压轴专题11 圆锥曲线中的定点，定直线问题（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题11 圆锥曲线中的定点、定直线问题 目录 1 2 一．参数法求证定点 2 二．先求后证法求证定点 5 三．证明某些几何量为定值 9 四．证明某些代数式为定值 13 16 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 1． 参数法求证定点 【例1】[全国乙理2023]已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【例2】（2024·福建·漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为. （1）求证：是直角三角形； （2）轴上是否存在一定点，使三点共线. 【解析】（1）由已知得直线的方程为， 设，切线斜率为， 则切线方程为， 将其与联立消得. 所以， 化简得， 所以，所以.即是直角三角形. （2） 由（1）知时， 方程的根为 设切点， 则.因为， 所以. 设， 【点拨】由M点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零 与联立消得，则， 所以，解得， 所以直线过定点. 即轴上存在一定点，使三点共线. （12分） 【解题技巧】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 对点训练 （2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 【技巧】利用类比思想，求D点坐标 当时，直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 【卡克点】提取公因式，转化为点斜式方程 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 二．先求后证法求证定点 【例3】（2024·合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由. 【解析】（1） 由题意，，，所以，. 又，，所以，，故椭圆的方程为 （2）当轴时，以为直径的圆的方程为 当轴时，以为直径的圆的方程为. 可得两圆交点为．              由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为． 【技巧】利用特殊情况，探究定点 下证符合题意． 设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入 并整理得，   设，， 则， ， 所以 故，即在以为直径的圆上． 【技巧】注意等价转化：在以为直径的圆上. 综上，以为直径的圆恒过定点． 【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解析】（1）设椭圆E的方程为，过， 【技巧】椭圆过两点，方程可设为. 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 【规范答案】切勿忽视直线斜率不存在的情况 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立，综上，可得直线HN过定点 【解题技巧】 (1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时. (2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参. 对点训练 （2024·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点. 【解析】(1)因为，所以 由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中 所以 所以曲线C的方程为： (2)若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为， 联立求解可得，直线PQ过点. 当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为， 代入，整理得： 则 因为AP⊥AQ，所以 整理得 解得或 因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意 故，代入，得，过定点. 综上，直线PQ过定点. 三．证明某些几何量为定值 【例1】（2024·广东·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【解析】(1)由题意，得双曲线的渐近线方程为， 右顶点为.又， 且， 所以，故. 又，解得， 【易错】注意双曲线中的关系为 所以双曲线的方程为. (2)设. 当直线和轴线平行时，，解得， 所以点到直线的距离为. 【技法】由特殊到一般.先找到定值，再进行证明。 当直线和轴线不平行时， 设直线的方程为， 由得， ， 所以. 又， 所以， 得， 解得. 又点到直线的距离为， 则，故， 所以点到直线的距离为定值. 【例2】（2024·湖北省天门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由． 【解析】(1)证明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0. 又m·n＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2， ∴k1·k2＝＝－. (2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时， 【易错】忽视斜率不存在的情况 由＝－，得－y＝0. 又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴＋y＝1， ∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1. ②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b. 联立得方程组 消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， 其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2. 【规范答题】切勿忽视Δ)>0 ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋y1y2＝0， ∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足Δ>0)． ∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1. 综合①②知△POQ的面积S为定值1. 【解题技巧】1.求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． 2.求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 对点训练 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b. (1)求椭圆C的方程； (2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值. 【解析】(1)由椭圆过点A(－2，－1)， 得＋＝1. 又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2， ∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意. 设直线l：y＝k(x＋4)， 由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0. 由Δ＞0，得－＜k＜. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)， 令x＝－4，得yP＝－1. 将y1＝k(x1＋4)代入， 得yP＝. 同理yQ＝. ∴yP＋yQ＝－(2k＋1) ＝－(2k＋1)· ＝－(2k＋1)· ＝－(2k＋1)×＝0. ∴|PB|＝|BQ|，∴＝1. 四．证明某些代数式为定值 【例3】（2024·山东泰安·三模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值． 【解析】(1)由题意得，， 可得，b＝2， 所以椭圆的标准方程为． (2)当切线l的斜率不存在时，其方程为， 【提醒】求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况． 