压轴专题12 圆锥曲线中的探索证明问题（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题12 圆锥曲线中的探索证明问题 目录 1 2 一．数量关系的证明 2 二．位置关系的证明 2 三．拆解法求参数的取值范围 3 四．含参数的存在性问题 3 4 1．圆锥曲线中的存在性问题 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立， 成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略： (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立. 3．圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 1． 数量关系的证明 【例1】（2024·四川雅安·三模，难度✬✬✬|定值问题，12分）已知椭圆C：的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点的直线与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线AF，BF的斜率分别为，证明：=0 【解题反思】证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． 对点训练 （2024·华南师大附中三模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的两条弦，（，分别位于第一、二象限）．若，与直线分别交于点，．求证：． 二．位置关系的证明 【例2】[全国甲理2024]设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解题技巧】树立“转化”意识，证明位置关系,关键是将位置关系转化为代数关系 几何性质 代数实现 对边相等 斜率相等，或向量平行 对边相等 横（纵）坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 两边垂直 数量积为0 对点训练 （2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 三．拆解法求参数的取值范围 【例3】（2024·长沙一中模拟预测）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【解题技巧】存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤: ①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出; 2列出关于待定系数的方程(组); ③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。 (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 对点训练 【例3】（2024•深圳二模）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）若经过定点的直线与曲线相交于、两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 四．含参数的存在性问题 【例4】（2024·南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为 （1）求椭圆的方程； （2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解题技巧】字母参数值存在性问题的求解方法 求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 对点训练 （2024·天津市第四中学模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4. （1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程； （2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由. 1.[全国新课标Ⅰ卷2023]在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 2.（2024·北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. (1)求椭圆的方程 (2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，已知是一个动点，过点且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第一象限），过且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第四象限），如图，且四边形的面积为，动点的轨迹为曲线．    (1)求的方程． (2)过点的直线与相交于两点，是否存在定直线，使得以为直径的圆与直线相交于两点，且是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. (1)求的方程； (2)求点关于的对称点的轨迹方程； (3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 6．已知和为椭圆：上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 7．如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.    (1)求面积的最大值； (2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由. 8．已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程． (2)不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 9．已知椭圆C：经过点，其右焦点为，下顶点为B，直线BF与椭圆C交于另一点D，且． (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与交于点H．直线OQ与交于点G，设的面积为，的面积为，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中有椭圆，已知其离心率为，焦距为. (1)求的方程. (2)已知为的右焦点，经过原点的直线与交于两点（在第一象限），直线分别交与两点，直线与直线交于.求证：在定直线上. 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 12．在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 13．已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 14．平面直角坐标系中，过点的动直线l与抛物线交于A，B两点且． (1)求t的值； (2)若点M在x轴上且，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 15．已知双曲线：的左顶点为，斜率为的直线与交于两点，设的斜率分别为，的外心为. (1)若始终在上，求证：直线过定点. (2)记，探究是否存在定值使恒在的某条渐近线上.