；熟练掌握相关性质及定理并理解三角函数的定义是解题关键． 四、垂径定理的实际应用（6个小题） 18．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为点，半径为． 过点作弦的垂线，交于点，点为垂足，则点是的中点，其推理依据是： ； 经测量：，，则 ， 用含的代数式表示， ， 在中，由勾股定理可列出关于的方程： ， 解得．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 【答案】垂直弦的直径平分弦，，， 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 根据垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为点，半径为． 过点作弦的垂线，交于点，点为垂足，则点是的中点，其推理依据是：垂直弦的直径平分弦． 经测量：，，则， 用含的代数式表示，． 在中，由勾股定理可列出关于的方程：， 解得．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 故答案为：垂直弦的直径平分弦，，，． 19．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】连接，交于D，      由题意得：米，， 米，， 在中 米， 米， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 20．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B    【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 21．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 23．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 五、弧、弦、圆心角的关系（5个小题） 24．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（    ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，则＝2 ＝2根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得到． 【详解】如图，取弧的中点，连接，， 则＝2 ＝2 ∵＝2 ∴ ＝= ． 在中，， ，即． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出是解题的关键． 25．如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE等于（    ） A．40° B．50° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】根据弦、弧以及圆心角的关系可得，，即可求解． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴， 又∵BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，弧相等，解题的关键是掌握弦、弧以及圆心角的关系． 26．图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AB=BC=CD，然后根据三角形三边的关系可得到AC与2CD之间的关系． 【详解】：连接AB、BC，如图， ∵ ， ∴AB=BC=CD， ∵AB+BC＞AC， ∴2CD＞AC， 即AC＜2CD． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 27．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD． 【答案】见解析 【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论． 【详解】证明：根据题意作图如下： ∵BD是圆周角ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD， ∴， ∴AD=CD． 【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键． 28．已知：，B为射线AN上一点． 求作：，使得点C在射线AM上，且． 作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E； ②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F； ③连接FB，交射线AM于点C． 就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接BD，EF，AF， ∵点B，E，F在上， （__________）（填写推理的依据）． ∵在中，， ___________． ． 【答案】（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 【分析】（1）根据题干描述即可直接作图． （2）根据圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等即可填空． 【详解】解：（1）如图即为所求． （2）根据圆周角定理即可填写“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”；由同弧或等弧所对圆心角相等即可填写“”． 故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，． 【点睛】本题为作图-复杂作图．掌握圆周角定理和同弧或等弧所对圆心角相等是解答本题的关键． 六、圆周角定理（6个小题） 29．如图，点A，B在上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点P，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理逐项分析即可得解，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，为的直径， ∴，故正确，符合题意； ②∵垂直于，， 则垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴；故正确，符合题意； ③如图，当点P在优弧上时， ， 当点P在劣弧上时，， ∵与不一定相等， ∴的大小会变化，故③错误，不符合题意， 故选：A． 30．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：D． 31．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，直接根据圆周角定理即可得解。 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 32．如图，线段是的直径，弦，，则等于（    ） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质；由圆周角定理得，再由等腰三角形的性质得，由互补关系即可求得的度数． 【详解】解：， ； ， ， ； 故选：C． 33．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．已知：如图，在中，是边上一点，圆过三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，圆的半径为4，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆的切线的证明方法、圆周角定理，解直角三角形以及等腰三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆O的切线． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 七、同弧或等弧所对的圆周角相等（4个小题） 35．如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 36．如图，为的直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，． 【详解】解：如图，连接，，   ，， ， 为的直径， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角． 37．如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 38．如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角为，根据同弧所对圆周角相等可得，再根据直径所对圆周角为，利用直角三角形两锐角互余即可得出结果． 【详解】解：是的直径，，是上的点，， ，， ， 故答案为：． 八、直径所对的圆周角相等（6个小题） 39．如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据是半圆O的直径，得出，根据直角三角形的性质得出，根据C是半圆周上的动点(与A，B不重合），即可判断①；根据点C的运动轨迹确定，即可判定②；证明，根据相似三角形的性质得出，结合①中结论即可判断③． 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，圆周角定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵点O是中点， ∴， ∵，， ∴，， 即，故①正确； ∵C是半圆周上的动点(与A，B不重合）， ∴，， ∴， ∴，故②错误； ，， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：C． 40．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 41．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 cm． 【答案】5 【分析】连接，根据圆周角定理可得：是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵， ∴是该圆形镜子的直径， 在Rt中，cm，cm， ∴cm， ∴该圆形镜子的半径是cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得是该圆形镜子的直径． 