专项7 切线的判定与性质-北京版九年级上册期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 切线的判定与性质 1．如图，ΔABC中，AB AC ，D为 AC上一点，以CD为直径的 O 与 AB相切于点 E，交BC于 点 F，FG AB ，垂足为 G． (1)求证： FG是 O 的切线； (2)若 O 的半径长为 2 2， 3BF  ，求 BE的长． 2．如图， AB是 O 的直径， AC与 O 交于 F，弦 AD平分 CAB ，DE AC ，垂足为 E． (1)判断直线DE与 O 的位置关系，并说明理由． (2)若 O 的半径为 3，若 60CAB  ，求线段 EF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．如图，ΔABC内接于 O ， AB为直径，CD平分 ACB 交 O 于点D . (1)过点D作DE AB∥ ，求证：DE为 O 的切线； (2)若 8AC  ， 6BC  ，求 BD的长和阴影部分的面积. 4．如图，点A，B，C在 O 上，AC是直径，��是弦，点 P是 O 外一点，分别作射线 PA，PB， 其中 PA是 O 的切线，线段 PA PB ． (1)求证： PB是 O 的切线． (2)若 25CAB  ，求 P 的度数． 5．如图，ΔABC中，AB AC ，点O在边 AB上， O 过点 B且分别与边 AB、BC相交于D、E两 点，EF AC ，点 F为垂足． (1)求证：直线 EF是 O 的切线； (2)当ΔABC是等边三角形，且直线DF与 O 相切时，直接写出长度为线段 BE长度 2倍的所有 线段． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6．如图， ,AC BD是圆内接四边形 ABCD的对角线， AC BD 于点E BD， 平分 ADC ． (1)求 BAD 的度数； (2)点 P在DB的延长线上， PA是该圆的切线． ①求证： PC是该圆的切线； ②若 3PA AC  ，直接写出 PD的长． 7．如图 1， O 的直径 8AB  ，AM和BN是它的两条切线，点 E是圆上一点，过点 E的直线与 AM ，BN分别相交于点 D，C两点，连接 AE并延长，交BN点 P，BC CP ． (1)求证： DC是 O 的切线； (2)若 13 DE EC  ，求 AD长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 8．四边形 ABCD是菱形，点 O为对角线交点，��边的垂直平分线交线段OD于点 P（P不与 O 重合），连接PC，以点 P为圆心，PC长为半径的圆交直线BC于点 E，直线 AE与直线��交于 点 F，如图所示． (1)当 60ABC  时，求证：直线��与 P 相切； (2)当 2AO  ， 2 2 16AF EF  时，求 ABC 的度数； (3)在菱形 ABCD的边长与内角发生变化的过程中，若点 C与 E不重合，请探究 AFC 与 CAF 的 数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 切线的判定与性质 1．(1)见解析 (2)1 2 2 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质和判定的综合应用、根据等边对等 角证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图 1，连接OF，由等边对等角可得 B ACB   ， OFC OCF   ，即 OFC B  ， OF AB∥ ，则OF FG ，进而结论得证； （2）如图 2，连接OE，证明四边形OEGF是正方形，则 2 2GE GF OF   ，由勾股定理得， 1BG  ， 根据BE BG GE  ，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图 1，连接OF， ∵ AB AC ， ∴ B ACB   ， ∵OF OC ， ∴ OFC OCF   ， ∴ OFC B  ， ∴OF AB∥ ， ∵FG AB ， ∴OF FG ， 又∵OF是半径， ∴ FG是 O 的切线； （2）解：如图 2，连接OE， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∵以CD为直径的 O 与 AB相切于点 E， ∴OE AB ，OE为半径， ∴四边形OEGF是正方形， ∴ 2 2GE GF OF   ， 由勾股定理得， 2 2 1BG BF GF   ， ∴ 1 2 2BE BG GE    ， ∴ BE的长为1 2 2 ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判 定与性质．熟练掌握切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判 定与性质是解题的关键． 2．(1)直线DE与 O 相切，见解析 (2) 3 2 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、根据等边对等角证明、含 30度角的直角三角形、 根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）欲证明DE是 O 的切线，只要证明 90ODE  即可； （2）过O作OG AF 于G，得到 2AF AG ，根据含 30度角的直角三角形的性质得到 1 3 2 2 AG OA  ，得到 3AF  ，推出四边形 AODF是菱形，得到DF OA∥ ， 3DF OA  ，于是得到 结论． 