专题07 概率的求法与应用（考点清单，3个考点梳理+6个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

专题07 概率的求法与应用（3个考点梳理+6个题型解读+提升训练）   【清单01】   概率的计算 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． 2.画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．   【清单02】  利用频率估计概率 定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 适用条件 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 方法 进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．   【清单03】 概率的应用 概率的应用 概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 【考点题型一】用公式直接求概率 【例1】2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【变式1 -1】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式1 -2】不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（） A． B． C． D． 【变式1 -3】不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据概率求数量 【例2】围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【变式2 -1】在一个不透明的盒子中共装有个球，其中有个红球，这些球除颜色外无其他差别．为估计的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据以上数据，估计的值约为 ． 【变式2 -2】为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表： 种子个数n 5 发芽种子个数m 4 发芽种子频率 （1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 （结果保留两位小数）； （2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有 个能发芽． 【考点题型三】几何概率 【例3】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A． B． C． D． 【变式3 -1】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 【变式3 -2】小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3 -3】如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】列表法或者树状图法求概率 【例4】某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． (1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； (2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【变式4 -1】不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀． (1)随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为___________； (2)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率． 【变式4 -2】某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加． 抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ． (2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率． 【变式4 -3】2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；． a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，85，85，87，89，90，91，95，95，95，96，100． b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，92，93，94． c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．    根据以上信息，解答下列问题： (1)写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数； (2)若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ； (3)为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，抽两名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率． 【变式4 -4】第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同． (1)从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为______； (2)从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）． 【变式4 -5】两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字． (1)掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少； (2)如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后挪到“0”和“1”记为，可表示某月的日；先后掷到“5”和“8”记为，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率． 0 1 2 6 7 8 0 1 2 3 4 5 【变式4 -6】二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上． (1)小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______； (2)若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【变式4 -7】小云将9张点数分别为的扑克牌以某种分配方式全部放入，两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为这一事件的概率记为． （1）若将点数为1和2的扑克牌放入袋，其余扑克牌放入袋，则 ； （2）对于所有可能的分配方式以及所有的，的最大值是 ． 【变式4 -8】不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； (2)从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 【考点题型五】游戏的公平性 【例5】如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【变式5 -1】小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜． (1)请用画树状图或列表法的方法表示游戏所有可能出现的结果； (2)请用概率说明这个游戏规则对双方是否公平． 【变式5 -2】在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜． (1)请用列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 【考点题型六】用频率估计概率 【例6】下列说法中，正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【变式6 -1】做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数n 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数m 38 96 260 620 1236 1857 2472 3090 “正面向上”的频率 0.380 0.480 0.520 0.620 0.618 0.619 0.618 0.618 下面有3个推断： ①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次． 其中合理的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．② 【变式6 -2】林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（    ） A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C．移植的幼树越多，成活率越高 D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 【变式6 -3】某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如下： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 364 651 1330 3174 6324 8073 12620 成活的频率 0.910 0.868 0.887 0.907 0.903 0.897 0.901 下列说法正确的是（    ） A．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901； B．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90； C．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660； D．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90． 【变式6 -4】袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 【变式6 -5】某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，试验结果统计如表： 移植总数（） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8100 12628 成活频率（） 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.900 0.902 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 ．