压轴专题14 数列求和及综合问题（6类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题14 数列求和及综合问题 目录 1 2 一．分组转化法 2 二．裂项相消法 3 三．错位相减法 5 四．分段数列的通项与求和 6 五．数列中的奇偶项问题 7 六．数列中的放缩问题 9 11 1． 分组转化法 【例1】（2024·河北唐山一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求满足的最大整数n． 【方法总结】1．分组转化法求和的常见类型 2．分类讨论思想在数列求和中的应用 (1)当数列通项中含有(－1)n时，在求和时要注意分n为奇数与偶数讨论． (2)当已知an与an＋2的关系式求{an}的前n项和时，通常要分奇数项和偶数项分别求和． 【提醒】当数列通项中含有(－1)n时，也可以采用并项求和的方法． 对点训练 （2024·陕西·一模）记数列的前n项和为，已知，且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是以1为首项，3为公差的等差数列，的前n项和为，求. 2． 裂项相消法 【例2】（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)，证明，. 【方法总结】裂项相消法求和的步骤 对点训练 （2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 3． 错位相减法 【例3】（2024全国甲卷数学（理）T18）记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【方法总结】1.错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和．但要注意相减后得到部分等比数列，求和时一定要弄清其项数．另外还要注意首项与末项 2.错位相减法求和的步骤 对点训练 （2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列. (1)求的通项公式； 四．分段数列的通项与求和 【例4】（全国乙卷数学（文））记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【方法总结】其特征为：数列包含正项和负项两类数列。 求解这类问题的通性通法是先明确正项（负项）数列的项数的起始位置、依据项数分段讨论前n项和，进行求解。 对点训练 （2024·海南海口模拟）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 五．数列中的奇偶项问题 【例5】【全国新高考Ⅱ2023·18】已知为等差数列，①，记，分别为数列，的前n项和，，②． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【方法总结】数列奇偶项的问题主要从奇偶项角度分析通项和求和，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，主要考查综合知识能力与探究问题能力，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用. 对点训练 （2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 六．数列中的放缩问题 【例6】(2024·江苏扬州一模）)已知数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋2n(n∈N*). (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn， (2)设bn＝log3(an＋1＋1)，证明： 【方法总结】1. 不等式证明中的数列求和不能直接求和的，就先放缩，再求和，再放缩证明不等式.这里的放缩技巧是把通项放缩成等差数列或等比数列通项. 2. 常见的放缩技巧如下 （1） （2） 【注意】从首项开始放缩，若放大（或放小）后的结果与要求证明的结果不一致，则可以调整成前几项不放缩，以此确保得到要求证明的结果. 【跟踪训练】 (2024·武汉质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：. 1．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 3．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. (1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”； (2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； (3)若数列满足：求数列的前项和. 4.（2024·山东菏泽二模）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 5．（24-25高三上·安徽·期中）已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 6．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求的值. 8．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 9．（24-25高三上·河南·期中）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 10．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且. (1)求数列的前项和； (2)在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 14．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)求证：数列. 15．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的前n项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)在数列中，，若的前n项和为，求证：. 16．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 18．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 19．（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 20．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题14 数列求和及综合问题 目录 1 2 一．分组转化法 2 二．裂项相消法 3 三．错位相减法 5 四．分段数列的通项与求和 6 五．数列中的奇偶项问题 7 六．数列中的放缩问题 9 11 1． 分组转化法 【例1】（2024·河北唐山一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求满足的最大整数n． 【解】（1）设的公比为，则， 因为，所以， 依题意可得，即， 整理得， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可知， 故 显然，随着的增大而增大， ， ， 所以满足的最大整数. 【方法总结】1．分组转化法求和的常见类型 2．分类讨论思想在数列求和中的应用 (1)当数列通项中含有(－1)n时，在求和时要注意分n为奇数与偶数讨论． (2)当已知an与an＋2的关系式求{an}的前n项和时，通常要分奇数项和偶数项分别求和． 【提醒】当数列通项中含有(－1)n时，也可以采用并项求和的方法． 对点训练 （2024·陕西·一模）记数列的前n项和为，已知，且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是以1为首项，3为公差的等差数列，的前n项和为，求. 【解】（1）由题意，则当时，， 两式相减可得，则， 且当时，，解得， 所以是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即； （2）因为，则， 则 . 2． 裂项相消法 【例2】（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)，证明，. 【解】（1）由，， 得，又， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）证明：因为 ， 所以 . 【方法总结】裂项相消法求和的步骤 对点训练 （2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 【解】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以， 解得或，当时，；当时， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则 ， 所以， 即. 3． 错位相减法 【例3】（2024全国甲卷数学（理）T18）记为数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 【方法总结】1.错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和．但要注意相减后得到部分等比数列，求和时一定要弄清其项数．另外还要注意首项与末项 2.错位相减法求和的步骤 对点训练 （2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1）设数列的公比为， 由是等比数列得， 或(舍去)， . （2）由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， . 四．分段数列的通项与求和 【例4】（2024全国乙卷数学（文））记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 . 综上所述：. 【方法总结】其特征为：数列包含正项和负项两类数列。 求解这类问题的通性通法是先明确正项（负项）数列的项数的起始位置、依据项数分段讨论前n项和，进行求解。 对点训练 （2024·海南海口模拟）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 五．数列中的奇偶项问题 【例5】【全国新高考Ⅱ2023·18】已知为等差数列，①，记，分别为数列，的前n项和，，②． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【思维点拨】（1）设公差→求→列方程求→求 （2）求和→为奇数求→为偶数求→做差→证明时不等式成立 【解析】（1）设等差数列的公差为． 