浙江省九年级数学上学期期末模拟01-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学上年级上册全册，下册1-2章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可知：， ∴； 故选B． 2．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 3．下列事件是必然事件的是（   ） A．三角形的内角和是 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上 D．打开电视，正在播放《新闻联播》 【答案】A 【分析】本题考查事件分类，熟练掌握一定会发生的事件是必然事件、一定不发生的事件叫不可能事件、可能发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、三角形的内角和是是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，是直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得出，利用平角的定义求出，根据等腰三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由图知，，， ， ， 即，解得， ， 的值为， 故选：B． 6．如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是正确作出辅助线．连接，过点A作于点M，求出的长即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选A． 7．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意，得：， ∴， 当时：则，即， 解得：； 当时：则，即， 解得：； 综上：或； 故选B． 8．如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 9．如图，函数经过点，对称轴为直线： ； ； ； ；若点、在抛物线上，则； （为任意实数），其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象与轴有两个交点，即可判断； 根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； 根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，即可判断； 根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，推出，再代入，即可判断； 根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 对称轴为，，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， 错误； 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ，有最小值， 为任意实数， 为任意实数， 正确； 综上所述，正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． 10．如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，列出关于m的方程和不等式，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 12．已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 13．有六张正面分别标有数字，，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程有解且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点是概率公式和根的判别式．根据题意可以求得a的取值范围，找出符合a的数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∵关于x的一元二次方程有解， ∴， 解得，， ∴数字a，b使得关于x的方程有解的有0，1，2，3， ∵反比例函数图象过第一、三象限， ∴， ∴， ∴使反比例函数图象过第一、三象限的数有，，0，1，2， ∴数字a，b使得关于x的方程有解且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为， 故答案为：． 14．国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是 元． 【答案】450 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．设小云每天获得的利润是w元，结合总利润等于每个气球的利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设小云每天获得的利润是w元， 由题意得，， ∵， ∴当时，w最大为元， 故答案为：450． 15．如图，是的内接三角形，的直径为5，，，过点A作，垂足为D．则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中，同弧上的圆周角相等，勾股定理和三角函数，正确选择三角函数是解题的关键． 【详解】如图，作的直径，连接，    则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，中，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，与交于点，连接，分别与边交于点E，与交于点O．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据折叠得到垂直平分，得到，进而得到为的中位线，得到，证明，得到，证明，求出的值，以及的值，根据，以及三角形的中线平分面积求出与的关系，进而求出的值即可． 【详解】解：∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵点D为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，三角形的中线等知识点，解题的关键是得到为的中位线，利用相似三角形进行求解． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）计算： (1) ． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算： （1）将特殊角三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可； （2）先化简绝对值，代入特殊角三角函数值，计算零次幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题满分8分）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，将标有数字1的小球改成4，同理即可得到一个公平的游戏． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）解：这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平； 将标有数字1的小球改成4， 列表如下： 1 2 3 4 4 0 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为非负数的情况有6种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则就公平了． 19．（本题满分8分）如图，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 20．（本题满分8分）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米； (2)飞机距离地面的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， 米； （2）解：，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 21．（本题满分8分）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 22．（本题满分10分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据可证：，根据角平分线定义可证：，等量代换可得：，根据内错角相等两直线平行可得：，根据可得，又因为是的半径，所以可证为的切线； 过作，则，可证四边形为矩形，设，在△中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，且为半径， 为的切线； （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，． 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 23．（本题满分10分）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 【答案】(1)，(答案不唯一)； (2)见解析 (3)b的值或． 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）将代入得，对称轴为直线，以对称轴的位置分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，即， ∴取，则(答案不唯一)； （2）解：将，代入得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，，此时，，不合题意，舍去； ∴； （3）解：将代入得，对称轴为直线， 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得， ∴b的值； 当即时，如图， 当时，最小值为，即， 解得或(都不符合题意)， 综上：b的值或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法． 24．（本题满分12分）【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长． 【答案】（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或 【分析】（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长； （2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，且，， ， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点， ，，， ， ， ， 故答案为：4； （2）若点在右侧， 如图，过点作于点， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ， 若点在左侧， ，，，，． ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学上年级上册全册，下册1-2章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 3．下列事件是必然事件的是（   ） A．三角形的内角和是 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上 D．打开电视，正在播放《新闻联播》 4．如图，是直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 7．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（   ） A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s 8．如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，函数经过点，对称轴为直线： ； ； ； ；若点、在抛物线上，则； （为任意实数），其中结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 12．已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为 ． 13．有六张正面分别标有数字，，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程有解且使反比例函数图象过第一、三象限的概率为 ． 14．国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是 元． 15．如图，是的内接三角形，的直径为5，，，过点A作，垂足为D．则的长为 ．    16．如图，中，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得，与交于点，连接，分别与边交于点E，与交于点O．若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）计算： (1) ． (2)． 18．（本题满分8分）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 19．（本题满分8分）如图，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 20．（本题满分8分）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 21．（本题满分8分）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 22．（本题满分10分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 23．（本题满分10分）已知二次函数（b，c是常数）． (1)写出一组b，c的值，使函数的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； (2)若，，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证：； (3)当时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求b的值． 24．（本题满分12分）【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$