42．如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， 即 ∴ ∴在为直径的一段弧上运动， 如图所示，设为的中点，连接，则, ∴当在上时，取得最小值，最小值为， 故答案为：． 43．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 44．如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，，连接并延长交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的直径得到，即，由是切线得到，即，由得到，从而得证； （2）连接，在中，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式有，求得，根据，得到，从而求得，，在中，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ， ， 切于点A， ， ， ， ， （2）解：连接， ，， ∴在中，， 是的直径， ， 由（1）可得， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即， ， ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质．综合运用相关知识是解题的关键． 九、点和圆的位置关系（5个小题） 45．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵，的半径为3， ∴半径， ∴点P与的位置关系为：点P在圆外． 故选：B． 46．已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴． 故选D． 47．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点，    则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴， 即点A的坐标为， 故答案为：． 49．在平面直角坐标系中，的半径为()．给出如下定义：若平面上一点到圆心的距离，满足，则称点为的“近点”． (1)当的半径时，，，，中，的“近点”______． (2)若点是的“近点”，求的半径的取值范围； (3)当的半径时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“近点”，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件求出的范围，再求得各点距离点的距离，进行判断是否在此范围内，即可得出结论； （2）根据点是的“近点”，可根据，求出，再求出的范围即可； （3）如图，的半径，求出近点范围，再分情况点在轴正半轴时，当点在轴负半轴时，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：的半径， ，， ， ，，，， ，，，， ，，，， 的“近点”为，， 故答案为：，； （2）解：点是的“近点”， ，即， ， ； （3）解：如图，，的半径， ， 直线的解析式为， 当时，，当时，， ， ①点在轴正半轴时， 当点是的“近点”，此时，点， 将代入直线的解析式中， 解得，，即的最小值为1， 过点作于， 当点是的“近点”时，此时， 在中，， ，即的最大值为， ， ②当点在轴负半轴时， 当点是的“近点”，此时，点， 将代入直线的解析式中， 解得，，即的最大值为， 过点作于， 当点是的“近点”时，此时， 在中，， ，即的最小值为， ， 综上所述，的取值范围是：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（3）的关键是找出线段上的点是圆的“近点”的分界点，是一道中等难度的题目． 十、三角形的外接圆（4个小题） 50．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 51．如图，△ABC中，sinA=，BC=6，则△ABC外接圆的直径为（      ） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接OB，OC，过点O作．由等腰三角形“三线合一”的性质可知，．再根据圆周角定理可知，即推出，从而得出，再根据，即可求出OB的长，从而可求出直径长． 【详解】如图，连接OB，OC，过点O作， ∵OB=OC， ∴OD平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在中，， ∴，即， ∴， ∴△ABC外接圆的直径长为． 故选A． 【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，等腰三角形“三线合一”的性质，圆周角定理以及正弦的概念．正确的作出辅助线是解题关键． 52．下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．斜边为的直角三角形 C．面积为的菱形 D．半径为，圆心角为的扇形 【答案】D 【分析】由直径为圆中最长的弦可判断 由直角三角形的外接圆的直径是斜边的长可判断，利用圆的面积为，小于菱形的面积，可判断 由半径为，圆心角为的扇形的面积小于圆的面积可判断 【详解】解： 半径为的圆的直径为 半径为的圆及其内部所能覆盖的线段最长为， 而＞ 半径为的圆及其内部不能覆盖长度为的线段．故 不符合题意， 斜边为的直角三角形的外接圆的直径为，而＞， 所以半径为的圆及其内部不能覆盖斜边为的直角三角形，故不符合题意， ，菱形的面积为 而＜ 半径为的圆及其内部不能覆盖面积为的菱形，故不符合题意； 半径为，圆心角为的扇形的面积为： 而＜ 所以半径为的圆及其内部能覆盖半径为，圆心角为的扇形，故符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直径为圆中最长的弦，直角三角形的外接圆的直径，菱形的面积，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键. 53．如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【答案】(1)见详解 (2)，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据要求作出图形即可． （2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2）证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 十一、确定圆的条件（3个小题） 54．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆． 解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选D． 55．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 56．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法： ①连接OP； ②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线． 根据小文设计的作图过程，完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为⊙M的直径， ∴∠OAP=_______=______°（________）(填推理的依据)． ∴OA⊥AP，_______⊥BP． ∵OA，OB为⊙O半径， ∴直线PA，PB为⊙O的切线．（_________）(填推理的依据)． 【答案】∠OBP；90；直径所对的圆周角是直角；OB；经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线． 【分析】连接OA，OB．由OP为⊙M的直径，根据直径所对的圆周角是直角可得∠OAP＝∠OBP＝90°根据直角可得OA⊥AP， OB⊥BP．由OA，OB为⊙O的半径，根据切线定义经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出结论． 【详解】证明：连接OA，OB． ∵OP为⊙M的直径， ∴∠OAP＝∠OBP＝90 °（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据） ∴OA⊥AP，OB⊥BP． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴直线PA，PB为⊙O的切线（经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）． 故答案为：∠OBP；90；直径所对的圆周角是直角；OB；经过半径外端点，并且垂直于半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查尺规作图的理论证明，掌握直径所对圆周角的性质，切线的判定是解题关键． 十二、直线和圆的位置关系（3个小题） 57．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是． 【详解】解：设切点为，连接，则 圆的半径，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数 所以x的取值范围是 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围． 58．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：的直径为，， 的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于的半径， 与相切， 故答案为：相切． 59．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作，已知点，，． (1)①求点，； ②若点在轴正半轴上，点，，求点的坐标； (2)记函数的图象为图形，若图，，直接写出的取值范围； (3)以点为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到点距离为的正方形为单位正方形，若点在轴上且单位正方形，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①2；②； (2)且； (3)或或． 