河南省2024-2025学年高三上学期TOP二十名校调研考试四数学试题

2025 届高三年级 TOP 二十名校调研考试四 数 学 全卷满分150分，考试时间120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 12若,则p为 2.已知集合,则= A.{0,-1,-2} B.{1,0} C.{-1,-2} D.[0,3] 3.已知向量m=(x,1),n=(-2,4+x),若m⊥n,则x= 或 B.-4 C.2 D.4 4.若函数 在区间(0，1)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.[0,+∞) B.(0,1) C.(-∞,0] D.(-∞,0) 5.已知 则 A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a D. b<a<c 6.已知函数 f(x)是定义在[-a,a]上的图象连续不间断的奇函数,且,若,则 的值域是 A.[m,M] B.[-M,M] C.[m,-m] D.[-M,-m] 7.如图是函数的部分图象，记的导函数为；则下列选项中值最小的是 A. B. C. D. 8.过抛物线Γ: 的焦点 F 作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与Γ相交于B₁,B₂,另外一条与Γ相交于C₁,C₂,设B₀,C₀分别是线段 B₁B₂,C₁C₂的中点,则△FB₀C。的面积的最小值为 A.2 B.3 C.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知 其中i为虚数单位,若a,b∈R, z₁-a为纯虚数, 为实数，则 B. z₂ 的虚部为 C. a=1 D. b= -1 10.函数 的部分图象如图所示，直线 与图象的其中两个交点的横坐标分别为0，π，则 A. ω=2 的图象关于y轴对称 D. 在 上的最小值为 11.已知是坐标平面上的两个动点,t为正常数,设满足 的点M 的轨迹为曲线C₁，满足 的点 N 的轨迹为曲线 则 A. C₁关于x轴、y轴均对称 B.当点 M不在x轴上时， C.当t=5时，点M的纵坐标的最大值大于1 D.当C₁,C₂有公共点时,. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。、 12.已知 Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则 13.在平面直角坐标系xOy中,若点 且 则 的取值范围是 . 14.从球O外一点P 作球O表面的三条不同的切线，切点分别为A,B,C, 若PA=2，则球O的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求B; (2)若, D为AC边的中点,求BD的长. 16.(本小题满分15分) 已知函数 其中. (1)当b=1时,求的图象在x=1处的切线方程； (2)当a=1时，若函数在区间(0，1)上存在极值，求b的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在平面图形AEBCD(如图1)中,已知AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AE=2CD=2,BE=AD= 将△ABE沿着AB折起到△ABP 的位置,使得CP=2,连接DP,得到四棱锥 如 图2所示. (1)求证:; (2)求平面ADP 与平面CDP 夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 已知双曲线Γ 的一条渐近线的斜率为 ，直线l的方程为 (1)若与Γ的左、右两支分别相交，求k的取值范围； (2)当λ=1，2时，对应的曲线分别为 设直线与 的左、右两支依次相交于点A，B，直线与的左、右两支依次相交于点 C，D，O为坐标原点，证明： 的面积与△OAD的面积相等. 19.