专题5-2一元一次方程的应用（考点清单，2考点&13题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

清单5-2 一元一次方程的应用（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 【清单02】一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 【考点题型一】配套问题 【例1】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别3个、5个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套用品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？（列方程解） 【变式1-2】某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【变式1-3】某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【考点题型二】销售问题 【例2】一件上衣先按成本提高标价，再以折出售，结果获利元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】一家服装店将某种衣服按成本价提高20%后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 【变式2-2】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【变式2-3】2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于20个），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是30个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ 【考点题型三】和差倍分问题 【例3】某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【变式2-2】把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 【变式2-3】学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置的计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则去年购置计算机多少台？ 【考点题型四】工程问题 【例4】有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式4-1】一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【变式4-2】某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【变式4-3】哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【考点题型五】比赛积分问题 【例5】某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了 场，平了 场． 【变式5-1】一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 【变式5-2】甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，求甲队胜了多少场？ 【变式5-3】据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【考点题型六】古典方程问题 【例6】水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【变式6-1】我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 【变式6-2】我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 【变式6-3】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【考点题型七】方案选择问题 【例7】某工厂生产一种产品，每件产品的出厂价为 40元，其成本价为 20元，在生产过程中平均每生产一件产品有0.1m的污水排出，为净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案． 方案一∶工厂污水先净化处理后再排出，每处理1m污水所用费用为2元，并且每月排污设备损耗为15000元． 方案二∶工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1m污水需付8元的排污费． (1)设该工厂每月生产x件产品，则方案一的利润是 元，方案二的利润是 元．（用含x的式子表示） (2)当该工厂每月生产多少件产品时，依方案一处理污水每月所获利润比依方案二处理污水每月所获利润少6000元？ (3)当该工厂每月生产10000件产品时，若你作为厂长，在获得更多利润的前提下，会选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明．（利润=出厂价-成本价-污水处理费） 【变式7-1】某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【变式7-2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【变式7-3】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【考点题型八】数字问题 【例8】将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： (1)十字框中5个数之和是41的几倍？ (2)设十字框中间的数为，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． (3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 【变式8-1】观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第8个数分别是______，______，______； 第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为a，若，直接写出n的值______． 【变式8-2】将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 【变式8-3】阅读：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数26，66，30中，是“迥异数”的为_____； ②计算_____． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【考点题型九】一般行程问题 【例9】一条公路，一辆小汽车已经行了全长的后，超过中点．如果设这条公路全长为，那么列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【变式9-2】甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【变式9-3】玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 【考点题型十】顺逆流航行类行程问题 【例10】一客轮船沿江从A港顺流到达B港需要6小时，从B 港逆流到A港需8小时，该客轮从A港出发开往B港，3小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎掉入江中，则帽子漂流到B 港要 （   ）小时． A．48 B．32 C．28 D．24 【变式10-1】一架飞机在两城间飞行，顺风飞行要5.5小时，逆风飞行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为千米/小时，则可列方程为 ． 【变式10-2】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 【变式10-3】某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【考点题型十一】过桥过隧道类行程问题 【例11】一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18秒，求该火车的长度为多少米? 