【分析】（1）①根据点、、三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得； ②根据点、、三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得； （2）由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和时的值即可得； （3）分单位正方形在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得． 【详解】（1）解：①设点到直线的距离为， 如图所示，点到直线的距离为2，点到直线的距离为2， ，，， ∴， 解得， ∴点到的距离的最小值为2， 点，； ②在轴正半轴，由点到直线垂线段最短可知， 在时，由①知，最小距离， 故在与轴交点右侧，过作轴于， ，则， 故， ， 故； （2）解：经过原点，在范围内，函数图象为线段， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时； ， ， 且； （3）解：正方形与的位置关系分三种情况： ①当单位正方形在的左侧时，由单位正方形，知此时； ②当在单位正方形内部时， 当点与原点重合时，单位正方形，，知此时； 当点位于位置时，由单位正方形，知， 、， ， 则， ， 故此时； ③当在单位正方形右边时，由单位正方形，知， ， ， ； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解直角三角形的应用，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用． 十三、切线的判定（7个小题） 60．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到与也垂直，可得为的切线； （2）连接，证明，再证明是等边三角形，则，由得到，则，即，由得到，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 是的切线； （2）解：连接， ∵为直径的交于点D，交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了圆周角定理、等边三角形判定和性质、平行线分线段成比例定理、切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 61．如图，在中，，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，，垂足为点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形性质． （1）由，可得即可求解； （2）过作于，根据垂径定理，先求出，可得四边形是矩形，再求出，得出是的中点即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）如图所示，过作于， ∵是的弦，，且， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，点是直径的中点， ∴点是的中点， ∴． 62．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． （1）连接，证明，可得结论； （2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【详解】（1）证明：连接． 平分， ， ， ； ， 为半径， 是的切线． （2）解：是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 63．如图，是的直径，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及．求得，则，根据切线的判定定理可得证； （2）利用锐角三角函数可求的长，由角平分线的性质可得，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的中点， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于，而， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质定理，熟练掌握运用三角函数的计算技巧，正确添加辅助线是解题的关键． 64．如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，且    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）连接．利用等腰三角形的性质及平行线的判定证．得．从而即可得证． （）连接，由，得．然后证．得．从而．在和中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，   ， ， 在中， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，圆周角定理的推论，切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形，直角三角形的性质以及圆周角定理的推论是解题的关键． 65．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴．                                ∴． ∵是的直径， ∴．                            ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线．                    （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴．                            ∵， 在中，． 即． ∴．                                    ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 66．如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】（1）连接，则，由于点，得，由，，得，则，即可证明是的切线； （2）由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是5． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 于点， ， 交的延长线于点，点是延长线上一点， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ，， ， ， ， ， ，， ， 解得， 半径的长是5． 【点睛】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 十四、切线的性质（6个小题） 67．如图，是的弦，D为半径中点，过D作交弦于点E，交于点F，且是的切线．    (1)求证：； (2)连接，求的正弦值； (3)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据切线定理求出求出即可； （2）连接， 首先证明是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出的度数； （3）过点作于点，设，则，根据勾股定理得到，即， 然后根据垂径定理表示出，然后根据即可得出答案. 【详解】（1）证明： 连接，   ， ， ∵切于， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的正弦值是 ； （3）过点作于点，    ∵， 设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴. 68．已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键． 69．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 70．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点． (1)写出B，C，D点坐标（不写计算过程） (2)若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式． (3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，，试判断直线是否经过所示抛物线的顶点？说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线为： (3)直线经过抛物线的顶点，理由见解析 【分析】（1）连接，构造直角三角形解答，在直角中，，根据勾股定理就可以求出的长，求出D的坐标，再利用圆的性质得出B，C的坐标． （2）求出B、C、D的坐标，用待定系数法设出一般式解答； （3）求出抛物线交点坐标，连接，则是直角三角形，且等于圆的半径，根据三角函数就可以求出的长，已知，就可以得到，则M点的坐标可以求出；同理可以在直角中，根据三角函数求出的长，求出N的坐标，根据待定系数法就可以求出直线的解析式．将交点坐标代入直线解析式验证即可． 【详解】（1）如图1，连接，得， ， ∴， ∴， ∵点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点， ∴； （2）∵， ∴将B，C，D三点代入抛物线得， ， 解得： ∴抛物线为：． （3）如图2，连接，在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，由于点和在直线上， 则， 解得 ∴直线的解析式为 ∵抛物线的顶点坐标为， 当时， ∴点在直线上，即直线经过抛物线的顶点． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，切线的性质，解直角三角形，培养了同学们的实际应用能力，注意利用数形结合得出是解题关键． 71．如图，是的直径，点是外一点，连接交⊙O于点，作，分别切于点、，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、全等直角三角形的证明、圆周角定理、解直角三角形的相关计算等知识点，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据切线的性质可得，从而证明，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答； （2）连接，利用（1）的结论可得，然后在，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ，分别切于点、， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 线段的长为． 