压轴专题13 求数列通项核心技法（6类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题13 求数列通项核心技法 目录 1 2 一．由求通项 2 二．用累加法求通项 4 三．用累乘法求通项 6 四．用待定系数法求通项 8 五．倒数构造法求通项 8 六．相邻项的差为特殊数列 8 10 数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 1． 由求通项 【例1】（2024·湖北武汉三模）已知数列的前项和为，，且．则数列的通项 【思维导引】将中的n用n－1替换→作差得→求首项，求公比→等比数列的通项公式求解 【解析】当时，，∴， 当时，由①， 得②， 【敲黑板】用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式 ①－②得， ，∴， ∴，又， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴． 【例2】（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（    ） A． B． C． D． 【思维导引】将化为→构造等比数列→利用等比数列的通项公式求解 【详解】当时，，，得， 当时，，，， 【敲黑板】用替换 ，又， 【技法】观察的特点，待定系数法求解 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，，故选C 【例3】（2023·四川达州5月第三次诊断）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思维导引】作差法求通项→由数列为单调递增数列列出不等式→分离参数→构造函数求最大项→确定的取值范围 【解析】由可得， 【敲黑板】若条件中一侧是n项和的形式，可用用n－1替换写出新的等式，两者作差求解 两式相减可得，则， 当时，可得满足上式，故， 所以， 因数列为单调递增数列，即， 则 整理得， 【技巧】分离参数，转化为求的最大值 令，则， 当时，，当时，， 于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得， 所以的取值范围为．故选A 【解后反思】已知求的三个步骤 (1)先利用，求出. (2)用n－1替换中的n得到一个新的关系，利用(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 对点训练 1．（2023·安徽淮南第五次联考）数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】A 【解析】当时，由，① 得，② 【易错】注意将对应改为 ①－②，得， 所以，则．故选A． 2.（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知数列的前n项和满足，则 . 【答案】 【解析】令，得，得， ，当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. 2． 用累加法求通项 【例4】（2023·山东·济南市历城第二中学5月模拟）数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 【思维导引】（1）累加求和→验证确定结果 （2）求→裂项相消法求和得证. 【详解】（1）因为，即， 【敲黑板】an＋1an=f(n)的数列可利用累加法求通项 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. 【规范答题】验证时是得分点，易忽视 （2）由题意. 所以 对点训练 （2023·湖北省天门中学5月考）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.    (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【解析】（1）（1）因为，所以， 所以当时， ， 当时，上式也成立， 【易错】不要忽视时验证 所以； （2）由， 所以. 【技巧】消项技巧：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 3． 用累乘法求通项 【例5】（2023·江苏扬州5月三模）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 【思维导引】（1）递推公式变形→利用累乘法求数列通项→验证结果 （2）求→错位相减法求→证明. 【详解】（1）由及，得， 所以， 【敲黑板】an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项 当时，有 ． 当时，，符合上式，所以． （2）由（1）得，所以， 所以， 所以， 两式相减，得 【技巧】在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. ， 所以． 因为，所以。 对点训练 （2023·浙江省春晖中学5月考）设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 【答案】 【解法一】　(累乘法)：把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式， 得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∵an＞0，∴an＋1＋an＞0， ∴(n＋1)an＋1－nan＝0， ∴＝，∴···…· ＝×××…×， ∴＝.又∵a1＝1，∴an＝a1＝. 【解法二】(迭代法)：同法一，得＝， ∴an＋1＝an， ∴an＝·an－1＝··an－2 ＝···an－3 … ＝···…·a1＝a1. 又∵a1＝1，∴an＝. 【解法三】　(构造特殊数列法)：同法一，得＝， ∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列， ∴nan＝1·a1＝1，∴an＝. 4． 用待定系数法求通项 【例6】（2023·东北育才学校5月三模）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______． 【思维导引】待定系数法→数列为等比数列→该数列的首项和公比→求得→分组求和法得→解不等式求. 【详解】因为， 【敲黑板】an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法 所以，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，， 所以 【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 因此不等式，即，即， 因为，故满足不等式的最小整数为． 故答案为：. 【解后反思】形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步　由待定系数法，解得t＝； 第三步　写出数列的通项公式； 第四步　写出数列{an}的通项公式. 对点训练 （2023·山东威海5月三模）已知数列{an}中a1＝，an＋1＝an＋，则{an}的通项公式 . 【答案】an＝－ 【解析】【解法一】构造数列an＋1＋λ＝， 化简成原式结构得an＋1＝an－λ， 对应项系数相等得λ＝－3， 设bn＝an－3，b1＝a1－3＝－， 所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列，则bn＝－， 所以an＝－. 【解法二】将an＋1＝an＋两边同乘2n＋1， 得2n＋1·an＋1＝(2n·an)＋1. 令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，又回到了构造一的方法，根据待定系数法， 得bn＋1－3＝(bn－3)， 所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－， 公比为的等比数列，所以bn－3＝－·， 即bn＝3－2·， 所以an＝＝－. 【解法三】将an＋1＝an＋两边分别除， 得3n＋1an＋1＝3nan＋. 令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋， 所以bn－bn－1＝，bn－1－bn－2＝，…，b2－b1＝. 将以上各式叠加，得bn－b1＝＋…＋＋. 又b1＝3a1＝3×＝＝1＋， 所以bn＝1＋＋＋…＋＋＝2·－2， 所以an＝＝－. 5． 倒数构造法求通项 【例7】（2023·东北育才学校5月三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列： (2)若，求满足条件的最大整数. 【思维导引】（1）两边取倒数→再同时减2→根据等比数列的定义判定. （2）等比数列求和公式求和→构造函数→根据函数单调性求 【详解】（1）证明：由， 【敲黑板】an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法 可得， 又 故数列为等比数列. （2）由（1）可知，故. 令， 【技巧】若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； 易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50. 对点训练 （2023·湖南·长沙一中三模）1．已知数列的前项和为，数列满足，且 （1）求数列，的通项公式； （2）对于，试比较与的大小. 【解析】（1）当时，； 当时，， 【技巧】利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式 经检验，时，也符合上式， 所以数列的通项公式为； 易知，两边取倒数得，整理得， 是以首项为，公比为2的等比数列， ； （2）由（1）可知，欲比较与的大小， 即比较与的大小. 当时，，有； 当时，，有； 当时，，有， 猜想，下面证明: 【方法一】当时， ， 所以对于任意的都成立，所以. 【方法二】令，则 令则， 当时，即在单调递增， 在单调递增， 所以，所以，即， 所以对于任意的都成立，所以. 六．相邻项的差为特殊数列 【例9】（2023·合肥市第六中学三模）已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则数列{an}的通项公式 . 【思维导引】递推公式变形→{an＋an－1}为等比数列→求an＋an－1→{an－3an－1}等比数列→求an－3an－1→消元求an. 【解析】∵an＝2an－1＋3an－2， 【敲黑板】形如an＋1＝pan＋qan－1型数列，利用相邻项的差为特殊数列法求解 ∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)， 又a1＋a2＝7， ∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则an＋an－1＝7×3n－2，① 又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13， ∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，② 由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1， ∴an＝×3n－1＋(－1)n－1. 