【变式11-1】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 【变式11-2】已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 【变式11-3】问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 【考点题型十二】分段收费问题 【例12】国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【变式12-1】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表．例如：某户居民1月份用水，则应收水费：元． 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水12.5，则应交水费多少元？ (2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？ (3)若该户居民4、5月份共用15（其中5月份用水量超过4月份），共交水费44元，则该户居民4、5月份各用水多少立方米？ 【变式12-2】列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 【变式12-3】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【考点题型十三】数轴上动点问题问题 【例13】如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【变式13-1】先阅读材料：如图（1），在数轴上点示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． (1)________，________： (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①则点表示的数是________，________（用含的式子表示） ②请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 【变式13-2】如图，已知点，点是直线上的两点，且，点和点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点、同时出发在直线上运动，运动时间为． 请回答下列问题： (1)若点向右运动，点向左运动，求为何值时、两点相遇？ (2)若点、均向右运动，求为何值时、两点相遇？ (3)若点、均向右运动，当、两点之间距离为时，求出的值． 【变式13-3】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 1．新型冠状肺炎疫情在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？（　　） A．15人 B．20人 C．14人 D．30人 2．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 3．装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　） A． B． C． D． 4．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 6．我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 8．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 9．某炼铁厂接到一批原料加工任务吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工吨．若甲生产线独立加工天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工天，刚好全部加工完毕．甲生产线平均每加工吨需用电4千瓦时，乙生产线平均每加工吨需用电千瓦时，则完成这批加工任务需用电 千瓦时． 10．又到了桔子成熟的时节，源源食品厂以新鲜桔子为原材料加工制作的桔子罐头深受市场的欢迎．源源食品厂有，两条加工相同原材料的生产线，生产线将吨原材料加工成桔子罐头需要天；生产线将吨原材料加工成桔子罐头需要天．第一批，该厂将7吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线在相同时间内完成了加工，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ，第二批开工前，该厂按第一批的分配结果分配了7吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在相同时间内加工完各自分配到的所有原材料，则的值为 ． 11．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天． 12．如图，在一块长为16米，宽为米的长方形草地上，要修建两条宽为2米的长方形小路，若修建后的草地面积（图中阴影部分）为修建前草地面积的，则修建后的草地面积为 平方米． 13．一个标准篮球场的周长是，宽是长的，标准篮球场的长是 米． 14．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 15．当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协” 第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当统的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家店乒乓球拍标价均为每副120元，乒乓球的标价均为每盒40元，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按标价打8.5折，现该班需购买球拍6副，乒乓球盒（不少于6盒）． (1)去甲店购买总费用为 元；去乙店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示） (2)当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样？ (3)当购买40盒乒乓球时，去哪家店购买更划算？ (4)当购买40盒乒乓球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用． 16．周末7个好朋友租了两辆出租车从A地一起去B地看演出，途中一辆车在离B地还有18千米处发生故障，只得由另一辆出租车将大家送达B地，但此时距离B地的演出开始还剩下50分钟，这辆出租车有如下两种方案可以实施： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待出租车返回接送 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与出租车相遇后上车前行 相关数据： 出租车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆出租车限乘5人． (1)若按方案一实施，7人能否赶上B地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证7人在规定的时间到达B地的演出现场． 17．有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是元/千克，售价是m元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，最后出售这20箱苹果共盈利1507元，求m的值． 18．如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作） (1)则点表示的数为 ；点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是18个长度单位． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单5-2 一元一次方程的应用（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 【清单02】一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 【考点题型一】配套问题 【例1】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 【变式1-1】某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别3个、5个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套用品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？（列方程解） 【答案】安排生产甲零件的天数为10天，安排生产乙零件的天数为20天 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用—配套问题，正确理解甲、乙零件的配套关系是解题的关键．设生产甲种零件x天，则生产乙种零件天，然后再根据“甲、乙两种零件分别取3个、5个才能配成一套”列方程求解即可． 