当时，将代入椭圆方程得， ∴，，， ∴ 当时，同理可得， 当切线l的斜率存在时，设l的方程为，，， 因为l与相切，所以，所以 【技巧】圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 由，得， ∴， ∴ ∴ 综上，为定值． 【解后反思】常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符号曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算. 【例4】（2024·湖南怀化·一模）如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点. (1)求椭圆M的方程，并求的取值范围； (2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值. 【解析】(1)由题意得. 又点在椭圆上，所以， 且，所以，，故椭圆的方程为. （3分） 设点，由，得. 又，所以. （5分） 【技巧】利用隐含的不等关系，即点P在圆上转化为，从而确定的取值范围 (2)设过点且斜率为的直线方程为， 联立椭圆方程得. 设两点M､N，故，. 因为， 其中，， 故 所以为定值． 【解题技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)证明代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式中参数有关的等式,代入代数式并化简,即可得出定值; (2)证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、证明。 对点训练 (2024·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1－)＝－. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－)＝－， 得－＝－， 即＝， ∴又点P(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝6上， ∴x＋y＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹E的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率存在时， 设l：y＝k(x－2)， 由消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝，x1·x2＝， 根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)， 使得·＋2＝·(－)＝·为定值， 则有·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2 ＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2) ＝(k2＋1)×－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2) ＝， 要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)， 即m＝，此时·＝m2－6＝－为常数，定点D的坐标为. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2， 易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为，， 此时·＝·＝－. 综上所述，存在定点D，使得·＋2为定值－ 1.（河北省部分学校联考2024届高三下学期3月模拟（二）数学试题）已知椭圆E：过点，且其离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 【解】（1）由题意可知，，解得：，，， 所以椭圆的方程为； （2）设过点的直线为，，，，， 联立，得， ，， ，所以， ，联立直线和方程， 得， ， 所以，得，，即 因为点是的中点，，所以， 所以.    所以是定值，且定值为. 2.[四川乐山2024三模]已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 【解】（1）． 点在椭圆上， ，解得或（舍） ．椭圆的方程为． （2）如图： 易知直线斜率不为0，设直线方程为 直线方程为：， 联立，得． 由，得， ． 直线的斜率为：． 直线方程为：． 令，得． ． 所以直线的斜率为定值. 3.（2024·广东惠州·一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1． (1)求椭圆C的标准方程， (2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）根据题意可设椭圆C的标准方程为， 易知离心率， 又右焦点为，右顶点为，可得， 解得，则； 即椭圆C的标准方程为. （2）设动直线l的方程为， 假设在轴上存在两定点满足题意，如下图所示：    联立，消去可得， 可得，即； 易知点到直线的距离，点到直线的距离， 可得； 若为定值，则需满足， 解得或，此时满足题意； 即可得在轴上存在两定点，使得两点到直线l的距离之积为. 4．[江西九江2024二模]已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 5．[2024·湖南长沙2024三模]已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 6．[江苏苏州2024模拟] 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【解】（1）由题意得，， 又∵，∴， ∴椭圆的方程为. （2）设直线方程为，， 由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. （3）由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ， ∴为定值. 8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点在直线上，分别为的左､右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为，证明：直线过定点. 【解】（1）由直线与轴的交点为，得椭圆右焦点的坐标为，故， 由题意可得，得， . 椭圆的方程为：； （2）由的方程可知， 若直线的斜率不存在，则关于轴对称，直线与的斜率互为相反数，不符合题意； 故设直线的方程为，且均不与重合， 由得， ， ， ， ， 令，解得， 直线的方程为，即， 直线过定点. 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 10．（24-25高二上·云南大理·期中）如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解】（1）因为，所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点，所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去整理得，恒成立， 所以， 又因为直线与轴的交点为，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的方程为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于，两点，为坐标原点． (1)时，求的面积； (2)在轴上是否存在定点，使得?如果存在，求出定点；如果不在，请说明理由． 【解】（1）由，可知曲线是以，为焦点的双曲线的右支， 过焦点，倾斜角为的直线的方程为， 当时，代入曲线的方程，可得， 所以． （2） 当时，设直线的方程为，，， 联立得， 因为直线与曲线有两个交点， 所以，解得或． 假设在轴上存在定点，则，， 由，得轴平分，所以， 即，所以， 整理得，因为斜率的取值范围为， 所以， 即， 整理得，即，得． 当时，由曲线的对称性可知成立． 所以在轴上存在定点，使得． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，的一条渐近线方程为是右支上一点，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点且互相垂直的两条直线分别与交于点A，B与点C，D，若M，N分别为线段，的中点，求证：直线过定点． 【解】（1）该双曲线的一条渐近线方程为，，即，． ，． ，， ，， 双曲线的标准方程为． （2） 由（1）知． ①当直线的斜率都存在时，设， 直线， 代入整理得，， ， ． 由题可得直线的方程为， 同理可得， 当直线的斜率不存在时，，得， 此时，直线的方程为． 当直线的斜率存在时， 直线的方程为， 即，直线过定点. ②当直线中一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为0时， 易知直线为轴，也过定点． 