【解后反思】可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an. 对点训练 已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． ∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)， ∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)解　由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2， ∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝－(－2)n＋3n. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 即，，， 将上面5个式子两端分别相加得 ， 且，所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以. 故选：B. 3．（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：已知，则当时，， 两式作差，得， 即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列， 从而． 由于，则于是． 方法二：因为，所以， 根据左栏结论我们可以知道数列从第二项开始是以为公比的等比数列， 则． 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 则有， . 故. 故选：C. 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得. 故选：B 7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则（   ） A．2700 B．2721 C．5150 D．5151 【答案】D 【解析】由，得，从而， 所以 ，即，① 又因为②， ②两式相加，得． 故选：D． 8．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 9．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 【答案】ABD 【解析】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，即成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故正确； 对于B：因为， 所以，所以， 当时，符合条件， 所以，故错误； 对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以， 所以，即是与的公共项，故正确； 对于D：因为， 所以，故正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列的前项和为，若，则有（   ） A． B．为等比数列 C． D．为等比数列 【答案】AD 【解析】BC选项，①，当时，， 当时，②，①-②得 ，故， 故从第二项开始，为公比为3的等比数列，B错误； 故，C错误； A选项，，A正确； D选项，，故为等比数列，D正确. 故选：AD 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式 【答案】 【解析】当时，，作差得， 即当时，是公比为3的等比数列，而，则， 故. 13．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【解析】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 16．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 17．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 【解】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. （2）由（1）知，所以，则， 所以③， ④， 由③④得： ， 所以. 18．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）方法一：由（1）可得. 则，① 则，② ①-②，得 ， 从而. 方法二：由（1）可得，令，则 令，且， 则， 整理得， 则解得 故. . 19．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解】（1）令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以， 又，符合上式，所以； （2）， 则， ， 两式作差得， 即， 所以． 20．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前的和； 【解】（1）当时，， 当时，，             . 两式相减得：. 所以：， 当时，上式也成立. 所以数列的通项公式为： （2）因为     两式相减得：， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题13 求数列通项核心技法 目录 1 2 一．由求通项 2 二．用累加法求通项 3 三．用累乘法求通项 3 四．用待定系数法求通项 4 五．倒数构造法求通项 4 六．相邻项的差为特殊数列 5 5 数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 1． 由求通项 【例1】（2024·湖北武汉三模）已知数列的前项和为，，且．则数列的通项 【例2】（2023·山东菏泽三模）已知数列的前项和为，若满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（2023·四川达州5月第三次诊断）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解后反思】已知求的三个步骤 (1)先利用，求出. (2)用n－1替换中的n得到一个新的关系，利用(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 对点训练 1．（2023·安徽淮南第五次联考）数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 2.（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知数列的前n项和满足，则 . 2． 用累加法求通项 【例4】（2023·山东·济南市历城第二中学5月模拟）数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明. 对点训练 （2023·湖北省天门中学5月考）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.    (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 3． 用累乘法求通项 【例5】（2023·江苏扬州5月三模）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 对点训练 （2023·浙江省春晖中学5月考）设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________. 4． 用待定系数法求通项 【例6】（2023·东北育才学校5月三模）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______． 【解后反思】形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步　由待定系数法，解得t＝； 第三步　写出数列的通项公式； 第四步　写出数列{an}的通项公式. 对点训练 （2023·山东威海5月三模）已知数列{an}中a1＝，an＋1＝an＋，则{an}的通项公式 . 5． 倒数构造法求通项 【例7】（2023·东北育才学校5月三模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列： (2)若，求满足条件的最大整数. 【技巧】若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； 易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50. 对点训练 （2023·湖南·长沙一中三模）1．已知数列的前项和为，数列满足，且 （1）求数列，的通项公式； （2）对于，试比较与的大小. 六．相邻项的差为特殊数列 【例9】（2023·合肥市第六中学三模）已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，则数列{an}的通项公式 . 【解后反思】可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an. 对点训练 已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024高二·全国·专题练习）数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则（   ） A．2700 B．2721 C．5150 D．5151 8．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 9．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 10．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 11．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列的前项和为，若，则有（   ） A． B．为等比数列 C． D．为等比数列 12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式 13．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 16．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 17．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数依次构成公差为的等差数列，求数列的前项和. 18．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 19．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 20．（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前的和； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$