（结果精确到） 【变式6 -6】某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下： 种子个数 100 200 300 400 500 800 1100 1400 1700 2000 发芽种子个数 94 187 282 337 436 718 994 1254 1531 1797 发芽种子频率 0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899 根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有 ． 【变式6 -7】为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 完好柑橘质量m/kg 92.40 138.45 183.80 229.50 276.30 322.70 367.20 414.45 459.50 柑橘完好的频率 0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919 ①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ． 【变式6 -8】苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（） 成活数（） 成活率（） 移植棵数（） 成活数（） 成活率（） 50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915 400 369 0.923 7000 6335 750 662 0.883 14000 12628 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率是________ (2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是________ (3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________； (4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率的求法与应用（3个考点梳理+6个题型解读+提升训练）   【清单01】   概率的计算 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． 2.画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．   【清单02】  利用频率估计概率 定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 适用条件 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 方法 进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．   【清单03】 概率的应用 概率的应用 概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 【考点题型一】用公式直接求概率 【例1】2023航空航天大兴论坛于11月15日至17日在北京大兴国际机场临空经济区举办，共设如长置了“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛．若某位航天科研工作者随机选择一个专题论坛参与活动，则他选中“电动航空”的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式计算即可． 【详解】从“数字民航”“电动航空”“商业航天”“通航维修”四场专题论坛随机选择一个专题论坛有4种情况，选中“电动航空”的只有一种情况， 选中“电动航空”的概率是． 故选：C． 【变式1 -1】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， 从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为， 故选：B． 【变式1 -2】不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为， 故选：A． 【变式1 -3】不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分享】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同， ∴从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 【考点题型二】根据概率求数量 【例2】围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【答案】 【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比． 【变式2 -1】在一个不透明的盒子中共装有个球，其中有个红球，这些球除颜色外无其他差别．为估计的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据以上数据，估计的值约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，根据利用频率估计概率，由于摸到红球的频率稳定在左右，由此可估计摸到红球的概率为，进而可估计口袋中红球的个数，从而得到红球的个数． 【详解】解：根据表格，摸到红球的频率稳定在左右，所以摸一次，摸到红球的概率为，则可估计口袋中红球的个数约为(个)， 故答案为：． 【变式2 -2】为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表： 种子个数n 5 发芽种子个数m 4 发芽种子频率 （1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 （结果保留两位小数）； （2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有 个能发芽． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量是解题的关键． （1）根据当足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于概率，作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为， 故答案为：； （2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦个，则约有个能发芽， 故答案为：． 【考点题型三】几何概率 【例3】一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在白砖上的概率是． 故选：B． 【变式3 -1】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个． 【答案】4 【分析】由于转盘被分成12个大小相同的扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数乘以相应概率即为红色区域的份数． 【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为， 只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份， 故只需使红色占到等份． 故涂上红色的小扇形有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式3 -2】小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用拼接法得出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案． 【详解】解：∵经过拼接阴影部分的面积＝4个小正方形的面积， 网格纸板的总面积＝9个小正方形的面积， ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了概率的求法，解题的关键是求出阴影部分的面积． 【变式3 -3】如图是一个可以转动的转盘．盘面上有6个全等的扇形区域，其中1个是红色，2个是黄色，3个是白色．用力转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个事件的发生有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 利用概率公式直接计算即可得到答案． 【详解】解：因为指针可以指向6个区域的任何一个，所以有6个等可能的结果，而指向黄色区域的结果数有2种， 所以当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是： 故选B 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握利用概率公式进行计算是解题的关键． 【考点题型四】列表法或者树状图法求概率 【例4】某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． (1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； (2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果共6种：，，，，， (2)小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是 【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果． （1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，． （2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等， ∴． 【变式4 -1】不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀． (1)随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为___________； (2)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率． 【答案】(1) (2)一个是“大”，一个是“兴”的概率为 【分析】（1）根据题意可直接得到解答； （2）根据题意列出所有情况即可求解． 【详解】（1）从袋子随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为， 故答案为：； （2）从袋子随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，如下， “大”和“大”、 “大”和“兴”、 “大”和“创”、 “大”和“城”； “兴”和“大”、 “兴”和“兴”、 “兴”和“创”、 “兴”和“城”； “创”和“大”、 “创”和“兴”、 “创”和“创”、 “创”和“城”； “城”和“大”、 “城”和“兴”、 “城”和“创”、 “城”和“城”， 由上可得共有16种情况，而一个是“大”，一个是“兴”的情况有2种情况， ∴． 【点睛】本题考查了列举法求概率，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式4 -2】某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动．班主任张老师决定从4名女生（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加． 抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ． (2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率． 