综上，直线过定点． 13．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    15．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    16．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【解】（1）设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为，    则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0. 18．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知以动点为圆心的圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 【解】（1）动圆过定点，且与直线相切， 点到的距离等于点到直线的距离． 因此，点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线 设该抛物线方程为，可得，解得 抛物线方程为，即为所求轨迹的方程； （2）设直线方程为，， 由消去得：， ，化简得， 所以， 则 整理得，即， 则或，即或， 所以直线方程为或， 当直线方程为时，过定点，当直线方程为时，过定点与点重合，舍去； 故直线恒过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题11 圆锥曲线中的定点、定直线问题 目录 1 2 一．参数法求证定点 2 二．先求后证法求证定点 3 三．证明某些几何量为定值 4 四．证明某些代数式为定值 5 6 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 1． 参数法求证定点 【例1】[全国乙理2023]已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【例2】（2024·福建·漳州三模）已知抛物线的准线为，为上一动点，过点作抛物线的切线，切点分别为. （1）求证：是直角三角形； （2）轴上是否存在一定点，使三点共线. 【解题技巧】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 对点训练 （2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 二．先求后证法求证定点 【例3】（2024·合肥一中模拟预测）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由. 【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【解题技巧】 (1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时. (2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参. 对点训练 （2024·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点. 三．证明某些几何量为定值 【例1】（2024·广东·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【例2】（2024·湖北省天门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由． 【解题技巧】1.求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． 2.求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 对点训练 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b. (1)求椭圆C的方程； (2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值. 四．证明某些代数式为定值 【例3】（2024·山东泰安·三模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值． 【解后反思】常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符号曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算. 【例4】（2024·湖南怀化·一模）如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点. (1)求椭圆M的方程，并求的取值范围； (2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值. 【解题技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)证明代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式中参数有关的等式,代入代数式并化简,即可得出定值; (2)证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、证明。 对点训练 (2024·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1－)＝－. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 1.（河北省部分学校联考2024届高三下学期3月模拟（二）数学试题）已知椭圆E：过点，且其离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 2.[四川乐山2024三模]已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值. 3.（2024·广东惠州·一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1． (1)求椭圆C的标准方程， (2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由． 4．[江西九江2024二模]已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 5．[2024·湖南长沙2024三模]已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 6．[江苏苏州2024模拟] 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点在直线上，分别为的左､右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为，证明：直线过定点. 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 10．（24-25高二上·云南大理·期中）如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的方程为，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于，两点，为坐标原点． (1)时，求的面积； (2)在轴上是否存在定点，使得?如果存在，求出定点；如果不在，请说明理由． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，的一条渐近线方程为是右支上一点，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点且互相垂直的两条直线分别与交于点A，B与点C，D，若M，N分别为线段，的中点，求证：直线过定点． 13．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 15．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 16．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 17．（24-25高二上·江苏连云港·期中）设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 18．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知以动点为圆心的圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$