若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 16．已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 17．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，左、右端点分别为，点是椭圆上不同于的一点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上焦点作两条互相垂直的直线，，，分别与椭圆交于点和点分别为，的中点，问直线是否过定点？如果过定点，求出该定点；如果不过定点，请说明理由. 18．已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． (1)求抛物线C的方程； (2)①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 19．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 20．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题12 圆锥曲线中的探索证明问题 目录 1 2 一．数量关系的证明 2 二．位置关系的证明 4 三．拆解法求参数的取值范围 6 四．含参数的存在性问题 8 10 1．圆锥曲线中的存在性问题 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立， 成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略： (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立. 3．圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 1． 数量关系的证明 【例1】（2024·四川雅安·三模，难度✬✬✬|定值问题，12分）已知椭圆C：的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点的直线与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线AF，BF的斜率分别为，证明：=0 【解】（1）由已知有， 解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）由已知直线l斜率不为零，设直线l的方程为， 【技巧】直线方程的设法，若直线过x轴上定点，且需要考虑斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m，避免讨论. 由，消去x得， 令得， 设，， 则有，， 易知， ∴ ， 得证=0. 【解题反思】证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． 对点训练 （2024·华南师大附中三模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的两条弦，（，分别位于第一、二象限）．若，与直线分别交于点，．求证：． 【解析】（1）∵椭圆过点，则，又， 则．又， ∴联立上述式子，解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意，可设直线：，：， ，，，，，点的横坐标为，， 将直线方程代入椭圆，整理得，而， 由韦达定理可得，，， 同理得：，， ∵，，且三点，，共线， ∴， 将，代入并整理可得， 又，即， ∴，同理：， ∴ ， ∴，，故． 二．位置关系的证明 【例2】[全国甲理2024]设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【解题技巧】树立“转化”意识，证明位置关系,关键是将位置关系转化为代数关系 几何性质 代数实现 对边相等 斜率相等，或向量平行 对边相等 横（纵）坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 两边垂直 数量积为0 对点训练 （2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 【解】（1）设． 因为点的坐标为，所以， 由得， 则， 从而 得，所以的方程为． （2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为． 设，由可得， 则 所以． 由（1）可知， 因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以 可得，即． 三．拆解法求参数的取值范围 【例3】（2024·长沙一中模拟预测）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【解析】(1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0， 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB能为平行四边形． 因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3. 由(1)得OM的方程为y＝－x. 设点P的横坐标为xP. 由得x＝，即xP＝. 将点的坐标代入直线l的方程得b＝， 因此xM＝. 四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM. 【卡壳点】将平行四边形中AB与线段OP互相平分转化为xP＝2xM 于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋. 因为ki>0，ki≠3，i＝1,2， 【规范答题】对结果进行检验 所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形． 【解题技巧】存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤: ①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出; 2列出关于待定系数的方程(组); ③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。 (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 对点训练 【例3】（2024•深圳二模）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程； （Ⅱ）若经过定点的直线与曲线相交于、两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）设，则由题意，， ， 化简可得动圆圆心的轨迹的方程为； （Ⅱ）设，，，． 由题意，设直线的方程为，联立抛物线方程可得， ，①， ②，③ 假设存在，，使得，则④， ⑤， ， 代入化简可得， ， 存在直线，使得， 四．含参数的存在性问题 【例4】（2024·南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为 （1）求椭圆的方程； （2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）椭圆经过点，可得①， 由离心率得，即，则②，代入①解得，，， 故椭圆的方程为. 