【答案】(1)不可能；随机； (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件； 树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比. （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案； （2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可. 【详解】（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 故答案为：不可能；随机； （2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为, 列表如下: A B C D A —— (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) —— (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) —— (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) —— 由表可知，共有种等可能结果，其中小惠被抽中的有种结果， 所以小惠被抽中的概率为 【变式4 -3】2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举行．中国队以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首．为弘扬体育运动精神（测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；． a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，85，85，87，89，90，91，95，95，95，96，100． b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，92，93，94． c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如图．    根据以上信息，解答下列问题： (1)写出表中m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数； (2)若该校九年级共400人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数是 ； (3)为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，抽两名担任主持人．若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率． 【答案】(1)；九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数为4人 (2)240人 (3)甲、乙两人同时被选上的概率为 【分析】（1）根据众数中位数的定义可得，的值．用20分别减去，，组的成绩，可得九年级抽取的学生竞赛成绩在组的人数． （2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中组和组的百分比之和，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时被选上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）由八年级20名学生的成绩可知，众数为95， ． 九年级，两组的人数共有（人， 将九年级20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为90，91， ． 九年级抽取的学生竞赛成绩在组的人数为（人． （2）（人， 估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数大约为240人． 故答案为：240人． （3）设组的另外两名同学为丙，丁， 画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选上的结果有2种， 甲、乙两人同时被选上的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解题的关键是理解题意，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体． 【变式4 -4】第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，此届亚运会的吉祥物是由如图所示的三个可爱的机器人“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”组成的．现有三张分别印有三个吉祥物的不透明卡片，三张卡片除正面图案不同外，其余均相同． (1)从这三张卡片中随机抽取一张，图案恰好是“宸宸”的概率为______； (2)从这三张卡片中随机抽取一张，记住卡片图案后将卡片放回，背面朝上洗匀，然后再从三张卡片中随机抽取一张．用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片图案相同的概率（印有“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片依次记为A，B，C）． 【答案】(1) (2)树状图见解析，两次抽到的卡片图案相同的概率为． 【分析】本题考查简单概率的计算，用树状图求概率，解题的关键是掌握树状图法求概率． （1）根据概率公式即可解题． （2）根据题意画出树状图得出所有的情况数，找出两次抽到的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公式即可解题． 【详解】（1）解：由题知，（从这三张卡片中随机抽取一张抽到宸宸）， 故答案为：． （2）解：用画树状图的方法，将两次抽到的卡片绘制如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片图案相同的有3种， 两次抽到的卡片图案相同的概率为． 【变式4 -5】两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字． (1)掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少； (2)如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后挪到“0”和“1”记为，可表示某月的日；先后掷到“5”和“8”记为，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，正确的列表格是解题的关键． （1）由题意知，掷一次正方体M时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果，然后求概率即可； （2）根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，掷一次正方体M时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果， ∵， ∴掷一次正方体M时，出现奇数的概率是； （2）解：由题意列表如下： 0 1 2 6 7 8 0 1 2 3 4 5 由表可知，共有种等可能的结果，其中得到的两个数字能组成一月的一个日期有种等可能的结果， ∴得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率为． 【变式4 -6】二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上． (1)小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______； (2)若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：小文从4张邮票中随机抽取一张邮票是“大暑”的概率是：， 故答案为：； （2）解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽到A和B（“立春”和“立夏”）的情况有2种，， 故小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率为． 【变式4 -7】小云将9张点数分别为的扑克牌以某种分配方式全部放入，两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为这一事件的概率记为． （1）若将点数为1和2的扑克牌放入袋，其余扑克牌放入袋，则 ； （2）对于所有可能的分配方式以及所有的，的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键. （1）用列表法表示将点数为和的扑克牌放入袋，其余扑克牌放入袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可. 【详解】（1）用列表法表示将点数为和的扑克牌放入袋，其余扑克牌放入袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为的所有等可能出现的结果如下： 3 4 5 6 7 8 9 1 4 5 6 7 8 9 10 2 5 6 7 8 9 10 11 共有种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为的有种， 所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即， 故答案为： ； （2）当的值最大时，袋中、袋中各含有个数、个数，此时共有种等可能出现的结果,两张扑克牌的点数之和为出现的次数最多为次, 因此的最大值为， 故答案为：． 【变式4 -8】不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． (1)从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________； (2)从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【详解】（1）一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性， 故摸出的球是黄球的概率为， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种． 故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是． 【考点题型五】游戏的公平性 【例5】如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 【变式5 -1】小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加，若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜． (1)请用画树状图或列表法的方法表示游戏所有可能出现的结果； (2)请用概率说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1)见解析 (2)公平 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）根据题意画出对应的树状图或列出对应的表格即可； （2）由树状图可知共有12种等可能的结果数，其中是偶数的结果数是6种，是奇数的结果数是6种，则可计算出小红获胜的概率是，小丁获胜的概率是，据此可得结论． 【详解】（1）解：画树状图及游戏所有可能出现的结果如下： （2）解；由树状图可知共有12种等可能的结果数，其中是偶数的结果数是6种，是奇数的结果数是6种， ∴小红获胜的概率是：，小丁获胜的概率是：， ∴这个游戏规则对双方公平． 