(本小题满分17分) 在数列中，设Sk是数列 的前k项和，并规定 定义集合, An中元素的个数为 (1)在数列 中；若 求 (2)若∃C,满足. ①证明：集合 An非空； ②证明：当 时， 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三年级T0P二十名校调研考试四·数学 参考答案、提示及评分细则 1,B由命题否定的法则，得p为3x≤0，e>1.故选B. 2.A由题意得P∩Q={0,-1,-2}.故选A 3.D因为m⊥n,所以m·n=0,所以-一2x+(4十x)=0,所以x=4.故选D. 4.C因为∫(x)=ln(x一a.x)在区间(0,1)上单调递增，所以函数t=x2一a.x在(0,1)上单调递增，且Vx∈ (0,1),.x2一a.x>0,所以a≤0.故选C. 5.D1og8>1,log6=号，1=log5>log3>log5=号，所以a<c,故选D 6.B由f(x)是[一a,a]上的图象连续不间断的奇函数，得f(0)=0,又y|y=f(x),x∈[0，a]} [m,M门，所以M>0,m≤0，由奇函数的对称性，得当x∈[一a,0]时，f(x)m=一M,f(x)mx=一1，因为 M一m,所以-M≤m,故f(x)在[一a,a]上的值域是C一M,M们.故选B. 7.C由图知f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,cf(c)<0,所以排除A.B:设 3 「(x)的图象在x=c处的点为A,显然OA的斜率kn小于在A处的切线斜 率了e).则。9<fe),且>0，可转化为fe)<cfe).所以 f(c)的值最小.故选C 8C设直线BB的斜率为(k0),则CC的斜率为一方，直线BB的方 |y=k.x+1, 程为y=kx十1，由 x2=4y 消去y并整理，得2一4kx一4=0.设B(,), 我()，则十=，所以B(2,2张+1D.同理C(一会，是+1） 所以1FPR=FF·2-o1=21VF,C1=房V+-2平.因为FBLC所 以△FBC的面积S-FB·C=名21k1V+k.2E-22=2(日+1)≥4， k2 当且仅当k=士1时，等号成立，故△FB,C的面积的最小值为4.故选C. 9.ACD因为1=i0一i=1一i,所以=1十i,故A正确：因为2i=(1-i)2十3-i,所以(-1十2i)x=3一 3-i i,所以=一干2一1一i,所以之的虚部为一1，故B错误：因为一a为纯虚数，即1一a)一i为纯虚数， 所以a=1,故C正确：因为。一所为实数，即一1+（一1一b)i为实数，所以b=一1，故D正确.故选ACD, 10.ABD由题意得fx)的周期为”一0=x,所以a=2红=2，故A正确：因为f(0)=2,所以g=±号，因为 f(0)>0.所以9=-5，故B正确：f(x)=cos(2x-吾)，所以/(x+)=co[2(x+)-号] os(2r+受)=一sn2,所以(+登)的图象关于y轴不对称，故C错误：由x∈[，]，得2x-哥 ∈[2x,号]，因为y=c0sx在[2x,]上单调通减，所以fx)在[吾，竖]上单调递减，所以fx)的 最小值为f(竖)=s=-号，放D正确故选ABD 11.ACD设Mx,y),由|MF|·|MF2|=t,得√/(x+2)+y·√/(x-2)2+y=1(t>0),将(-x,y)代入 【高三年级调研考试四·数学参考答案第1页（共4页）】 25-X-305C 得√(-x+2)+了·√-x-2)+y=√(x-2)+y·√(x+2)+y=,将(x,-y)代人得 √(x+2)2+(-y)·√/(x-2)+(-y)=√(x+2)+y·(x-2)+y=,所以G关于x轴y 轴均对称，故A正确：当M不在x轴上时，M与F1,F2不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，所以 ||MF1|-|MF2||<|F,F2|=4,故B错误：当=5时，√(x+2)+y·(x-2)2+y=5,当x=-2 时，y·√16+y=5,所以y(16+y)=25,y十16y一25=0，则y2=√89-8，此时y-1=√89-9>0， 即y>1,故当x=一2时，存在y值大于1，所以y的最大值大于1，故C正确：由|NF|+|NF|=6,得 C为椭圆，易求其方程为号+苦-1，所以y=5(1-号).