72．如图，是的直径，点在上，是的切线．点在的延长线上．    (1)求证：； (2)若是弧的中点，交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据是的切线，是的直径，可得，进而可以解决问题； （）连接，证明，可得，根 据等腰直角三角形可得，由此即可解决问题； 本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用，正确添加常用辅助线，构造相似三角形． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 十五、切线长定理（3个小题） 73．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 74．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 75．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 十六、三角形的内切圆（3个小题） 76．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 77．如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ） A．124° B．118° C．112° D．62° 【答案】B 【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数． 【详解】解：∵点O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 78．如图所示，在三角形中，，两直角边，，三角形内有一点，它到各边的距离相等，则这个距离是 ． 【答案】2 【分析】首先根据勾股定理算出的长，由在内有一点P，点P到各边的距离都相等，故P为的内切圆的圆心，设切点为D、E、F，连接、、、、，内切圆的半径为R，根据由三角形面积列出方程，求解即可． 【详解】由勾股定理得：， ∵在内有一点P，点P到各边的距离都相等， ∴P为的内切圆的圆心，设切点为D、E、F，连接、、、、，内切圆的半径为R，则由三角形面积公式得： ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】·本题考查了三角形内切圆，熟练掌握勾股定理，三角形面积公式是解题的关键． 十七、圆的内接四边形（3个小题） 79．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 记的中点为，连接，可知，然后根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由图可知，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 80．如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， 故答案为：25． 81．已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再利用垂径定理得到，即可证明； （2）利用圆内接四边形性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （3）证明，利用相似三角形性质得到，，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，，再证明，最后利用相似三角形性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，交于点F． 是的直径， ，即， A为弧中点，， ， ， ； （2）证明：四边形内接于以为直径的， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ，即； ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线判定，圆内接四边形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 十八、圆与圆的位置关系（3个小题） 82．在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段的中点，故是线段的关联点； （2）由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q，则，即，①当点P在第一象限时，当时，内切于x轴正半轴，切点为点，则；当时，内切于x轴负半轴，切点为点，则，因此，当点P在第三象限时，同理可求； （3）当，与相切时，最大，能让点落在x轴上，当点落在x轴负半轴时，设，则，可得，则， 此时，当点落在x轴正半轴时，可求，因此t的取值范围是． 【详解】（1）解：如图，作直线，， 由图可知：点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段上的点， 所以线段的关联点是、， 故答案为：，； （2）解：由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q， ∴满足， ∴， 解得：， ①当点P在第一象限时， 当时，内切于x轴正半轴，切点为点，如图： 过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设， 则， ∴， ∴， ∴； 当时，内切于x轴负半轴，切点为点，如图： ∴ ∴当时，满足条件； ②当点P在第三象限时，同理可求， 综上所述，若P为的关联点，点P的横坐标的取值范围为：或； （3）解：由题意得， 先定点Q和，当点P向下运动，点越靠近x轴，即尽可能大，因此当与相切符合题意，如图： ∵与相切时，点T到的距离最大，由不变，得到最大，则最大， ∴最大， ∴第一个满足的约束条件是与相切， 定点P和，则当点Q向下运动时，点越靠近x轴，即要尽可能大，同上可得当与相切时，最大， ∴第二个满足的约束条件是与相切， ∴当，与相切时，最大， 当点落在x轴负半轴时，如图： ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 当点落在x轴正半轴时，如图： 同理可求， ∴， ∴t的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，角的直角三角形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制变量”，找出临界状态． 83．如图，平面直角坐标系中，已知点、点，连接，若点为平面上一点，且为等边三角形，则称点为线段的“关联点”． (1)已知点和点，点为线段的“关联点”，直接写出点的坐标______； (2)若，，点是线段上一点，点为线段的“关联点”，当点在右侧时，判断与的位置关系，并证明； (3)半径为2，点是上一点，点，若点为线段的“关联点”，直接写出长度的最大值和最小值． 【答案】(1)或 (2)，证明见解析 (3)长度的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据“为线段的关联点”，结合是等边三角形，即可求解； （2）结论：，连接，先证明是等边三角形，根据已知得是等边三角形，再证明，得到，易得，即可证明； （3）分两种情况讨论：当点P在上方，当点P在下方，利用等边三角形的性质求出点P在上运动，由两个等圆的圆心距求解即可． 【详解】（1）解：如图， 是等边三角形， 点P与点A关于y轴对称， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 综上，点P的坐标为或； （2）， 证明：如图，连接， ，， ，，， 是等边三角形， ， 为线段的“关联点”， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （3）解：为线段的“关联点”， 是等边三角形， ， 点P随点A的运动而运动，且点P在与相同大小的圆上运动， 设点P在上运动， 由（1）知线段的“关联点”点P的坐标由两个，分别在线段的上方和下方， 当点P在上方时，如图： 当时，过点作轴，交x轴于点G， ，则 ， ， ； 当时，过点作轴，交x轴于点G， 同理得：， 是的直径， 是的直径， ， ， 当过点M时，有最大值，最大值为；当延长线过点M时，有最小值，最小值为； 当点P在下方时，同理得长度的最大值为，最小值为， 长度的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握新概念“关联点”是解题的关键． 84．在平面直角坐标系中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”．    (1)如图1所示，已知，点，点． ①在点中，是线段的“对称平衡点”的是___________； ②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由； (2)如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点C满足，再以点C为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①，；②不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据对称平衡点的定义进行判断即可；②不存在，根据对称平衡点的定义进行讨论可得结论； （2）画出图形进行判断即可． 【详解】（1）①如图所示，点，，则；，则，      ∴线段的“对称平衡点”的是，； 故答案为：，； ②不存在 设P为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为0，最大值为和中的较大值；显然 点P关于x轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离 即若是线段上的任意两点，，不存在 ∴线段上不存在线段的“对称平衡点”； （2）如图，由②可知线段上不存在的“对称平衡点”，上存在的“对称平衡点”，    ∵ ∴ 【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题． 十九、正多边形和圆（3个小题） 85．