压轴专题08 抛物线焦点弦性质的应用（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第一册）

压轴专题08 抛物线焦点弦性质的应用 目录 1 2 一．x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 2 二．|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 3 三． ＋＝的应用 3 四． 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 4 4 一．抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二．设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 三．抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)＋＝为定值． 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷． 一．x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 【例1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 【例2】已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【解题技法】通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速地得到结果． 对点训练 1.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　) A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点A，B位置有关 2.已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－2 二．|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 【例3】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 【例4】已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题技法】利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题． 对点训练 1.经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________. 2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为________． 三． ＋＝的应用 【例5】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B. C．5 D．6 【解题技法】将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题． 对点训练 1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C. D. 2.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于(　　) A．9或6 B．6或3 C．9 D．3 四． 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 【例6】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【例7】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 【解题技法】把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解． 对点训练 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是(　　) A．y轴 B．x＝－1 C．x＝－2 D．不存在 2.过抛物线y2＝2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为(　　) A．15° B．30° C．45° D．不确定 1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A. B．p C．2p D．无法确定 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于（    ） A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1 B．2 C. D. 4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　) A. B. C．1 D．2 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于(　　) A. B．2 C. D．1 6.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ） A． B． C．4 D．5 7.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是(　　) A．x1x2＝ B.·＝－p2 C．∠AMB＝90° D.＋＝ 12．已知抛物线11．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　) A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥ D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 13．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝－1 B．若＋＋＝0，则2||＝||＋|| C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A.·＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.＋＝ D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 15．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______. 16．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________. 17．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 19．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是 . 20.已知直线：与抛物线：恒有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 21．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求直线l的斜率． 22．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标； (3)若弦MN过焦点F，求证：＋为定值． 23．设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 24．已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. (1)求的方程； (2)已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 25．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 26．已知点为抛物线的焦点，过的直线交于点，．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)已知圆． （i）若直线与，都相切，求的方程； （ii）点是上的动点，点是轴上的动点，若四边形为菱形，求所有满足条件的点的纵坐标之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题08 抛物线焦点弦性质的应用 目录 1 2 一．x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 2 二．|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 4 三． ＋＝的应用 5 四． 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 6 8 一．抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二．设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 三．抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)＋＝为定值． 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷． 一．x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 【例1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 【答案】C 【解析】设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 直线AB的方程为x＝my＋， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12， 解得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 【例2】已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【解析】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 【解题技法】通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速地得到结果． 对点训练 1.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　) A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点A，B位置有关 【答案】C 【解析】方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0,1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角． 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3<0，故∠AOB为钝角． 2.已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于(　　) A．－ B．－ C．－1 D．－2 【答案】B 【解析】方法一　依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋， 由消去y整理得x2－kx－＝0，∴x1x2＝－ 方法二　y＝2x2即x2＝y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 二．|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 【例3】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 【解】依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 【例4】已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 【解题技法】利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题． 对点训练 1.经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________. 【答案】2 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14， ∴14＋p＝，∴p＝2. 2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为________． 【答案】4 【解析】由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由中点坐标公式可得PQ的中点M， 由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为＋1＝4. 三． ＋＝的应用 【例5】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B. C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 【解题技法】将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题． 对点训练 1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C. D. 【答案】C 【解析】如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2， 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 2.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于(　　) A．9或6 B．6或3 C．9 D．3 【答案】D 【解析】方法一　设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0， 则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6， 则x1＝4，由y＝8x1，得y1＝4， 所以kAB＝＝2， 直线AB的方程为y＝2(x－2)， 将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0， 所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3. 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝， 所以＝－＝，可得|BF|＝3. 四． 