专题04 解直角三角形（考题猜想，14种题型46题专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期北京版

专题04 解直角三角形（考题猜想，14种题型46题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求角的正弦值 · 已知正弦值求边长 · 求角的余弦值 · 已知余弦值求边长 · 求角的正切值 · 已知角的正切值求边长 · 特殊角的三角函数运算 · 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 · 由特殊角额三角函数值求角的度数 · 三角函数综合 · 解直角三角形的相关计算 · 仰角俯角问题 · 方位角问题 · 坡度坡比问题 一、求角的正弦值（3个小题） 1．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，于点D，，，求及的长． 二、已知正弦值求边长（3个小题） 4．如图，在中，．若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．6 5．如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为 ． 6．如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 三、求角的余弦值（3个小题） 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝ ．   8．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则 ． 9．如图，在中，，，．求的值． 四、已知余弦值求边长（3个小题） 10．在中，，，，那么 ． 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，AC=2，那么AB的长为 ． 12．如图，在四边形中，，，，，求的长． 五、求角的正切值（3个小题） 13．如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（    ）． A． B． C． D．2 14．在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（   ） A． B．2 C． D． 15．如图，在中，，平分，交于点D，，，求的长． 六、已知角的正切值求边长（3个小题） 16．已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 17．中，，垂足为D，，求长． 18．如图，在中，，，，求的长． 七、特殊角的三角函数运算（5个小题） 19．如图，在一块直角三角板中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+cosB的值为（    ） A． B． C． D． 21．计算：． 22．计算：． 23．计算：． 八、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状（3个小题） 24．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 25．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 26．在中，若满足，则是 三角形． 九、由特殊角额三角函数值求角的度数（3个小题） 27．如图，线段是的直径，为上两点，如果，那么的度数是(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 28．如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（    ） A． B．2 C． D．1 29．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是 ． 十、三角函数综合（3个小题） 30．如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．    (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 31．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． (1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”； (2)点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值． 32．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点． （1）求证：DE⊥BC； （2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径． 十一、解直角三角形的相关计算（4个小题） 33．如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 34．如图，在中，，，．求的长和的值． 35．如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，是的外接圆，，是直径，且，连接，求的长． 十二、仰角俯角问题（4个小题） 37．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    38．某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 39．永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 40．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 十三、方位角问题（4个小题） 41．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在处测得岛在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到处，测得岛在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁． 参考数据：，，． (1)B处离岛C______海里． (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (3)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 42．从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号） 43．如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°，亭B在点M的北偏东30°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、B之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、B之间距离． 44．一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 十四、坡度坡比问题（2个小题） 45．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 46．随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡的坡角为，水平线.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到，参考数据：，，)． $$专题04 解直角三角形（考题猜想，14种题型46题专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求角的正弦值 · 已知正弦值求边长 · 求角的余弦值 · 已知余弦值求边长 · 求角的正切值 · 已知角的正切值求边长 · 特殊角的三角函数运算 · 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 · 由特殊角额三角函数值求角的度数 · 三角函数综合 · 解直角三角形的相关计算 · 仰角俯角问题 · 方位角问题 · 坡度坡比问题 一、求角的正弦值（3个小题） 1．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 2．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义． 3．如图，在中，，于点D，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由，，，利用勾股定理求出，即可求，在中，求出，再利用在中，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， 在中，， ∴． 二、已知正弦值求边长（3个小题） 4．如图，在中，．若，，则的长为（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数定义列式得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用正弦三角函数进行计算，掌握正弦三角函数定义是解题关键． 5．如图，在等腰直角中，，点D是AC上一点，如果，，那么AB的长为 ． 【答案】 【分析】先根据正弦的定义和已知条件求得，再运用勾股定理求得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∵等腰直角 ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，根据正弦定义求得是解答本题的关键． 6．如图，中，，． (1)求的长． (2)是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解； （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ 在中，, ∴ （2）解：如图，过点，作交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 三、求角的余弦值（3个小题） 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝ ．   【答案】 【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠DCB， 而cosA=＝=， ∴cos∠DCB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 8．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可． 【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形， 其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 9．如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ． 