代人V+2)+了·一2)+了=1> 0,得1=V√x+22+5(1-号)Vx-2)+5(1-号)=号2x+9·V2x-9=4,81> 0,所以号-共，因为0≤号<1，所以0<9<1或0<9生<1.所以5<1<9或-9<1<-5（舍），所以 5≤1≤9，故D正确.故选ACD. 12.16因为{a.}为等差数列，所以S.=an2十bm,因为S=9,S=9S2,所以9a+3b=9,36a+6b= 9(4a十2b),解得a=1,b=0,所以S,=16a+4b=16. 1a[2-2.2+]设M.因为端=所以多=名化简，得2+y-4,即M的 √(.x-4)+y 轨迹是圆x2+y=4,因为C点在圆x2+y2=4的内部，所以2-OC≤|MC≤2+|OC|,所以2一√2≤ |MC|≤2+√2. 14,16x由圆的切线长定理得，PB=PC=PA=2,因为∠APB=吾，∠BPC=受，∠CPA=受，所以AB=BC =2,CA=2√2，所以△ABC为直角三角形，外心D为CA的中点，进一步得，PD⊥平面ABC,所以O必在 PD的延长线上，由A为切点，得OA⊥PA,所以由射影定理得DA2=PD·OD,又DA=PD=√2，所以OD =√2，所以OA=2,所以球O的表面积为16元 15.解：(1)因为acos B-bcos A=a-c, 由正弦定理，得sin Acos B-cos Asin B=sinA-sinC=sinA-(sin Acos B十cos Asin B),·3分 化简，得2 sin Acos B=sinA,… …5分 因为A∈(0x),所以sinA>0,所以osB=号， 因为BE(0,x),所以B=受 …7分 (2)因为D为AC的中点，所以2BD=Bi+BC, …9分 两边平方，得4Bd=2+d2+2ac·cos号， …11分 因为a=16=3,所以4励=13，解得D=,即BD的长为 …13分 16.解：1)当b=1时，f(x)=+a-ln,定义域为(0，十)， …1分 所以/(x)=T4,f1)=1十a,(1)=-a,…4分 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(1十a)=一a(x一1)， 即a.江十y—2公1=0.…6分 (2)当a=1时，f(x)=十1-lm,定义域为(0，十0o),…7分 所以了(x)=工-b-1, …8分 因为f(x)在区间(0,1)上存在极值， 【高三年级调研考试四·数学参考答案第2页（共4页）】 25-X-305C 所以f(x)在(0,1)上必存在变号零点， 令g(x)=x2一hx一1，则g(x)在(0,1)上必存在变号零点， …9分 因为g(0)=-1<0, 所以g(1)>0,……10分 解得b0。…11分 当b0时，g(1)>0,且g(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)<0,故存在x∈(0,1)，使得g(x)=0, …12分 所以当x∈(0，xo)时，g(x)<0,即f(x)<0,当x∈(x,1)时，g(x)>0,即f(x)>0,所以f(x)在(0，)上 单调递减，在(0,1）上单调递增，…………14分 故x6为f(x)的极小值点，符合题意，故b的取值范围为（一∞，0）.…15分 17.(1)证明：取AB的中点为F,连接C℉，PF.…1分 因为AB=2AP=2,BP=3,所以AB=AP十BP,所以AP⊥BP,…3分 因为F为AB的中点，所以PF=1, 因为AB=2,所以AF=1,所以AF=CD, 因为AB∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形， 所以CF=AD=√3，CF∥AD.…5分 因为CP=2,所以CP=FP+CF,所以CF⊥PF, 所以AD⊥PF,又AD⊥AB,且AB∩PF=F,AB,PFC平面ABP, 所以AD⊥平面ABP, 因为BPC平面ABP,所以AD⊥BP, 因为BP⊥AP,AD∩AP=A,AD,APC平面ADP,所以BP⊥平面ADP, 又DPC平面ADP,所以BP⊥DP.