半径为1的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与正多边形．根据题意可以求得半径为1的圆内接正三角形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∵是正三角形，且是半径为1的圆O的内接正三角形， ∴， ∴； 如图，过点A作于点D，连接，， ∵六边形半径为1的圆的内接正六边形， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为． 故选：C 86．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为，根据正五边形的性质可得，的面积，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，从而设，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：设正五边形的中心为，连接，，过点作，垂足为， ，的面积正五边形的面积， ，， ，， 设， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 该正五边形的边长大约是， 故选：A． 87．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．    【答案】3 【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1， 过作于，    在正十二边形中，     ， ∴正十二边形的面积为, ， , 的近似值为3， 故答案为：3． 二十、弧长与扇形面积公式（4个小题） 88．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥侧面积展开图公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 侧面展开图的面积是， 故选：C． 89．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 90．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 91．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 【答案】(1)图见解析；点的坐标为； (2)图见解析；点的坐标为； (3)点B经过的路径长为 【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形． （1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）根据旋转的性质找到A、B的对应点、，连接O、、即可，观察图象直接得到的坐标； （2）点B经过的路径为弧，求得弧的半径计算弧长即可． 【详解】（1）解：关于原点成中心对称的图形如图所示； 点的坐标为； （2）解：旋转后的图形如图所示； 点的坐标为； （3）解：由题可得， ， 点B经过的路径长为． 二一、圆的综合问题（9个小题） 92．如图，为的直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，证明即可； （2）根据圆周角定理得到，由垂径定理得到，，求出，利用勾股定理得到，根据，，得到，结合是的平分线，推出，易得，由证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：为的直径，， ，， 在与中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 93．如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论； （2）由（1）知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似比得出，最后利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴是的切线； （2）由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴ 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 94．对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”． (1)已知点，，．①在点，，中，点________是线段关于原点的“伴随点”；②如果点是关于原点的“伴随点”，求的取值范围； (2)的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点的“伴随点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)． 【分析】（1）①分别求出三个点绕点旋转后的对应点，旋转后的对应点在线段上的即为所求； ②由三角形全等可知，当在上时，，当在上时，，则时，点是关于原点的“伴随点”； （2）圆上的点顺时针旋转后的对应点在以，半径为1的圆上，由直线上存在关于原点的“伴随点”，可知当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点，由，可知，求出，则，解得． 【详解】（1）①，， 轴， 顺时针旋转后，得到点， 不是线段关于原点的“伴随点”； 顺时针旋转后，得到点， 是线段关于原点的“伴随点”； 顺时针旋转后，得到点， 是线段关于原点的“伴随点”； ，是线段关于原点的“伴随点”； 故答案为：，； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当在上时，， 当在上时，， 时，点是关于原点的“伴随点”； （2）在直线上，圆的半径为1， 将圆绕点逆时针旋转得到圆， 圆关于原点的“伴随点”在圆的内部及其边界上， ， 在直线上， 直线上存在关于原点的“伴随点”， 圆与直线有交点， 过作垂直直线交于点， 设直线与直线相交于点， 与直线平行， ， ， ， 令，解得， ， ， 解得， 时，直线上存在关于原点的“伴随点”． 【点睛】本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握切线的性质，勾股定理，能够确定关于原点的“伴随点”的轨迹是解题的关键． 95．在平面直角坐标系中，的半径为1，点A在上，点P在内，给出如下定义：连接并延长交于点B，若，则称点P是点A关于的k倍特征点． (1)如图，点A的坐标为．    ①若点P的坐标为，则点P是点A关于的 倍特征点； ②在，，这三个点中，点 是点A关于的倍特征点； ③直线l经过点A，与y轴交于点D，．点E在直线l上，且点E是点A关于的倍特征点，求点E的坐标； (2)若当k取某个值时，对于函数的图象上任意一点M，在上都存在点N，使得点M是点N关于的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值． 【答案】(1)①，②，③或 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）①由题意知，，则； ②由勾股定理得，假设点是点关于的倍特征点，则，不符合题意，同理判断、即可； ③当点在轴正半轴上时，设直线交于，连接，过点作轴于点，根据点、点关于的倍特征点，得，由含的直角三角形的性质可得，的长，当点在轴负半轴同理可得答案； （2）设直线与轴，轴的交点分别为，，过点作交于，交于，过点作直线交于，，由，可知越大，的值越小，则的值越大，得，时，的值最小，即与重合，与重合时，的值最小，同理当点在点，在点时，有最大值，从而解决问题． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②假设点是点关于的倍特征点，连接并延长交于点，如图所示：   ，， ， ， ，不符合题意， 点不是点关于的倍特征点； 连接并延长交于点，如图所示：   ， ，， ，， ， 点不是点关于的倍特征点； 假设点是点关于的倍特征点，连接并延长交于点，如图所示：     ，， ， ， 为的中点， ， 与轴负半轴交点坐标为， 在圆上， 点是点关于的倍特征点； 故答案为：； ③当点在轴正半轴上时，设直线交于，连接，过点作轴于点，如图所示：   点是点关于的倍特征点， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 当点在轴负半轴上时，同理可得， 综上：或； （2）解：设直线与轴，轴的交点分别为，，过点作交于，交于，过点作直线交于、，如图所示：     ，， ， ， 越大，的值越小， 的值越大， 当的值越大，的值越大， ，时，的值最小， 与重合，与重合时，的值最小， ，是直线与轴，轴的交点，令得，令得， ，， 到和到的距离都是1， ，   ， ， ， ， ， ，即的最小值为； 当点在点，在点时，有最大值，如图所示：   ，即的最大值为． 【点睛】本题属于圆背景下的新定义问题，考查圆的性质、勾股定理、两点之间距离公式、坐标与图形、一次函数的图像与性质等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，综合性强、难度较大，属于中考压轴题． 96．点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)当时，；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【分析】 （1）①找到圆外点到圆上的点的最长和最短距离即可求出在点P视角下，⊙O的“宽度”；求出，即可求在点P视角下，线段的“宽度”；②分类讨论当点在点右侧和当点在点左侧时的情况即可求解； （2）由⊙C的“宽度”为2可得，分类讨论、的两种情况即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： 由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为：; ∵ ∴在点P视角下，线段的“宽度”为： 故答案为：； ②点关于点的对称点坐标为 当点在点右侧时， 若，则，不符合题意； 若，则，不符合题意； 若，则，符合题意； ∴ 当点在点左侧时， 则： ∴ 解得：（舍去） ∴ 综上所述：或 （2）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点D，E． ∴令，可得；令，可得 即： ∴ ∵⊙C的“宽度”为2 ∴ 当时，则点出现在⊙C内部，其轨迹是以点为圆心，半径为的圆 ∵点在线段上 ∴点的轨迹圆需要与线段有交点 （i）当点在点左侧时，点的轨迹圆与相切于点时，如图：    ∵ （ii）当点在点右侧时，点的轨迹圆经过点时，如图：    ∵点的轨迹圆半径为 即：当时， 当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【点睛】本题以圆作为几何背景，考查了新定义题型．