四、已知余弦值求边长（3个小题） 10．在中，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了余弦．熟练掌握：是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴，即，解得，， 故答案为：4． 11．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，AC=2，那么AB的长为 ． 【答案】6 【分析】根据余弦的定义可得，代入AC=2即可求得 【详解】解：如图， 故答案为：6 【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，． 12．如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过作于点，证明四边形是矩形，根据性质得出，由求出，最后通过勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 五、求角的正切值（3个小题） 13．如图所示的正方形网格中有∠α，则tanα的值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】在角上构造直角三角形，根据直角三形的边长，求正切值． 【详解】如图，在Rt△ACB中，， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的求法，掌握正切的求法是解决本题的关键． 14．在Rt△ABC中，，，，则tanB的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出BC，再根据正切公式计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，，，， ∴BC=， ∴tanB=， 故选：B． ． 【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键． 15．如图，在中，，平分，交于点D，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切函数、特殊角的三角函数值、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 先根据正切的定义以及特殊角的函数值可得，由角平分线的定义可得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ 在中，， ∴． 六、已知角的正切值求边长（3个小题） 16．已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键． 17．中，，垂足为D，，求长． 【答案】 【分析】先求出，由，得到，则，由勾股定理即可得到长． 【详解】∵，垂足是点D，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数等，准确计算是关键． 18．如图，在中，，，，求的长． 【答案】的长为4 【分析】过作于，在Rt和Rt中，根据角度和三角函数值可将用表示出来，再根据，即可求得的长，最后利用三角函数即可求得的长． 【详解】解：如图所示：过作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为4． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握正切的定义． 七、特殊角的三角函数运算（5个小题） 19．如图，在一块直角三角板中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+cosB的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， 则sinA+cosB＝+＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21．计算：． 【答案】 【分析】根据实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 22．计算：． 【答案】 【分析】利用绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再根据实数的混合运算的法则进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 23．计算：． 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算． 八、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状（3个小题） 24．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形． 【详解】∵，都是锐角，且，， ∴，， ∴， ∴的形状是直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 25．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 26．在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 九、由特殊角额三角函数值求角的度数（3个小题） 27．如图，线段是的直径，为上两点，如果，那么的度数是(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】如图（见解析），连接BC，先根据圆周角定理可得，再根据正弦三角函数值可得，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】如图，连接BC 线段是的直径 在中，， 由圆周角定理得： 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正弦三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 28．如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长． 【详解】解：△ABC中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键． 29．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC=，AC=3．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】． 【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明，进而由可求出AD的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，∵，． ∴， ∵， ∴是圆的切线， ∵与斜边相切于点， ∴， ∴； 在中，∵， ∴， ∵与斜边相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键． 十、三角函数综合（3个小题） 30．如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．    (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据对顶角相等可得，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据锐角三角形函数的定义可求得，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径是， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 31．在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． (1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”； (2)点M的坐标为， ①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围； ②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值． 【答案】(1) (2)①或  ② 【分析】(1)直线与圆的交点分别为和，则，根据勾股定理计算即可． (2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围． ②根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质及解三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， ∵的半径为1， ∴圆O与y轴的正半轴交点为，与x轴的负半轴交点为， ∴直线关于该圆的“圆截距”为， ∵， ∴． （2）①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且 ∵点M的坐标为，的半径为1， ∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)， 当时，直线的解析式为， 当直线经过点B时，， 解得； 过点M作，垂足为F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设直线与圆M的另一个交点为C， 则， ∵关于的“圆截距”小于， ∴k的取值范围是； 设直线与圆的一个交点为N， ∵点，点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， 根据圆的对称性，直线和直线关于直线对称，此时， ∴， ∴， ∴D的坐标为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∵关于的“圆截距”小于， ∴k的取值范围是； 综上所述，k的取值范围是或． ②当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2， 设直线与y轴交点为点，则过Q点的“圆截距”的最小值为2， 如图所示：，， 由题意得，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴由对称性得． 【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键． 32．如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点． （1）求证：DE⊥BC； （2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）2.5 【分析】（1）连接OD，则OD⊥DE，利用中位线定理证明OD∥BC即可； （2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，正切的定义，求解即可； 【详解】（1）证明：连接OD． ∵DE为⊙O的切线， ∴DE⊥OD ∵AO＝OB，D是AC的中点， ∴OD∥BC． ∴DE⊥BC （2）解：连接DB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴DB⊥AC， ∴∠CDB＝90°． ∵D为AC中点， ∴AB＝BC， 在Rt△DEC中，∠DEC＝90°， ∵DE＝2，tanC＝， ∴， 由勾股定理得：DC＝， 在Rt△DCB中，∠BDC＝90°， ∴BD＝DC·tanC＝ 由勾股定理得：BC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∴⊙O的半径为2.5． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角函数，熟练掌握切线的性质，灵活运用三角形中位线定理和锐角三角函数是解题的关键． 十一、解直角三角形的相关计算（4个小题） 33．如图，在中，，平分交于点D，于点E．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质； 先根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质可得，即可求出的长度，再根据，求出的长度，即可根据勾股定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵平分， ，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 34．如图，在中，，，．求的长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型； 根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在矩形中，为对角线，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键； （1）由矩形的性质可得，则，由垂直可得，则，即可得． （2）在中，根据，设，，则．得出．根据矩形性质得出，．在中，得出，．再根据，得出．解出的值即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：在中，， 设，，则． ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 36．如图，是的外接圆，，是直径，且，连接，求的长． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理可求出，，由锐角三角函数的定义即可求出的长．此题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：在中，∵， ∴. ∵是直径，， ∴， ∴. 十二、仰角俯角问题（4个小题） 37．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴．    38．某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下： 方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米； 方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，） 请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到） 【答案】旗杆的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．方法一：由题意得，根据即可求解；方法二：由题意得：，根据，求出，即可求出． 【详解】解：方法一：由题意得， ∴， ∵，， ，即， ， 答：旗杆的长约为米． 方法二：由题意得：， ， ，即 ， 答：旗杆的长约为米． 39．永定楼是门头沟的标志性建筑，为测得永定楼的高度，小亮同学先站在点C的位置，视线（点B）与塔尖A的仰角是，水平向前走了到达点E的位置，此时的仰角是，已知小亮的眼睛距离地面，请计算永定楼的高度．（结果保留根号） 【答案】永定楼的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，作于点H，根据，，设，则，在中，根据列方程解答即可； 【详解】连接，作于点H， 由题意可知点共线， ∵，， ∴， ∴设， 则， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，， ∴ 答：永定楼的高度为：． 40．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】(1) (2)飞船从处到处的平均速度约为 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ， （2）在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 十三、方位角问题（4个小题） 41．如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在处测得岛在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到处，测得岛在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁． 参考数据：，，． (1)B处离岛C______海里． (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (3)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)10 (2)如果渔船继续向东航行，有触礁危险；理由见解析 (3)没有触礁危险；理由见解析 【分析】（1）根据方向角的定义以及等腰三角形的判断可得即可； （2）在中，由锐角三角函数即可求出答案； （3）构造直角三角形，由锐角三角函数可求出，比较得出结论． 【详解】（1）如图，过作于， 由题意得， ∴， ∴（海里）； 故答案为10； （2）由（1）知，为渔船向东航行到的最短距离，， ∵，，， ∴ ∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险； （3）过作交于，交于， 在中，， ∴ ， ∴没有触礁的危险． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 42．从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公里？（结果保留根号） 【答案】此时独象距离象群公里 【分析】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中求出BD，在Rt△ADC中求出DC，根据BC=BD+DC即可． 【详解】连接BC，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中 ∵AB=12，∠BAD=45°                                ∴ sin45°=   即 ∴BD= ∴BD=AD= 在Rt△ACD中，∠DAC=30° ∴tan30°= 即， ∴DC=， ∴BC=BD+DC=,          ∴此时独象距离象群公里 【点睛】本题考查了解直三角形应用，方位角，构造直角三角形是解决本题的关键． 43．如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°，亭B在点M的北偏东30°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、B之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、B之间距离． 【答案】 米 【分析】根据题意，画出图形，过点A作AH⊥BQ于点H，根据题意得：∠BQM=∠ANM=90°，MN=60米，NQ=30米，∠AMN=90°-60°=30°，∠BMN=90°-30°=60°，则MQ=90米，在 和中，利用锐角三角函数，可得米， 米，从而得到 米，然后由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下图： 过点A作AH⊥BQ于点H， 根据题意得：∠BQM=∠ANM=90°，MN=60米，NQ=30米，∠AMN=90°-60°=30°，∠BMN=90°-30°=60°，则MQ=90米， 在 中， 米， ∵∠BQM=∠ANM=90°，AH⊥BQ， ∴四边形AHQN是矩形， ∴ 米， 米， 在 中， 米， ∴ 米， ∴ 米 即两个小亭A、B之间距离为 米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构建直角三角形，并熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 44．一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】10.4海里 【分析】过点S作SC⊥AB于点C，根据三角形外角性质可得BS=AB=12，在Rt△CSE中，运用正弦函数即可求出SC． 【详解】（1）解：过点S作SC⊥AB于点C， 依题意可知∠1=30°，∠3=60°，AB=12， ∴∠2=30°，BS=AB=12， 在Rt△CSE中，∠SCB=90°，sin∠3=， ∠3=60°， ∴CS=BS× sin∠3 =12×sin60° =12×≈12×1.73×=10.38≈10.4 （海里）， 答：航行过程中船距灯塔S的最近距离是10.4海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确运用三角函数解直角三角形是解题的关键． 十四、坡度坡比问题（2个小题） 45．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)点B距水平地面的高度为5米 (2)该公司的广告牌不符合要求，理由见解析 【分析】（1）过点B作于点M，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可； （2）作于点N，则四边形是矩形．分别在和中解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点B作于点M， 由题意可知，，       设米，米， 则米 ∴，解得， ∴米，米， 即点B距水平地面的高度为5米． （2）解：作于点N， ∵，， ∴四边形是矩形． ∴米，米． 在中，， ∴米，米，       在中，，米， ∴米 ∴米 ∵， ∴该公司的广告牌不符合要求． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，作辅助线构造直角三角形和矩形进行求解是解答的关键． 46．随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡的坡角为，水平线.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到，参考数据：，，)． 【答案】2.6米． 【分析】根据锐角三角函数关系得出CF以及DF的长，进而得出DE的长即可得出答案． 【详解】过点D作DE⊥AB于点E，延长CD交AB于点F． 在△ACF中，∠ACF=90°，∠CAF=20°，AC=12， ∴， ∴(m)， ∴(m)， 在△DFE中，， 又∵DE⊥AB，∴， ∴， ∴(m)， 答: 地下停车库坡道入口限制高度约为2.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． $$