【详解】解：设生产甲种零件x天，则生产乙种零件天， 由题意得：， 解得：， ， 答：安排生产甲种零件10天，安排生产乙种零件20天． 【变式1-2】某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【答案】安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件 【分析】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件，然后列方程计算即可． 【详解】解：设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件， 根据题意得：， 解得：， ， 答：安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件． 【变式1-3】某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 【考点题型二】销售问题 【例2】一件上衣先按成本提高标价，再以折出售，结果获利元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件上衣的成本价是元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得 故选：B． 【变式2-1】一家服装店将某种衣服按成本价提高20%后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 【答案】这种衣服每件的标价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种衣服每件的标价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种衣服每件的标价是元，根据题意得， ． 解得：． 答：这种衣服每件的标价是元． 【变式2-2】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】(1)10月初购进200件A商品，300件B商品； (2)m的值为9． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设10月初购进x件A商品，则购进件B商品， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）解：根据题意得： ， 解得：． 答：m的值为9． 【变式2-3】2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价10元，数独棋每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于20个），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是30个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ 【答案】(1)购买魔方和数独棋的总费用是1700元； (2)40个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，（个） ∴购买魔方和数独棋的总费用是1700元； （2）解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得， 解得 ∴当订购魔方的数量是40个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同． 【考点题型三】和差倍分问题 【例3】某学校今年艺术单项比赛共有人参加，比赛的人数比去年增加还多3人．则去年参加比赛的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设去年参赛的人数为x，再根据今年的比赛人数相等得出方程，求出解即可． 【详解】解：设去年参赛的人数为人， 则：， 解得：， 则去年参赛的人数为人． 故选：A． 【变式3-1】体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 【变式2-2】把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 【答案】绘画爱好者有人，这批宣纸有张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设绘画爱好者有x人，根据题意分别这批宣纸的张数，根据这批宣纸的张数不变列方程，求解即可． 【详解】解：设绘画爱好者有x人， ， 解得， 即绘画爱好者有人， 则， 即这批宣纸有张， 答：绘画爱好者有人，这批宣纸有张． 【变式2-3】学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置的计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则去年购置计算机多少台？ 【答案】25台 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意找出题目中的相等关系； 设去年购置计算机x台，根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，列出方程； 然后解这个方程即可． 【详解】解：设去年购置计算机x台，根据题意得 解得：， 答：去年购置计算机25台． 【考点题型四】工程问题 【例4】有一些相同的房间需要装修地面，每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修，每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修，若一名A级工人每天比一名B级工人多装修，设每个房间的地面为，一名B级工人每天装修，下列方程中正确的是（  ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设每个房间的地面为，分别表示出一名A级工人面条装修的面积和一名B级工人面条装修的面积，再由一名A级工人每天比一名B级工人多装修可得方程；设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修，分别根据A级工人和B级工人的装修面积情况表示出每个房间的面积可得方程． 【详解】解：设每个房间的地面为， ∵每天4名A级工人可装修5个房间，结果还剩未能装修， ∴一名A级工人每天装修， ∵每天6名B级工人除了能装修7个房间以外，还可以多装修， ∴一名B级工人每天装修， ∵一名A级工人每天比一名B级工人多装修， ∴； 设一名B级工人每天装修，则一名A级工人每天装修， ∴每个房间的面积为，， ∴， ∴正确的有②③， 故选：D． 【变式4-1】一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】1.25小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，把这一水池水看作单位1，根据工作效率工作总量工作时间，可得甲、乙、丙的工作效率分别为、、，据此结合题意列方程求解即可． 【详解】解： 设再过小时后便可将水池注满水，依题意有 ， 解得． 答：三管齐开，再过1.25小时后便可将水池注满水． 【变式4-2】某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可； （2）分别计算乙工厂单独生产，甲、乙两个工厂共同生产的费用，再将2个计算结果作差即可解答． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 【变式4-3】哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设还需要x天才能完成，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据总费用=每天的施工费×施工天数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天． （2）解：设还需要x天完成，依题意，得：， 解得：，所以还需要9天才能完成． （3）解：设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 【考点题型五】比赛积分问题 【例5】某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了 场，平了 场． 【答案】 18 16 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找准数量关系，并正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个队在这次比赛中，胜了x场，则平了场，根据题意，共得70分，列出方程，求解方程即可解答． 【详解】解：设这个队在这次比赛中，胜了x场，则平了场， 根据题意，得：， 解得：， 所以， 所以这个队在这次比赛中，胜了18场，平了16场． 故答案为：18；16． 