关键是读懂材料内容，掌握数形结合及分类讨论的数学思想． 97．在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折旋点定义求解即可； 根据折旋点定义求解即可； （2）设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，即可确定b的取值范围； （3）确定点F的折旋点，再根据与圆相切求取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，点关于x轴对称点F的坐标为，绕顺时针旋转得到点B，易证,，，B点坐标为， 故答案为：， 如图所示，E点是以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点， 因此，E点坐标为， 故答案为：； （2）解：设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为， 点在直线上， ,即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图所示，当M在第二象限时，连接， ，，， 同理，当M在第四象限时，， 所以，；    （3）解：由可知，由（1）可知，关于x轴－点的折旋点N坐标为， ∴点N关于x轴－点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 当圆在直线左侧与直线相切时，如图所示，由可知，，易得，，， 由三角函数得，，， ， ，    当圆在直线右侧与直线相切时，如图所示，同理可得，，, ， ， ．    【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系和一次函数综合，涉及到了三角函数、全等三角形、旋转等知识，解题关键是充分理解题意，准确把握已知条件，发现折旋点坐标变化规律． 98．对于点C和给定的，给出如下定义：若上存在点B，使点C绕点B旋转的对应点A在上，此时是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为的“等直顶点”．若O是坐标原点，的半径为2，    (1)在点，，，中，可以作为的“等直顶点”的是___________； (2)若点P为的“等直顶点”，且点P在直线上，求点P的横坐标的取值范围； (3)设的圆心C在x轴上，半径为2，若直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的“等直顶点”，求圆心C的横坐标的取值范围； (4)直线分别和两坐标轴交于E，F两点，若线段上的所有点均为的“等直顶点”，求的半径的最大值与最小值． 【答案】(1)Q和S (2)点P的横坐标范围是：或 (3) (4)的半径最大值是，最小值是 【分析】（1）以点为原点建立直角坐标系，根据的半径为2，找出“等直顶点的条件”是距离圆心最小值是，最大是，从而判定的“等直顶点”； （2）同（1）最小是，最大是，进而确定P点的横坐标的范围； （3）同（1）找出上不存在“等直顶点”的条件即可； （4）作于P，确定点P的位置是最大半径时的“等直顶点”临界点，点F是最小值的临界点，进而求得． 【详解】（1）解：以点为原点建立直角坐标系，的半径为2， 如图1， ∵弦最大为直径，， ∴当，时， ， 如图2，    设P点的横坐标是x， 是等腰直角三角形，，， ，，， ，， ∴D点在以I为圆心，半径是为半径的圆上运动， ∴的最小值是， ， ∴点P不是“等直顶点”， ， ， ∴点Q是“等直顶点”， ， ∴R不是“等直顶点”， ， ， ∴S是“等直顶点”， 故答案为：Q和S； （2）解：如图3，    由（1）知，最小是，最大是， 作轴于A，作轴于B， ， ， ； 根据对称性， ∴点P的横坐标范围是：或； （3）解：如图4，    设C点的横坐标是a， 作直线于H， 由上知：， ， ， ； （4）解：如图5，    作于P， 由题意得：，， ， ， ， 要使点P是“等直顶点”，则， ， 要使点F是“等直顶点”，则， ， ∴的半径最大值是，最小值是． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定“等直顶点”的条件． 99．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．    (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 ___．在点 ，，，中，矩形的“关联点”是 ； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，．图形是以为圆心，为半径的，若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可； （）由题意可得，过点作垂直直线，交于点，当时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”； （3）由题意可得，当点在轴负半轴上时，过点作交于点L，交圆于点K，当时，由相似三角形的性质求得，此时，则；当点在轴正半轴上时，当时，此时，则时，线段上存在点，使点为的“关联点”； 本题考查了圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，正方形的性质，圆的性质，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴任意两点的距离最值为或， ∴， ∴； 已知，， ∴，到的距离为：，，， ∴矩形的关联点是，； 故答案为：，，； （2）解：∵，四边形是正方形， ∴， 过点作垂直直线，交于点， 当时，，， ∴， ∴时直线上存在点使为正方形的关联点；      （3）解：∵的圆心为半径为， ∴； 当点在轴负半轴上时，过点作交于，交于，交轴于，如图，    当时，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时， 当时，， ∴， ∴时，线段上存在点，使点为的“关联点”， 当点在轴正半轴上时，如图，    当时，点为的“关联点”，此时； 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴时，线段上存在点，使点为的“关联点”， 综上，当或，线段上存在点，使点为的“关联点”． 100．如图，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点，，中，点______是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围． (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①O，C；②； (2)或． 【分析】（1）①分别以为圆心，，为半径作圆，观察图象根据线段与圆的交点的位置，可得结论． 如图中，当点为时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点是关于点的内联点，当点为时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，利用图象法即可解决问题． （2）如图中，过点作轴于，过点作轴于利用相似三角形的性质求出点的坐标，再根据对称性求出的坐标，当时，设交于，想办法求出的坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：①如图中，根据点为关于点的内联点的定义，观察图象可知， 点，点是是关于点的内联点． 故答案为：，； 如图下中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点O是关于点B的内联点， 当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点A是关于点B的内联点，观察图像可知，满足条件的值为； （2）解：如图中，过点作轴于，过点作轴于． ， ，， 在中，， ， 当时，点是关于点的内联点， ， ， ， ∽， ， ， ，， ， 观察图象可知当时，满足条件． 作点关于点的对称点， 当时，设交于， 在和中，，， ， ， ， 设， 在中，，， ， 解得：， ，， 可得， 观察图象可知，当时，满足条件， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了点为关于点的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题． $$专题05 圆（考题猜想，21种题型100题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本认识 · 垂径定理 · 垂径定理推论 · 垂径定理的实际应用 · 弧、弦、圆心角的关系 · 圆周角定理 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 直径所对的圆周角相等 · 点和圆的位置关系 · 三角形的外接圆 · 确定圆的条件 · 直线和圆的位置关系 · 切线的判定 · 切线的性质 · 切线长定理 · 三角形的内切圆 · 圆的内接四边形 · 圆与圆的位置关系 · 正多边形和圆 · 弧长与扇形面积公式 · 圆的综合问题 一、圆的基本认识（4个小题） 1．已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂于弦 C．等弧对等弦 D．等弦对等弧 4．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（　　）    A． B．当时， C．当时， D．当时， 二、垂径定理（6个小题） 5．如图，是圆O的弦，且，点C是弧中点，点D是优弧上的一点，，则圆心O到弦的距离等于 ． 6．如图，的半径为，弦的长为，，交于点，交于点，则 ． 7．如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 8．如图，是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦的长． 9．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 10．如图，为的直径，弦，E为上一点，若，则 ． 三、垂径定理推论（7个小题） 11．