【巧解】由，可得，设椭圆方程为，过点，代入可得 解得，方程为. （2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为③ 代入椭圆方程并整理得 设，，，， ，④ 在方程③中，令得，的坐标为， 从而，，， 注意到，，共线，则有，即有， 【卡壳点】将，，共线转化为进而转化为， 所以， ⑤， ④代入⑤得， 又，所以. 故存在常数符合题意. 【解题技巧】字母参数值存在性问题的求解方法 求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 对点训练 （2024·天津市第四中学模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4. （1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程； （2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆. 由椭圆的定义可知，，，又因为所以， 故的轨迹方程. （2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足： 由 消去得：，恒成立. 设，，由韦达定理， 得， . 所以，到距离，， 当且仅当，即时等号成立. 验证可知满足题意. ， 1.[全国新课标Ⅰ卷2023]在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【解析】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. （2） 设矩形的三个顶点在上,且， 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，    则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则.， 易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且， 即时等号成立，矛盾，故,得证. 2.（2024·北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为. (1)求椭圆的方程 (2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线. 【解】（1）因为椭圆：的左顶点为，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2） 由（1）知，， 设：，，， 联立方程，可得， 解得或，所以， 因为四边形是平行四边形，由椭圆的对称性可知点与点关于原点对称， 所以， 直线的方程为，把代入可得， 所以， 把代入可得， 所以过，的直线的斜率为， 所以过，的直线的斜率， 所以，，三点共线. 3．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 4．在平面直角坐标系中，已知是一个动点，过点且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第一象限），过且与直线平行的直线与直线相交于点（点位于第四象限），如图，且四边形的面积为，动点的轨迹为曲线．    (1)求的方程． (2)过点的直线与相交于两点，是否存在定直线，使得以为直径的圆与直线相交于两点，且是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）设，，其中，， 易知四边形为平行四边形，连接，则， 即，得， 连接，则平行四边形的面积 ， 化简得， 因为，， 所以， 又在双曲线上， 所以． 因此的方程为． （2）假设存在定直线，使得以为直径的圆与直线相交于两点， 且是定值． 设，，的中点为，直线， 联立方程，得，化简得， 则，解得， 且，， 因此， ，， 即． 则点到直线的距离为， 连接，则， 因此，是定值， 所以是定值， 则，解得， 因此存在定直线，使得以为直径的圆与直线相交于两点， 且是定值，．    5．已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. (1)求的方程； (2)求点关于的对称点的轨迹方程； (3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 【解】（1）由题意，可设点，. 由，得，解得， 所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以的方程为. （2）因为点，关于对称，过点，所以. 当绕点旋转时，线段也绕点旋转， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 故点的轨迹方程为. （3）设，，，，直线的方程为. 由题可知直线不过点，则. 联立得消去，整理得， 恒成立，则，， 直线的方程为，即. 令，得，则， 同理可得， 所以 ， 因此. 6．已知和为椭圆：上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【解】（1）由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. （2）（i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 7．如图，已知点、分别是椭圆的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点与点.    (1)求面积的最大值； (2)设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为，所以， 所以， 由，可设， 由题意，联立，消元得， 设，， 则，且，， 所以的面积， 令，则， 当且仅当，即，时（此时适合的条件）取得等号. 故面积的最大值为. （2）设椭圆上存在满足条件的点，定值，如图，    由（1）知，，所以，， ，由，在上， 所以，， 所以， 当，，时，该等式成立与取值无关， 此时，故满足条件的椭圆上的点对应或对应. 8．已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． (1)求的方程． (2)不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【解】（1）设，则，， 由题意得，， 整理得， ∴曲线的方程为. （2）设， 当斜率存在时，设， 由得，， ∴，即， ∴， ∵直线与的斜率之和为， ∴， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴， ∴直线方程为，恒过定点. 当直线斜率不存在时，， ∵直线与的斜率之和为， ∴， ∴，此时直线，恒过定点. 综上得，直线过定点. 9．已知椭圆C：经过点，其右焦点为，下顶点为B，直线BF与椭圆C交于另一点D，且． (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与交于点H．直线OQ与交于点G，设的面积为，的面积为，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由． 【解】（1）设，由，，得，， 由，得，，， 所以，得，所以， 将代入椭圆的方程得，即，则， 所以，故椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，，， 则，得， 因为点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点， 则，， ，， 又的方程为，与直线联立可得， 又的方程为，与直线联立可得， 所以， ， 则， 当时，， 所以， 又，， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 当时，， 所以， 又知， 则， 综上可知，当时，存在最小值， 此时直线的方程为. 