【变式5-1】一份试题由50道选择题组成，每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，小亮在这次考试中得了102分，他答对了 道题． 【答案】38 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，由每道题选对得3分，不选、错选均扣1分，确定出答对与答错的题目数量，由等量关系列方程求解即可得到答案．根据总分数为102分得出等式方程是解题关键． 【详解】解：设答对了道题， 由题意可得，解得， 故答案为：38． 【变式5-2】甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，求甲队胜了多少场？ 【答案】甲队胜了场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：胜场的得分平场的得分分，据此列出方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设甲队胜了场，则平了（）场，由题意得 ， 解得：， 答：甲队胜了场． 【变式5-3】据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键； （1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积分；设胜一场积a分，结合表中第一行的信息得到方程，即可求得胜一场积分； （2）设该班胜了x场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分， ∴负一场的积分为：（分）； 设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得：， 解得：， ∴胜一场积2分； 故答案为：1，2； （2）解：能； 理由如下： 设该班胜了x场，根据题意可得： ， 解得：， ∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则胜场得12分，负场得6分，该班的胜场积分是负场积分的2倍． 答：若该班赛12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 【考点题型六】古典方程问题 【例6】水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 【变式6-1】我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设设共有位客人住店，根据客房数相等列方程即可． 【详解】解：设共有位客人住店， 根据题意，得， 解得， 所以这批住店的客人共63人． 故选：B． 【变式6-2】我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设绳长x尺，根据井深不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设绳长x尺， 根据题意得，． 故答案为：． 【变式6-3】据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【考点题型七】方案选择问题 【例7】某工厂生产一种产品，每件产品的出厂价为 40元，其成本价为 20元，在生产过程中平均每生产一件产品有0.1m的污水排出，为净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案． 方案一∶工厂污水先净化处理后再排出，每处理1m污水所用费用为2元，并且每月排污设备损耗为15000元． 方案二∶工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1m污水需付8元的排污费． (1)设该工厂每月生产x件产品，则方案一的利润是 元，方案二的利润是 元．（用含x的式子表示） (2)当该工厂每月生产多少件产品时，依方案一处理污水每月所获利润比依方案二处理污水每月所获利润少6000元？ (3)当该工厂每月生产10000件产品时，若你作为厂长，在获得更多利润的前提下，会选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明．（利润=出厂价-成本价-污水处理费） 【答案】(1) (2)15000 (3)方案二 【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值，一元一次方程的应用， 对于（1），根据总利润减去处理污水的费用可得答案； 对于（2），根据方案一每月所得利润减去方案二每月所得利润等于6000列出方程，求出解即可； 对于（3），分别求出所得利润，比较可得答案． 【详解】（1）方案一的利润为：（元）； 方案二的利润为：（元）． 故答案为：； （2）根据题意，得 ， 解得． 所以当该工厂每月生产15000件产品时，方案一处理污水每月所获利润比方案二每月所获利润少6000元； （3）当时， ， 因为， 所以选择方案二． 【变式7-1】某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 【变式7-2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【答案】方案三获得利润最大，最大利润为75万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是设未知数，通过方程计算出精加工和粗加工的天数，从而算出利润解题．由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果． 【详解】解：方案三获得利润最大，理由如下： 方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， （万元）， 将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元； 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨）， 则剩下（吨）在市场上直接销售， （万元）， 尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润万元； 方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜， 依题意得，， 解得， 得精加工蔬菜（吨），粗加工蔬菜（吨）， （万元）， ， 方案三获得利润最大，最大利润为75万元． 【变式7-3】当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 【考点题型八】数字问题 【例8】将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： (1)十字框中5个数之和是41的几倍？ (2)设十字框中间的数为，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． (3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)5倍 (2)见解析， (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，规律型：数字的变化类，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）将十字框中的5个数相加除以41即可得出结论； （2）观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （3）假设能，令，求出的值，根据为偶数不是奇数即可得出假设不成立，此题得解． 【详解】（1）解：， 答：十字框中5个数之和是41的5倍． （2）解：∵十字框中间的数为，左边的数为，右边的数为，上面的数为，下面的数为， ∴这十字框中五个数的和为： ． （3）解：假设能，设中间的数为， 根据题意，得：， 解得：． ∵400为偶数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2000． 【变式8-1】观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第8个数分别是______，______，______； 第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2045，求圈住的这5个数． (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为a，若，直接写出n的值______． 