由，得，，， 则由，，得，解得， 所以． （2）由（1）可得． 当为奇数时， ＝ ＝＝． 当时，， 【技法】作差法比较两个实数大小 所以． 当为偶数时， ＝ ＝ ＝ ＝． 当时，， 所以．综上可知，当时， 【方法总结】数列奇偶项的问题主要从奇偶项角度分析通项和求和，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等，主要考查综合知识能力与探究问题能力，特别注意分类讨论等思想在解题中的灵活运用. 对点训练 （2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解】（1）由题意可得：，即， 且，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）可得， 可得 ， 所以. 六．数列中的放缩问题 【例6】(2024·江苏扬州一模）)已知数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋2n(n∈N*). (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn， (2)设bn＝log3(an＋1＋1)，证明： 【思维点拨】（1）利用与的关系将n换为n-1→作差可得an＝3an－1＋2→确定{an＋1}的首项及公比 →公式求Sn （2）化简求→放缩→裂项求和→确定结论 【解】(1)∵3an＝2Sn＋2n，n∈N*， ∴当n＝1时，3a1＝2S1＋2，解得a1＝2； 当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋2(n－1)， 两式相减得an＝3an－1＋2， ∴an＋1＝3(an－1＋1)， 即，a1＋1＝3， ∴数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴an＋1＝3n，则an＝3n－1， ∴Sn＝3＋32＋…＋3n－n＝ (2) ∵， ∴＝1－<1. 【方法总结】1. 不等式证明中的数列求和不能直接求和的，就先放缩，再求和，再放缩证明不等式.这里的放缩技巧是把通项放缩成等差数列或等比数列通项. 2. 常见的放缩技巧如下 （1） （2） 【注意】从首项开始放缩，若放大（或放小）后的结果与要求证明的结果不一致，则可以调整成前几项不放缩，以此确保得到要求证明的结果. 【跟踪训练】 (2024·武汉质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：. 【解】(1)∵4Sn＝anan＋1，n∈N*， ∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4， 当n≥2时，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an. 由题意知an≠0， ∴an＋1－an－1＝4， ∴数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4， ∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)， a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k， ∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2. 综上可知，an＝2n，n∈N*. (2)证明　∵ ∴ 又∵. ∴ 即得 1．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 2．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 3．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. (1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”； (2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； (3)若数列满足：求数列的前项和. 【解】（1）证明：当时，； 当时，， 所以，即. 所以数列是“数列”. （2）设数列的公差为d,. 对，使； 取时，得，解得， ，又， 故，是小于2正整数. 此时对于任意的正整数，总存在正整数使，故. （3）， 当时，， ， ， . 当时，，满足上式. 综上，. 4.（2024·山东菏泽二模）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【解】（1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 5．（24-25高三上·安徽·期中）已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【解】（1）由条件，知，，，， 累加，得， 所以，又，所以，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 所以，即. 6．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）方法一：由（1）可得. 则，① 则，② ①-②，得 ， 从而. 方法二：由（1）可得，令，则 令，且， 则， 整理得， 则解得 故. . 7．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求的值. 【解】（1）因为， 所以当时， ， 即时，， 又时，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列 （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 . （3）因为，所以， 整理得到，解得， 所以n的值为. 8．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解】（1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以， 又，符合上式，所以； （2）， 则， ， 两式作差得， 即， 所以． 9．（24-25高三上·河南·期中）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【解】（1）因为是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即， 又，所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以，。 则， 上述两个等式作差可得 ， 故. 10．（2024·福建·三模）已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且. (1)求数列的前项和； (2)在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由. 【解】（1）当时，，则； 当时，； 当时，， 相减得，，整理得， 即， 累加可得，，即，故. 综上所述，. 由可知等比数列的公比不为1，则，解得， 故，解得，则. 由题意得，， 故， ， 故，故. （2）因为，所以， 当时，因为， 所以， 当时， . 综上所述，. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【解】（1）因为为函数的两个零点，且， 所以，又因为， 所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． （2）因为 所以 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 【解】（1）由，令，得，即， 又，得， ， 又，符合上式，则， 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， ． （2）由题意得，， 所以①， ②， ②①得 ， ， 不等式对一切正整数恒成立， 即不等式对一切正整数恒成立，， ，， ． 14．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)求证：数列. 【解】（1）由题意得，即， 整理得，因为，所以， ，即，解得， 故，的通项公式为； （2）假设存在正整数，，使得，，成等差数列， ，，， 由题意得，整理得到, 故或, 故（舍）或，, 综上，存在正整数，，使得，，成等差数列； （3）由等差数列求和公式得， 当时，， . 15．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的前n项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)在数列中，，若的前n项和为，求证：. 【解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 16．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【解】1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【解】（1）数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； （2）由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 18．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 【解】（1）设等差数列的公差为， 由，得解得 所以， ． （2）与集合相比，元素间隔大， 所以在集合中加入几个中的元素来考虑． （i）． （ii）考虑到，，． 易知为递增数列，则满足的最小正整数的值为23． 19．（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 【解】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 20．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【解】（1）解：因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得. （2）解：由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （3）解：设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$