10．在平面直角坐标系中有椭圆，已知其离心率为，焦距为. (1)求的方程. (2)已知为的右焦点，经过原点的直线与交于两点（在第一象限），直线分别交与两点，直线与直线交于.求证：在定直线上. 【解】（1）由已知可得，解得：， 故：. （2）设：，，，， 联立， 得：. 故：，联立得：. 又：.， ，同理：. 由直线的两点式方程：， 即：， 化简得：， 由：解得：为定值，即：在直线上. 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【解】（1）由双曲线. 的渐近线方程为， 再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得： ，因为，所以解得， 再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由， 即椭圆C的标准方程为； （2）①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，    设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 12．在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 【解】（1）由题设可设 ,这里. 易知渐近线为 ，焦距为, 的右焦点， 由题设可知 , 解得. 所以 的方程为,的方程为. （2）（ⅰ）设直线 , 联立直线 和 的方程 ,得. 为使直线 和 均有2个交点，必须有， , 解得且． 由韦达定理可得 注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点． 记上述中点为 ，注意到,所以 . （ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等． 记的面积为  , 的面积为 , 的面积为. 由 与 的方向相同可知 . 因为 ， 同理 所以 ， , 设, 则, 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此, 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最小值为． 13．已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 【解】（1）由题意：. 所以椭圆的标准方程为：. （2）设过点的切线方程为：，即， 由，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. （3）设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立. 14．平面直角坐标系中，过点的动直线l与抛物线交于A，B两点且． (1)求t的值； (2)若点M在x轴上且，在x轴上是否存在确定的点P，使得当动直线l不与x轴垂直时，恒有．若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意可知：动直线l的斜率可能不存在，且不为0，且， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为，则， 可得， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以t的值4. （2）设， 由（1）可知：，，此时， 且， 若，且，则， 可知点在的外接圆上，结合，可知， 则，可得， 整理可得，即， 且，则，即， 所以存在点. 15．已知双曲线：的左顶点为，斜率为的直线与交于两点，设的斜率分别为，的外心为. (1)若始终在上，求证：直线过定点. (2)记，探究是否存在定值使恒在的某条渐近线上.若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由外心的性质：，故为中点， 又，， 设，，，， 联立， 则 又 ， ，恒过定点. （2）法一：计算外心坐标： 设中点分别为，则：，， 由（1）得：， 中垂线：① 中垂线：② 联立①②得：， 故 同理：，将代入得： ， 又在渐近线上，，解得： 法二：点差法化简： 设，，，， 得：， ， 同理：， 设中点分别为：， 中垂线： 同理：，得：⑥， 化简⑥式得： 16．已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 【解】（1）由题得， 将代入得： ， 椭圆E的方程为. （2）设，则， 且， 两式相减得：，可得， l方程为，即. （3）由得： ，且， ， ∴， 又直线的斜率存在，AF与RQ不平行， ∴四边形ARQF为梯形.    17．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，左、右端点分别为，点是椭圆上不同于的一点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上焦点作两条互相垂直的直线，，，分别与椭圆交于点和点分别为，的中点，问直线是否过定点？如果过定点，求出该定点；如果不过定点，请说明理由. 【解】（1）    设椭圆E的方程为， 点满足，故 由已知，， ，得 又因为该椭圆的焦距为，故， 可得，，所以椭圆E的方程为. （2）    由（1）可知椭圆的上焦点为 ①当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立，得， ， 所以，，， 故的中点坐标为，同理可得的中点坐标为， 所以，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线过定点. ②当直线斜率不存在时，方程为，方程为， 此时，直线方程为，过点. ③当直线的斜率存在且为0时，方程为，方程为， 直线方程为，过点. 综上可知，直线过定点 18．已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． (1)求抛物线C的方程； (2)①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 【解】（1）由题意知抛物线C准线方程为， 所以抛物线C方程为, （2）①设切点,, 抛物线C方程可转化为，所以 因此可设直线AM方程为 设直线AN方程为 带入得： 所以直线MN方程为 令，得， 所以点G的坐标为． ②设直线AM方程为 设直线AN方程为 考虑直线与相切， 消去y得 得， 即 所以，（*） 再联立直线与， 消去x得 设交点，， 则 所以，同理 又因为： 也即：，联立，消去y 得 所以 ， 代入（*）式，得 代入 得 所以直线BP与抛物线C相切． 19．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 20．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 【解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 又P是C上一点， 所以， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）①设切点坐标为， 因为，所以，切线的斜率为， 所以切线方程为， 将代入上式，得， 所以， 所以切点坐标为．     ②由①得，直线的斜率都存在， 要证：直线的倾斜角之和为， 只要证明：直线的斜率之和为．     设直线的方程为，，，, 则，，     由得， 所以，，，即，     所以， 即直线的倾斜角之和为．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$