【详解】（1）解：直线DE与 O 相切，理由如下： 连接OD， AD 平分 BAC ， OAD CAD  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 OA OD ， OAD ODA ∴ ， ODA CAD  ， OD AC ∥ ， DE AC ，即 90AED  ， 90ODE  ，即DE OD^ ， OD 是半径， DE 是 O 的切线； （2）解：过O作OG AF 于G， 2AF AG  ， 60BAC  Q ， 3OA  ， 1 3 2 2 AG OA   ， 3AF  ， AF OD  ， 四边形 AODF是菱形， DF OA ∥ ， 3DF OA  ， 60EFD BAC    ，则 30EDF  ， 1 3 2 2 EF DF   ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、含 30度角的直角三角形的性质、菱形的判 定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题 型． 3．(1)见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2) 5 2BD  ， 25 25 4 2 S  阴影 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、求其他不规则图形的面积 【分析】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积 公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接OD，得 AOD BOD  ，即可得出 AD BD ，而 180AOD BOD   ，则 90AOD BOD   ，由DE AB∥ ，得 90ODE AOD   ，则DE OD^ ，即可证明DE是 O 的切 线； （2）由 AB为 O 的直径，得 90ACB  ，则 2 2 10AB AC BC   ，所以 1 5 2 OD OA OB AB    ， 则 25 25 2 4AOD BOD S S S    阴影 扇形 ． 【详解】（1）证明：连接OD， CD 平分 ACB ， ACD BCD  ，  AD BD  ， 1 1 180 90 2 2 AOD BOD AOB       o o， 又 DE AB∥ ， 90DDE AOD   o， DE OD  ， 又 OD 是半径， DE 为 O 的切线. （2）解： AB 为直径， 90ACB  ， 2 2 2 28 6 10AB AC BC      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 1 5 2 OD OB AB    ， 90BOD   ， 2 2 2 25 5 5 2BD OD OB     290 5 1 25 255 5 360 2 4 2BODBOD S S S         阴影 扇形 4．(1)见解析 (2) 50APB   【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理； （1）证明  SSSOAP OBP ≌ ，得出 90OBP OAP   ，即可得证； （2）根据圆周角定理可得 50COB  ，进而得出 130AOB  ，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接OB，OP． PA 是 O 的切线  90OAP   在 OAP 和 OBP 中 PA PB OA OB OP OP        SSSOAP OBP ≌  90OBP OAP    又OB是半径 PB 是 O 的切线 （2） 25CAB    50COB    130AOB   四边形OAPB中 90OBP OAP     180AOB APB    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6  50APB   5．(1)见解析 (2)长度为线段 BE长度 2倍的所有线段有： BD， AF ， EC， AO． 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、 等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的 判定定理解答即可； （2）连接DE，利用圆周角定理和含30角的直角三角形的性质，得到 2BD BE ；再利用圆的 切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可 得出结论． 【详解】（1）证明：连接OE，如图， AB AC ， B C   ． OB OC ， B OEB  ， OEB C  ， OE AC ∥ ． EF AC ， OE EF  ， OE 为 O 的半径， 直线 EF是 O 的切线； （2）解：连接DE，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 BDQ 为 O 的直径， 90BED  ， ABC 是等边三角形， 60ABC C A      ， 30BDE  ， 2BD BE  ． EF AC ， 90 30FEC C      ， 90 60FED FEC      ． 