…7分 (2)解：由(1)知AD⊥平面ABP,又ADC平面ABCD,所以平面ABP ⊥平面ABCD,在平面ABP内过A作I⊥AB,易证I⊥平面ABCD, 又AB,ADC平面ABCD,所以I⊥AB,⊥AD, 以A为坐标原点，直线AD,AB,1分别为x轴，y轴，轴建立如图所 示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(3,1,0), D50.0).P0,2号)所以市=(0，，号.市 (5.0,0).D元=(0.1,0).P心=(3,2，- 9分 m·Ap=0, 设平面ADP的一个法向量n1=(x,y,x),则 即 2=0, m1.市=0. 5x=0, 令=1，解得x=0,y=一3，所以n1=(0,-3,1), 11分 m·Dd=0, b=0. 设平面CDP的一个法向量n2=(a,b,c),则 即 n2.p元-0， 5a+ 2c=0, 令a=1,解得b=0,c=2,所以n2=(1,0,2),…13分 2-⑤ 设平面ADP与平面CDP的夹角为0，则cos0=Tn·1T2X5-5 故平面ADP与平面CDP夹角的余弦值为 …15分 18.(1)解：因为双曲线r的一条渐近线的斜率为2，所以2=2，所以=√2a,…1分 【高三年级调研考试四·数学参考答案第3页（共4页）】 25-X-305C (y=kx+1, 联立 22 消去y并整理，得(2一k2)x2一2kx一1一2a1=0(*),…4分 2-k2≠0， 因为与下的左、右两支分别相交，所以3 △=4k2-4(2-k2)(-1-2a2)>0, …6分 -1-2a2x<0. 2-k9 因为>0，k>0,所以2-k2>0,所以0<k<2, 即k的取值范围为(0,2).。 8分 (2)证明：设A(xy),B(x),C(x为)，D(x4y4), 2k 当入=1时，由(*)及韦达定理，得十一2二： 9分 2k 当入=2时，由(*)及韦达定理，得0十西=2： 所以AB与CD中点的横坐标都为，：…11分 因为A,B,C,D在同一直线l上，所以AB与CD的中点重合，…13分 设该中点为E,所以|EB=|EA,EC=|ED, 所以|EB|十|EC=|EA十|ED,所以|BC=|AD|,… 15分 所以△OBC的面积与△OAD的面积相等.…17分 19.(1)解：因为S=0,S1=-1,S2=-2,Sa=2,S=0,S=2,S6=1,S=3,S8=4. 所以Ag={3,7,8},所以Card(Ag)=3.…2分 (2)证明：①由已知得Sm>C>S=0, 若对1,2，…，n一1中的任意正整数k,满足S4≤S=0,则Sw>S≥S4(k=1,2,…,n-1), 即Sn>S%(k=1,2,…,n-1),所以A。={n}:…4分 若在1,2，…，n一1中存在k.使得S为S,S2,…,S-1中从左到右出现的第一个正数， 则S>S(i=0,1,2,…,k-1),所以k∈A. 综上所述，集合Aw非空。…7分 ②由集合Am非空，设An={k1,k2,…,km}(不妨设k1,k2,…,km从小到大排列)， 显然card(An)=m. 由集合A,的定义知S+1>S,且+1是使得S>S成立的最小的k, 即S%是S,S,…,S…,S1一1中最大的，所以S+11≤S%， …9分 因为Hk∈{1,2，…ma<1,所以a+1<1,所以S+1-1十a+<S十1， 因为S1=S11十a+1所以S+1<S,十l, 即S+1-S%<1(i=1,2,…,m-1), 12分 由k的定义得S≤0，Se≤0，…，S,-1≤0，S1>0,… 14分 因为a,<1,所以S,1十a,<0+1=S+1, 因为S,=S,-1十a,所以S,<S+1,即S,-S<1, 因为Sn是S,S,S2,,Sn中最大的，所以S≤S,即S-Sn≤0， 所以S,=(S-Sm)+(Sm-S1)+…+(S2-S)+(S1-5)<S,-Sn十l+1…+l m个】 <1+1+1十+1+1=m, 个 因为Sn>C,所以m>C, 因为m,C∈N”,所以m≥C+1, 所以C阳rd(A)≥C汁1.…17分 【高三年级调研考试四·数学参考答案第4页（共4页）】 25-X-305C