【变式5 -2】在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜． (1)请用列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平，理由如下． 【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于时的情况及大于或等于的情况，根据即可得到答案； （2）比较小东、小明的概率即可得到公平性． 【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下： 根据表可知：总共有种情况，小于的有6种，大于或等于的有6种， ∴ ； （2）解：这个游戏公平，理由如下， 由（1）得， ， ∴ ∴这个游戏公平． 【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于的情况． 【考点题型六】用频率估计概率 【例6】下列说法中，正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D． 【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确； 事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确； 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确； 图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键． 【变式6 -1】做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数n 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数m 38 96 260 620 1236 1857 2472 3090 “正面向上”的频率 0.380 0.480 0.520 0.620 0.618 0.619 0.618 0.618 下面有3个推断： ①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次． 其中合理的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握其定义“大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率”； 根据频率估计概率的知识点逐一判断即可． 【详解】解：①当投掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.620，但 “正面向上”的概率不一定是0.620，此推断错误； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618，此推断正确； ③当抛掷次数为10000时，估计出现“正面向上”的次数约为6180次，此推断正确． 故选：C． 【变式6 -2】林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 结果保留小数点后三位 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（    ） A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵 B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 C．移植的幼树越多，成活率越高 D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900 【答案】D 【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． 【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴所以这种幼树移植成活率的概率约为， 故选D． 【变式6 -3】某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如下： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 364 651 1330 3174 6324 8073 12620 成活的频率 0.910 0.868 0.887 0.907 0.903 0.897 0.901 下列说法正确的是（    ） A．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901； B．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90； C．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660； D．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据题意观察表中数据可知，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，于是可以估计幼树成活的概率为0.90，即可选出本题答案． 【详解】解：根据表中数据可知，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右， ∴估计幼树成活的概率为0.90， ∴A，B选项排除， ∴移植总数3000时成活数为：， ∴C选项排除， 故选：D． 【变式6 -4】袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 【答案】 140 【分析】根据频率的定义和计算公式，即可求出摸出白色围棋子的频率，再根据频率与概率的关系，得出摸出白色围棋子的概率，即可求解． 【详解】解：摸出白色围棋子的频率． ∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率摸出白色围棋子的概率， ∴袋中围棋子总量（枚）， ∴黑色围棋子的数量（枚）． 故答案为：，140． 【点睛】本题主要考查了频率的计算，以及用频率估计概率，解题的关键是掌握：经过大量重复实验，事件发生的频率在一个常数附近摆动，这个常数接近事件发生的概率． 【变式6 -5】某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，试验结果统计如表： 移植总数（） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（） 47 235 369 662 1335 3203 6335 8100 12628 成活频率（） 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.900 0.902 由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键． 根据表格频率接近，即可求解； 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴这种幼树移植成活率的概率约为， 故答案为：． 【变式6 -6】某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下： 种子个数 100 200 300 400 500 800 1100 1400 1700 2000 发芽种子个数 94 187 282 337 436 718 994 1254 1531 1797 发芽种子频率 0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899 根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有 ． 【答案】900 【分析】大量重复试验下种子能发芽的频率可以估计种子能发芽的概率，据此求解． 【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近， 故种子能发芽的概率估计值为0.9． ∴估计该种作物种子能发芽的有， 故答案为：900(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 【变式6 -7】为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 完好柑橘质量m/kg 92.40 138.45 183.80 229.50 276.30 322.70 367.20 414.45 459.50 柑橘完好的频率 0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919 ①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为 ． 【答案】 0.920 【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可； （2）根据完好的概率进行列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920， 故答案为：0.920； （2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得， m×0.920×x＝m×0.880， 解得，x＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式的简单计算，理解概率的相关定义是解题的关键． 【变式6 -8】苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（） 成活数（） 成活率（） 移植棵数（） 成活数（） 成活率（） 50 47 0.940 1500 1335 0.890 270 235 0.870 3500 3203 0.915 400 369 0.923 7000 6335 750 662 0.883 14000 12628 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率是________ (2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是________ (3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________； (4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由． 【答案】(1)6335；0.905； (2)0.900； (3)9000棵； (4)此结论不正确，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据求解即可； （2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900； （3）利用成活数=总数×成活概率即可得到答案； （4）根据概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335， ∴成活率， 故答案为：6335；0.905； （2）解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴可以估计树苗成活的概率是0.900， 故答案为：0.900； （3）解：由题意得：若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活课树苗， 故答案为：9000棵； （4）解：若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论不正确，理由如下： ∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生， ∴若小王移植20000棵这种树苗，不一定能成活18000棵，只能说是可能成活18000棵． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$