直线DF与 O 相切， BD FD  ， 90 60EDF BDE      ， 60EDF DEF DFE      ， DEF 为等边三角形， DE DF EF\ = = ． 在ΔBDE 和 CEF△ 中， 90 30 BED CFE DE EF BDE FEC             ， (ASA)BDE CEF ≌ ， BD EC  ． 同理： BDE AFD△ ≌△ ， BD AF  ． BD AF EC   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 由题意： 1 2 AD AF ， 1 2 AD BD OD OB    ， AO BD  ， 长度为线段 BE长度 2倍的所有线段有： BD， AF ， EC， AO． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的 判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，连接经过切点 的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 6．(1) 90BAD   (2)①见解析；② PD的长为 3． 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由角平分线的定义求得 ADB CDB   ，根据圆周角定理求得 ADB BAC   ，利 用 AC BD ，据此可求解； （2）①连接OA OC， ，证明 AOP COP△ ≌△ ，推出 90OCP OAP    ，即可证明 PC是该圆的切线； ②证明 PAC 和 BAO 都是等边三角形，利用含 30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得 半径为 1，据此求解即可． 【详解】（1）解： BDQ 平分 ADC ， ADB CDB  ． BAC CDB   ， ADB BAC   ． AC BD ， 90ADB CAD    ． 90BAC CAD   ． 90BAD  ； （2）①证明：如图，取 BD的中点O，连接OA OC， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 90BAD  Q ， BD 是该圆的直径． 点O是该圆的圆心． PA 是 O 的切线， 90OAP  ． OA OC AC BD  ， ， AOP COP  ． OP OP ， AOP COP△ ≌△ ． 90OCP OAP    ． PC 是 O 的切线； ②∵ PC、 PA都是 O 的切线， ∴ PA PC ， ∵ 3PA AC  ， ∴ 3PA PC AC   ， ∴ PAC 是等边三角形， ∴ 1 30 2 APO APC    ， 60AOP  ， ∴ PO 2OA ， BAO 是等边三角形， ∵ 2 2 2PO OA PA  ， ∴ 1OA  ， ∴ 1OA OD  ， 2 2PO OA  ， ∴ 3PD  ， ∴ PD的长为 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，含 30度角的直角三角形的性质以及勾 股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7．(1)详见解析 (2) 4 3 3 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、半圆（直径）所对的圆周角 是直角 【分析】（1）连接 BE，OE，根据“直径所对的圆周角等于90”可得 90AEB BEP   ，再根 据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可得 EC BC ，进而可得 BEC EBC  ，又由于 OBE OEB  ，可得， 90OEB BEC OBE EBC ABN      ，由此可得DC是 O 的切线． （2）过点 D作DQ BC 于 Q，由切线的性质可得四边形 ABQD是矩形， AD DE ， BC CE ．设 AD x ，则 3BC x ， 4CD x ， 2CQ x ，在Rt CDQ△ 中，根据勾股定理列方程求出 x的值即可． 【详解】（1）连接 BE，OE， BN 是 O 的切线， 90ABN  ， AB 是 O 的直径， 90AEB BEP   ． BC CP ， 1 2 PEC BC B   ， BEC EBC   ， OE OB ， OBE OEB  ， 90OEB BEC OBE EBC ABN      ， OE EC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 DC 是 O 的切线． （2）过点 D作DQ BC 于 Q， AM ，BN，DC都是 O 的切线， 90BAM ABN   ， AD DE ， BC CE ， ∴四边形 ABQD是矩形， AD BQ = ， 8DQ AB  ， 1 3 AD DE BC EC   ． 