【答案】(1)①256，255，；②0 (2)256，255，，1023，1024 (3)11 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数大小比较． （1）①观察所给三行数，发现它们的变化规律：观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小1，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍，表示出第个数即可解决问题； ②根据①中规律计算即可． （2）设出“”型框中第二行的中间一个数，再结合（1）中发现的规律分别表示出其他数，最后建立方程即可解决问题． （3）对为奇数和偶数时进行分类讨论，再结合（1）中发现的规律分别表示出和，最后建立方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是， 所以第一行的第个数可表示为； 观察第二行数可知，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小1， 所以第二行的第个数可表示为； 观察第三行数可知，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍， 所以第三行的第个数可表示为． 当时，，，， 即每行的第8个数分别是：256，255，． 故答案为：256，255，； ②由①知，第二行的第个数可表示为，令第二行中连续三个数中的中间一个数为，则，， ∴． 故答案为：0； （2）解：令被“”形框框住的下一行的中间数为， 则， 整理得，， ， ， 所以这5个数为：，，，，， 所以被框住的这5个数为256，255，，1023，1024； （3）解：由（1）知，每行数的第n个数分别为，，， 当为奇数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， 解得． 当为偶数时，，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， 整理得，， 此方程无解， 综上所述，的值为11． 故答案为：11． 【变式8-2】将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1) ． (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含的代数式表示 ． 【答案】(1)59 (2)81 (3) 【分析】此题考查了数字类规律． （1）根据题意可得即可求出答案； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是，根据字形框中的四个数之和等于288列出方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数，求出第个奇数即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）设四个数中最大的数是x，则另外三个数分别是， 根据题意得到， 解得， 答：四个数中的最大数是； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数， ∴ 故答案为： 【变式8-3】阅读：对于任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据上述定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数26，66，30中，是“迥异数”的为_____； ②计算_____． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”的值． 【答案】(1)①26；②8 (2)39 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能理解“迥异数”定义是本题的关键． （1）①由“迥异数”的定义即可求得答案；②根据定义计算可得． （2）根据题意知，新两位数与原两位数的和为，从而得出，解答出的值，即可求“迥异数”的值． 【详解】（1）解：根据定义得，个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，这三者中符合题意，故答案为：； 由题意知，，即“迥异数”为，对调个位数字与十位数字后变为，则，，所以中． （2）解：由题意知，新两位数与原两位数的和为 ，， 即，解答， 则“迥异数”为． 【考点题型九】一般行程问题 【例9】一条公路，一辆小汽车已经行了全长的后，超过中点．如果设这条公路全长为，那么列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，根据题目中的等量关系列方程是解题的关键； 根据题意列方程即可； 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【变式9-1】据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题干给定的计算公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）第三圈的圈长减去第一圈的圈长求出第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米，利用题干给定的计算公式，求出第八圈的长即可； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为，根据经过两人在直道第一次相遇，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 答：第三圈半圆形弯道比第一圈半圆形弯道长，小王计算的第八圈的长约； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为， 则， ， ； 答：小王的平均速度为，邓教练的平均速度为． 【变式9-2】甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设快车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解 （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 【变式9-3】玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有50分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是90米/分，骑自行车的速度是步行速度的3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 【答案】玉宇家离歌剧院2430米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设玉宇家离歌剧院x米，分别表示出步行所花的时间和骑自行车花费的时间，再求出总时间进而建立方程求解即可． 【详解】解：设玉宇家离歌剧院x米， 由题意得，， 解得， 答：玉宇家离歌剧院2430米． 【考点题型十】顺逆流航行类行程问题 【例10】一客轮船沿江从A港顺流到达B港需要6小时，从B 港逆流到A港需8小时，该客轮从A港出发开往B港，3小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎掉入江中，则帽子漂流到B 港要 （   ）小时． A．48 B．32 C．28 D．24 【答案】D 【分析】本题考查理论航行问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键． 设A港到B港的路程为1，由路程时间速度就可以求出顺水速度和逆水速度，进而求出水速，设帽子漂流到B港需要的时间是x小时，根据行程问题的数量关系建立方程求其出其解即可． 【详解】解：设A港到B港的路程为1，则顺水速度为，逆水速度为，水流速度为． 设帽子漂流到B港需要的时间是x小时， 由题意得：， 解得：． 故选：D． 【变式10-1】一架飞机在两城间飞行，顺风飞行要5.5小时，逆风飞行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为千米/小时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据速度公式，利用路程相等列方程． 【详解】解：根据题意，顺风时的速度为：千米/小时， 逆风时的速度为：千米/小时， 则方程为：， 故答案为：． 【变式10-2】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了，已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度为多少？ 【答案】船在静水中的速度为． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．设船在静水中的速度为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为 根据题意得： 解得 答：船在静水中的速度为． 【变式10-3】某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【考点题型十一】过桥过隧道类行程问题 【例11】一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18秒，求该火车的长度为多少米? 【答案】该火车的长度为米 【分析】利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设该火车的长度为米，得： 解得， 答：该火车的长度为米。 