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 12．如图，在中，，，半径，则 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点． （1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹） （2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径． 14．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积． 15．如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径． 16．如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程． 方法一：①作射线、； ②作的平分线，与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵平分， ∴ ∴___（_____）（填推理的依据）． 方法二：①连接； ②作线段的垂直平分线，直线与交于点C； 点C即为所求作． 证明：∵垂直平分弦， ∴直线经过圆心O， ∴___（___）（填推理的依据）． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC． （1）求证：∠PCA＝∠ABC； （2）若BC＝4，tan∠APO＝，求PA的长． 四、垂径定理的实际应用（6个小题） 18．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为点，半径为． 过点作弦的垂线，交于点，点为垂足，则点是的中点，其推理依据是： ； 经测量：，，则 ， 用含的代数式表示， ， 在中，由勾股定理可列出关于的方程： ， 解得．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮． 19．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．米 D．米 20．赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）    A． B． C． D． 21．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 23．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 五、弧、弦、圆心角的关系（5个小题） 24．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（    ） A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC 25．如图，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE等于（    ） A．40° B．50° C．60° D．120° 26．图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”） 27．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD． 28．已知：，B为射线AN上一点． 求作：，使得点C在射线AM上，且． 作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E； ②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F； ③连接FB，交射线AM于点C． 就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接BD，EF，AF， ∵点B，E，F在上， （__________）（填写推理的依据）． ∵在中，， ___________． ． 六、圆周角定理（6个小题） 29．如图，点A，B在上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点P，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 30．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 31．如图，点，，均在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．如图，线段是的直径，弦，，则等于（    ） A．150° B．140° C．130° D．120° 33．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    34．已知：如图，在中，是边上一点，圆过三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，圆的半径为4，求的长． 七、同弧或等弧所对的圆周角相等（4个小题） 35．如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 36．如图，为的直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 37．如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 38．如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为 ． 八、直径所对的圆周角相等（6个小题） 39．如图，是半圆O的直径，C是半圆周上的动点（与A，B不重合），于点D，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 40．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 41．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 cm． 42．如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ． 43．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 44．如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，，连接并延长交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 九、点和圆的位置关系（5个小题） 45．已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 46．已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（　） A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 48．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．    49．在平面直角坐标系中，的半径为()．给出如下定义：若平面上一点到圆心的距离，满足，则称点为的“近点”． (1)当的半径时，，，，中，的“近点”______． (2)若点是的“近点”，求的半径的取值范围； (3)当的半径时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“近点”，则的取值范围是______． 十、三角形的外接圆（4个小题） 50．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 51．如图，△ABC中，sinA=，BC=6，则△ABC外接圆的直径为（      ） A．8 B．10 C．4 D．5 52．下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是（    ） A．长度为的线段 B．斜边为的直角三角形 C．面积为的菱形 D．半径为，圆心角为的扇形 53．如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， （）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 十一、确定圆的条件（3个小题） 54．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 55．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 56．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程． 已知：⊙O和圆外一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法： ①连接OP； ②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B； ③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线． 根据小文设计的作图过程，完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP为⊙M的直径， ∴∠OAP=_______=______°（________）(填推理的依据)． ∴OA⊥AP，_______⊥BP． ∵OA，OB为⊙O半径， ∴直线PA，PB为⊙O的切线．（_________）(填推理的依据)． 十二、直线和圆的位置关系（3个小题） 57．如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 59．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作，已知点，，． (1)①求点，； ②若点在轴正半轴上，点，，求点的坐标； (2)记函数的图象为图形，若图，，直接写出的取值范围； (3)以点为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到点距离为的正方形为单位正方形，若点在轴上且单位正方形，，请直接写出的取值范围． 十三、切线的判定（7个小题） 60．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 61．