设 AD x ，则 3BC x ， 4CD x ， 2CQ x ， ∵在Rt CDQ△ 中， 2 2 2CQ DQ DC  ，    2 222 8 4x x   ， 解得 4 3 3 x  ， 即 4 3 3 AD  ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切 线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是 解题的关键． 8．(1)见解析 (2)45 (3) 3 90 4 CAF AFC     或 3+ =45 4 CAF AFC   【知识点】利用菱形的性质求线段长、四点共圆、线段垂直平分线的性质、切线的性质和判定 的综合应用 【分析】（1）连接 AP，根据菱形的性质得 = =BA BC AD， =AO CO，BD AC ，有 = =ABD CBD ADB   ， 根据垂直平分线的性质得 PA PD ，利用三角形内角和定理得 90PAB  ．根据菱形的性质得点 A在 P 上即可． （2）由同弧所对圆周角相等得 ADC AEC  ．结合菱形的性质得 ADC DCE  ，可证得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 FE FC ．由勾股定理逆定理得 ACF△ 为直角三角形，且 90AFC  ，利用 AB CD∥ 即可求得 ABC DCE  ． （3）设 ABC   ，分两类讨论：①当点 E在BC延长线上时，可得： AEC DCE ABC   ， 以及 2AFC DCE   ，进一步求得 190 2 ACB    和 390 2 CAF    ；②当点 E在BC边上时， 由四点共圆和同角的补角相等得 FEC ADC ABC   ，结合菱形的性质有 FCE ADC  ．则有  1= 180 2 AFC  ，进一步求得 1= =90 2 BAC BCA    和 3= 90 2 CAF    即可． 【详解】（1）证明：连接 AP，如图， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴ = =BA BC AD， =AO CO，BD AC ． ∴ 1= = =30 2 ABD CBD ABC    ． ∵ 60ABC  ． ∴ 30ABD ADB   ． ∵P是��垂直平分线上的点， ∴ PA PD ． ∴ 30PAD PDA   ． ∴ 60APB  ． ∴ 180 90PAB APB ABD     ． ∴ PA AB ． ∵��垂直平分 AC，P在��上， ∴PA PC ，即点 A在 P 上． ∴直线��与 P 相切． （2）由（1）得 PA PD ，则点 D在 P 上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵ ADC 与 AEC 同对AC， ∴ ADC AEC  ． ∵四边形 ABCD是菱形， ∴ AB CD∥ ， AD BC∥ ． ∴ ADC DCE  ． ∴ AEC DCE   ． ∴FE FC ． ∵ 2 2 16AF EF  ， ∴在 ACF△ 中， 2 2 2 2 16AF CF AF EF + + ． ∵由（1）得 2 4AC AO  ，即 2 16AC  ． ∴ 2 2 2AF CF AC+ ． ∴ ACF△ 为直角三角形，且 90AFC  ． ∴ 45AEC DCE   ． 又∵ AB CD∥ ， ∴ 45ABC DCE   ． （3）设 ABC   ， 由（1）知：当 60  时，直线��与 P 相切，同理：当 60  时，直线 BC与 P 相切，此时， 点 C是切点，点 E、F、C重合． 所以若点 C与 E不重合，可分两类讨论： ①当点 E在BC延长线上时， 由（2）知： AEC DCE ABC     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 2 2AFC DCE     ，即 1 2 AFC   ． ∵BA BC ， ∴  1 1180 90 2 2 ACB CAB ABC         ． ∴ 1 390 90 2 2 CAF ACB AEC            ． 则 390 4 CAF AFC    ． 即 3 90 4 CAF AFC     ． ②当点 E在BC边上时， ∵点 A，E，C，D在 P 上， ∴ 180AEC ADC   ． ∵ 180AEC FEC   ， ∴ FEC ADC ABC     ． ∵ AD BC∥ ， ∴ FCE ADC    ． ∴ 180 180 2AFC FCE FEC       ． 即  1= 180 2 AFC  ． 又∵BA BC ， ∴  1 1= = 180 =90 2 2 BAC BCA ABC     ． ∴  1 3= = 90 90 2 2 CAF FEC BCA          ． ∴  3 3= 180 90 =45 4 4 CAF AFC AFC       ． 即 3+ =45 4 CAF AFC  ． 综上， 3 90 4 CAF AFC     或 3+ =45 4 CAF AFC   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的结合，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对 圆周角相等、勾股定理逆定理和四点共圆，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识．