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式11-1】一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 【答案】(1)， (2)， (3)这列火车的长度是 【分析】本题考查了代数式，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． （1）根据火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程，这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （2）解：从车头进入隧道到车尾离开隧道火车，走的路程为隧道的长度+火车长度， ∴所走的路程为， ∵经过一条长的隧道需要的时间， ∴这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （3）解∶设火车长，根据题意得： 解得：， 答：这列火车的长度． 【变式11-2】已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 【答案】(1)这列火车的长度为200米 (2)这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握火车过桥问题中的等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设火车的长度为米，根据火车的速度不变，列出方程进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：设这列火车的长度是米，由题意，得： ， 解得：； 答：这列火车的长度为200米； （2）（米/秒）； 答：这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒． 【变式11-3】问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 【答案】；； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程． 根据速度=路程时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程； 【详解】解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米， ∴动车的平均速度可表示为米/秒． ∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米， ∴动车的平均速度还可以表示为． ∵火车的平均速度不变， ∴可列方程：． 故答案为：；；． 【考点题型十二】分段收费问题 【例12】国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元． (1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元． (2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量． (3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度； 低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度． 英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)； (2)宇轩家10月份的用电量为470度； (3)英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． （1）根据阶梯电价计费规则列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过420度，再列方程求解； （3）高峰时段用电量执行第一、第二阶梯电价，低谷时段用电量执行第二阶段电价，根据申请“峰谷电价”后，能节约15.5元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：金铎家10月份的电费为（元）， 书铭家10月份的电费为（元）， 故答案为：；； （2）解：用电量为420度时，电费为：（元）， ， 宇轩家10月份的用电量比420度多， 设宇轩家10月份的用电量为度， 则， 解得， 答：宇轩家10月份的用电量为470度； （3）解：设英赫家10月份高峰时段的用电量为度， 则， 整理得， 即， 解得，． 答：英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度． 【变式12-1】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表．例如：某户居民1月份用水，则应收水费：元． 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水12.5，则应交水费多少元？ (2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？ (3)若该户居民4、5月份共用15（其中5月份用水量超过4月份），共交水费44元，则该户居民4、5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)48元 (2)11.5立方米 (3)4月份用水4立方米，5月份用水11立方米 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （2）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （3）设4月份用水，则5月份用水，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）（元） 答：应交水费48元； （2）（元） 答：该户居民3月份用水11.5立方米； （3）∵5月份用水量超过4月份， ∴4月份用水量少于 设4月份用水，则5月份用水 ①当时 解得，此时，舍去 ②当时 解得，此时，符合题意 ③当时 ，方程无解 答：4月份用水4立方米，5月份用水11立方米 【变式12-2】列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 【答案】合伙人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设合伙人数为人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设合伙人数为人 由题意得： 解得： 答：合伙人数为人 【变式12-3】为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【答案】(1)五，； (2)他家七月份的用电量是306度． 【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键． （1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费； （2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度， 元， （2）解：∵， ∴用电量大于200度， 设用电量为x度，由题意得， ， 解得：， 答：他家七月份的用电量是306度． 【考点题型十三】数轴上动点问题问题 【例13】如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离； (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度． 【答案】(1) (2)14 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，行程问题（一元一次方程的应用），解一元一次方程等知识点，根据行程问题中的等量关系建立方程并求解是解题的关键． （1）根据左减右加即可求得点所对应的数； （2）先根据“时间路程速度”求出运动时间，再根据“路程速度时间”求解即可； （3）分两种情况：运动后的点在点右边个单位长度；运动后的点在点左边个单位长度；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， 点所对应的数是； （2）解：运动时间（秒）， ，两点间距离（个单位长度）； （3）解：分两种情况： 运动后的点在点右边个单位长度， 设经过秒，两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 运动后的点在点左边个单位长度， 设经过秒，两点相距个单位长度，依题意有： ， 解得：； 经过秒或秒，两点相距个单位长度． 