如图，在中，，以为直径的与边相交于点，与边相交于点，，垂足为点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 62．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 63．如图，是的直径，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 64．如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，且    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 65．如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 66．如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 十四、切线的性质（6个小题） 67．如图，是的弦，D为半径中点，过D作交弦于点E，交于点F，且是的切线．    (1)求证：； (2)连接，求的正弦值； (3)如果，求的半径． 68．已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 69．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 70．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点． (1)写出B，C，D点坐标（不写计算过程） (2)若B、C、D三点在抛物线上，求这个抛物线的解析式． (3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，，试判断直线是否经过所示抛物线的顶点？说明理由． 71．如图，是的直径，点是外一点，连接交⊙O于点，作，分别切于点、，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 72．如图，是的直径，点在上，是的切线．点在的延长线上．    (1)求证：； (2)若是弧的中点，交于点，若，求的值． 十五、切线长定理（3个小题） 73．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 74．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 75．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 十六、三角形的内切圆（3个小题） 76．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 77．如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ） A．124° B．118° C．112° D．62° 78．如图所示，在三角形中，，两直角边，，三角形内有一点，它到各边的距离相等，则这个距离是 ． 十七、圆的内接四边形（3个小题） 79．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则 ． 80．如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 81．已知四边形内接于以为直径的，A为弧中点，延长， 交于点P． (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)过点C作的垂线交的延长线于点E，当，时，求的长． 十八、圆与圆的位置关系（3个小题） 82．在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 83．如图，平面直角坐标系中，已知点、点，连接，若点为平面上一点，且为等边三角形，则称点为线段的“关联点”． (1)已知点和点，点为线段的“关联点”，直接写出点的坐标______； (2)若，，点是线段上一点，点为线段的“关联点”，当点在右侧时，判断与的位置关系，并证明； (3)半径为2，点是上一点，点，若点为线段的“关联点”，直接写出长度的最大值和最小值． 84．在平面直角坐标系中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”．    (1)如图1所示，已知，点，点． ①在点中，是线段的“对称平衡点”的是___________； ②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由； (2)如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点C满足，再以点C为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围． 十九、正多边形和圆（3个小题） 85．半径为1的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（    ） A． B． C． D． 86．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为，则该正五边形的边长大约是（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，，） A．5.2m B．4.8m C．3.7m D．2.6m 87．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．    二十、弧长与扇形面积公式（4个小题） 88．一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 89．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 90．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 91．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，． (1)作出关于原点成中心对称的图形（点与点对应），并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转90°得到，点旋转后的对应点为，画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点经过的路径的长． 二一、圆的综合问题（9个小题） 92．如图，为的直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求长． 93．如图，是的直径，，交于点，点在的延长线上且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 94．对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”． (1)已知点，，．①在点，，中，点________是线段关于原点的“伴随点”；②如果点是关于原点的“伴随点”，求的取值范围； (2)的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点的“伴随点”，直接写出的取值范围． 95．在平面直角坐标系中，的半径为1，点A在上，点P在内，给出如下定义：连接并延长交于点B，若，则称点P是点A关于的k倍特征点． (1)如图，点A的坐标为．    ①若点P的坐标为，则点P是点A关于的 倍特征点； ②在，，这三个点中，点 是点A关于的倍特征点； ③直线l经过点A，与y轴交于点D，．点E在直线l上，且点E是点A关于的倍特征点，求点E的坐标； (2)若当k取某个值时，对于函数的图象上任意一点M，在上都存在点N，使得点M是点N关于的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值． 96．点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． 97．在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点． 例如：点关于x轴-点O的折旋点是点． (1)如图1，点． 若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________； 若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________； (2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围； (3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 98．对于点C和给定的，给出如下定义：若上存在点B，使点C绕点B旋转的对应点A在上，此时是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为的“等直顶点”．若O是坐标原点，的半径为2，    (1)在点，，，中，可以作为的“等直顶点”的是___________； (2)若点P为的“等直顶点”，且点P在直线上，求点P的横坐标的取值范围； (3)设的圆心C在x轴上，半径为2，若直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的“等直顶点”，求圆心C的横坐标的取值范围； (4)直线分别和两坐标轴交于E，F两点，若线段上的所有点均为的“等直顶点”，求的半径的最大值与最小值． 99．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．    (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 ___．在点 ，，，中，矩形的“关联点”是 ； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，．图形是以为圆心，为半径的，若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围． 100．如图，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点，，中，点______是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围． (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，直接写出点横坐标的取值范围． $$