【变式13-1】先阅读材料：如图（1），在数轴上点示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是，点表示的数是，且有，点表示的数是6． (1)________，________： (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动到，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动分别到，，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①则点表示的数是________，________（用含的式子表示） ②请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)若点点分别以4个单位每秒和2个单位每秒的速度相向而行，则几秒后、两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①，．②不变，值为 (3)在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）①根据题意表示出点、，所表示的数，即可得出结论； ②先求出，然后代入化简即可得出结论； （3）求出点A的路程为，点C的路程为，然后分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故，， ∴，， 故答案为：，． （2）解：①由题意可知：点表示的数是：，点表示的数是：，点表示的数是：， ∴ ． 故答案为，． ②由①可知，， ∴， ∴的值不随着时间的变化而改变，其定值为， （3）解：由题意可知，点A的路程为，点C的路程为，的距离为， ∴可分为相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度， 两种情况的方程分别为：， 解得和， ∴在秒或秒后、两点相距2个单位长度． 【变式13-2】如图，已知点，点是直线上的两点，且，点和点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点、同时出发在直线上运动，运动时间为． 请回答下列问题： (1)若点向右运动，点向左运动，求为何值时、两点相遇？ (2)若点、均向右运动，求为何值时、两点相遇？ (3)若点、均向右运动，当、两点之间距离为时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题），解一元一次方程等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“相遇时、所走的路程的长度”列出方程，解方程即可求出的值； （2）当、均向右运动时，、两点相遇，此时，、两点运动的路程差的长度，据此列出方程，解方程即可求出的值； （3）分两种情况讨论：在的左边；在的右边；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：时、两点相遇； （2）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：时、两点相遇； （3）解：当、两点之间距离为时，有两种情况： 在的左边， 此时，、两点运动的路程差的长度减去， 即：， 解得：； 在的右边， 此时，、两点运动的路程差的长度加上， 即：， 解得：； 的值为或． 【变式13-3】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14． ∴点B表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇， 则， 解得， 即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇； ②设点P运动t秒 根据题意得： 当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 1．新型冠状肺炎疫情在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有40名工人，每人每天可生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？（　　） A．15人 B．20人 C．14人 D．30人 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳，利用生产耳绳的总数量是生产口罩面总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排x名工人生产口罩面，则安排名工人生产耳绳， 根据题意得：， 解得：， ∴应安排15名工人生产口罩面． 故选：A． 2．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 3．装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据工作总量一定，判断出工作效率与工作时间成反比例，由此列出方程解答即可． 【详解】解：设实际x天可以完成， 由题意得：． 故选：B． 4．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：， 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 5．如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，根据前四个图案，得到外侧边上的点的个数的一般性规律和内部三角形的个数的一般性规律，从而得到结果． 【详解】解：第一个图案，外侧边上有3个“●”，内部“△”的个数为1， 第二个图案，外侧边上有6个“●”，内部“△”的个数为， 第三个图案，外侧边上有9个“●”，内部“△”的个数为， 第四个图案，外侧边上有12个“●”，内部“△”的个数为， …… 第n个图案，外侧边上有个“●”，内部“△”的个数是， ∵内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴第17个图案时，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 故选：B． 6．我校七年级A班共有44名学生，其中女生人数比男生人数的多5，求这个班的男生人数．设这个班有x名男生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据女生人数+男生人数=总人数，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 7．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒（  ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设壶中原来有酒x升，根据“遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设壶中原来有酒x升， 根据题意得：， 解得：， ∴壶中原来有酒升． 故选：B． 8．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 9．某炼铁厂接到一批原料加工任务吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工吨．若甲生产线独立加工天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工天，刚好全部加工完毕．甲生产线平均每加工吨需用电4千瓦时，乙生产线平均每加工吨需用电千瓦时，则完成这批加工任务需用电 千瓦时． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设甲生产线每天生产吨，则乙生产线每天生产吨，由题意列出方程解出的值，再根据甲生产线加工一吨需用电千瓦时，乙生产线加工一吨需用电千瓦时，求解即可． 【详解】解：设甲生产线每天生产吨，则乙生产线每天生产吨， 由题意得， 解得，所以， 甲生产线每天生产吨，乙生产线每天生产吨， 需用电：(千瓦时)， 即：完成这批加工任务需用电千瓦时． 故答案为：． 10．又到了桔子成熟的时节，源源食品厂以新鲜桔子为原材料加工制作的桔子罐头深受市场的欢迎．源源食品厂有，两条加工相同原材料的生产线，生产线将吨原材料加工成桔子罐头需要天；生产线将吨原材料加工成桔子罐头需要天．第一批，该厂将7吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线在相同时间内完成了加工，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ，第二批开工前，该厂按第一批的分配结果分配了7吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在相同时间内加工完各自分配到的所有原材料，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键． 设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案． 【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为吨，依题意可得： ， 解得：， ∴分配到B生产线的吨数为（吨）， ∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为； ∴第二批开工时，给生产线共分配了吨原材料，给生产线共分配了吨原材料， ∵加工时间相同， ∴， 解得：， ∴； 故答案为，． 11．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要 天． 【答案】/ 【分析】先求得原计划的工效，等量关系为：原来4天的工作量+工效提高后的工作量＝，把相关数值代入求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键． 【详解】解：完成这批零件的一半，一共需要x天， ∵18天可以完成它的， ∴原计划的工效为， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如图，在一块长为16米，宽为米的长方形草地上，要修建两条宽为2米的长方形小路，若修建后的草地面积（图中阴影部分）为修建前草地面积的，则修建后的草地面积为 平方米． 【答案】168 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意直接建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：利用平移的性质得，修建后的草地长为米，宽米的长方形， 根据题意，得， 解得， 所以修建后草地面积为（平方米）． 故答案为：168． 13．一个标准篮球场的周长是，宽是长的，标准篮球场的长是 米． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设标准篮球场的长是，则标准篮球场的宽是，根据标准篮球场的周长是，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设标准篮球场的长是，则标准篮球场的宽是， 根据题意得：， 解得：， ∴标准篮球场的长是28米． 故答案为：28． 14．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 15．当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协” 第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当统的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家店乒乓球拍标价均为每副120元，乒乓球的标价均为每盒40元，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按标价打8.5折，现该班需购买球拍6副，乒乓球盒（不少于6盒）． (1)去甲店购买总费用为 元；去乙店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示） (2)当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样？ (3)当购买40盒乒乓球时，去哪家店购买更划算？ (4)当购买40盒乒乓球时，你有其它更省钱的方案吗？并按该方案计算其费用． 【答案】(1)，； (2)22盒 (3)当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算； (4)有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，根据两店给出的优惠方案，用含的代数式表示出去甲、乙两家店购买所需总费用是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店给出的优惠方案，即可用含的代数式表示出去甲、乙两家店购买所需总费用； （2）根据甲、乙两家店所需费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）将，代入（1）的结论中，比较后即可得出结论； （4）结合两店给出的优惠方案，找出更省钱的方案，再求出该方案所需总费用即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 去甲店购买总费用为元； 去乙店购买总费用为元． 故答案为：，； （2）根据题意，得 ， 解得． 答：当购买22盒乒乓球时，甲、乙两家店所需费用一样； （3）当时，； ． ， 当购买40盒乒乓球时，去乙店购买更划算； （4）有更省钱的方案， 在甲店购买6副球拍，在乙店购买（盒乒乓球， 所需费用为． 答：有其它更省钱的方案，在甲店购买6副球拍，乙店购买34盒乒乓球，该方案所需费用为1876元． 16．周末7个好朋友租了两辆出租车从A地一起去B地看演出，途中一辆车在离B地还有18千米处发生故障，只得由另一辆出租车将大家送达B地，但此时距离B地的演出开始还剩下50分钟，这辆出租车有如下两种方案可以实施： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待出租车返回接送 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与出租车相遇后上车前行 相关数据： 出租车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆出租车限乘5人． (1)若按方案一实施，7人能否赶上B地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证7人在规定的时间到达B地的演出现场． 【答案】(1)不能赶上地的演出，理由见解析 (2)能，计算见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算； （1 ）利用时间路程速度，由出租车行驶的路程为千米可求出其余人到达地所需时间，由该值大于分钟，即可得出答案； （2 ）设出租车返回接上其余人时，其余人步行了千米，利用时间路程速度，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，利用时间路程速度，可求出其余人到达地所需时间，再将其与分钟比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：若按方案一实施，人不能赶上地的演出，理由如下： 其余人到达地所需时间为（分钟）， ， ∴若按方案一实施，7人不能赶上B地的演出； （2）解：设出租车返回接上其余人时，其余人步行了千米， 根据题意得：， 解得：， 其余人到达地所需时间为（分钟） ， 方案二能保证人在规定的时间到达地的演出现场． 17．有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重 千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是元/千克，售价是m元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，最后出售这20箱苹果共盈利1507元，求m的值． 【答案】(1) (2)千克 (3)15 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）用最重的减去最轻的列出算式进行计算即可； （2）根据表格中的数据列出算式进行计算即可； （3）根据出售这20箱苹果共盈利1507元，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：根据题意可知： （千克）， ∴20箱苹果的总重量为：（千克）； （3）解：，                                 解得：， 答，苹果售价是15元/千克． 18．如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作） (1)则点表示的数为 ；点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是18个长度单位． 【答案】(1)； (2)或 (3)为2.4或9.6或12或24秒时，点和点之间的距离是18个长度单位 【分析】本题考查了数轴上数的表示，线段的和差，列一元一次方程方程解决问题，熟练应用一元一次方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键． （1），，得出点表示的数；点到点、点的距离相等，则是的中点，据此可得点表示的数； （2）根据题意列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数是． ， 点到点、点的距离相等， 点表示的数为； 故答案为：；； （2）设经过秒钟后，根据题意得： 或， 解得或， ， ； 点在数轴上对应的数是或． （3）①第一次相遇前， ， ． ②第一次相遇后， ， ． ③第二次相遇前，点还没有到达，点返回后，、就相距18个单位． ， ． ④设秒后第二次相遇， ， ， 即第18秒时第二次相遇， 后，不动，动． ， ． 为2.4或9.6或12或24秒时，点和点之间的距离是18个长度单位． 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