以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 【例6】已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（    ） A．轴 B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】抛物线焦点为，即，， 故抛物线，准线方程为，由焦点弦性质知，以弦为直径的圆与准线相切. 故选:B． 【例7】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 【证明】如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′， 则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 在直角梯形BB′A′A中， |MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|， 即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径． 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 【解题技法】把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解． 对点训练 1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是(　　) A．y轴 B．x＝－1 C．x＝－2 D．不存在 【答案】B 【解析】抛物线焦点为F(1,0)，即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B. 2.过抛物线y2＝2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为(　　) A．15° B．30° C．45° D．不确定 【答案】B 【解析】如图，取AB的中点G，连接MG， 则以AB为直径的圆与准线l切于点M， 根据抛物线性质，MG∥x轴，且MF⊥AB， ∵∠AMF＝60°， ∴∠GAM＝∠GMA＝30°， ∴∠MFO＝∠GMF＝30°. 1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A. B．p C．2p D．无法确定 【答案】C 【解析】当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p. 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于（    ） A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 【答案】A 【解析】按照焦点弦AB是否与x轴垂直分类，设直线方程，结合韦达定理即可得解. 【详解】，，,故选A 3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1 B．2 C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　) A. B. C．1 D．2 【答案】C 【解析】由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1. 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于(　　) A. B．2 C. D．1 【答案】C 【解析】由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝， 由|AF|＝4，|BF|＝1，得＝＋1＝，解得p＝. 6.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A（点A在第二象限），两点，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【解析】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为， 与联立得：， 即， 设， 则，， ， 则，， 所以. 故选：A 7.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线的定义得 ， 在直角中，可得，所以， 在直角中，因为，可得， 由，所以，解得， 因为，所以，解得，所以抛物线方程为. 故选：D. . 8．抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C    9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得直线， 由得 设，则， 故， 解得，代入（*）式，解得． 将代入直线的方程中， 解得，故， 故选:B． 10．已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意得， 当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去， 当过的直线斜率存在时，设为，联立得， ， 设，则， 因为，所以， 又，故，解得， 故，解得， 故，解得. 故选：B 11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是(　　) A．x1x2＝ B.·＝－p2 C．∠AMB＝90° D.＋＝ 【答案】ABD 【解析】由抛物线焦点弦的性质知ABD正确． ∵M点坐标为，故＝，＝，·＝x1x2＋(x1＋x2)＋＋y1y2＝m2p2. 当m≠0时，·≠0，即∠AMB≠90°，故C错误． 12．已知抛物线11．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　) A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥ D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确； 对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确； 对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确； 对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)， 联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，得k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误． 13．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线的准线方程为x＝－1 B．若＋＋＝0，则2||＝||＋|| C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确； 因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2， 所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，故B正确； 因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确； 设AC的中点为M(x0，y0)， 因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2， 所以2x0＋2≥6，得x0≥2， 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确． 14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A.·＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.＋＝ D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 【答案】ACD 【解析】如图所示， F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，|CD|＝. 对于A，·＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故正确； 对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝＝，故其最小值为8p2，故错误； 对于C，＋＝＋＝，故正确； 对于D，若|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2， 则(x1＋x2)＝， ∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝， ∴sin2θ＝，sin θ＝(舍负)， 又k>0，∴θ＝， 则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故正确． 15．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______. 【答案】8 【解析】设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，所以＝1，解得p＝2，则|AB|＝＝＝8. 16．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________. 【答案】 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2， 显然直线AB的斜率存在， 设AB的方程为y＝k(k≠0)， 将直线方程与抛物线方程联立， 消去y得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，① 则x1＋x2＝. 因为|AB|＝p＋(x1＋x2)＝1＋＝， 所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|， 故|AF|＝x1＋＝＋＝. 17．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 【答案】 【解析】易知抛物线中p＝，焦点F， 直线AB的斜率k＝， 故直线AB的方程为y＝， 由抛物线的性质可得弦长|AB|＝＝12， 又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝. 18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为， 联立，得． 不妨设在第一象限，,，,， 则， 又，，即， 联立，解得或（舍， 则，即，进而可得 所以 解得，    19．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是 . 【答案】 【解析】  因为，所以，抛物线的准线方程为， 设垂直于准线，垂足为，则，， 又因为，所以，又， 所以，所以，所以点横坐标为， 代入，则，，所以， 所以. 20.已知直线：与抛物线：恒有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 【解】（1）将直线与抛物线方程联立，得， 又因为直线与抛物线恒有两个交点， 所以其判别式对恒成立， 故须使方程的判别式，又， 所以解得，即的取值范围为. （2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：． 将直线与抛物线方程联立，并令，，得，， 由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故． 21．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求直线l的斜率． 【解】(1)由题意|PF|＝1＋＝2，p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x. (2)方法一　由(1)知焦点为F(1,0)， 若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意， 因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝， |AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝8， 解得k＝1或k＝－1. 方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意， 设直线l的倾斜角为α， 根据焦点弦的性质，|AB|＝， 代入可得sin2α＝＝， 即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1. 22．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标； (3)若弦MN过焦点F，求证：＋为定值． 【解】(1)由已知易得F(1,0)， 则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)设点P在抛物线C的准线上的射影为点B， 将x＝3代入抛物线C的方程得y＝±2， 则点A在抛物线内部， 根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|PA|＋|PF|的值最小，则P，A，B三点共线. 可得P(x1,2)，22＝4x1⇒x1＝1，即P(1,2)．此时|PA|＋|PF|＝2＋2＝4. (3)证明　因为MN 为焦点弦， 所以＋＝. 又p＝2，所以＋＝1为定值． 23．设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 24．已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. (1)求的方程； (2)已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 【解】（1）由题意可知，，则过点的直线为， 与抛物线方程联立得，则， ，得，所以抛物线的方程为； （2） 由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线：，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆：的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，② 由①②得，得或， 所以直线的方程为或； 25．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【解】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 26．已知点为抛物线的焦点，过的直线交于点，．当的斜率为1时，． (1)求的方程； (2)已知圆． （i）若直线与，都相切，求的方程； （ii）点是上的动点，点是轴上的动点，若四边形为菱形，求所有满足条件的点的纵坐标之和． 【解】（1）由题意可知，， 则过点的直线为，与抛物线方程联立得 ，则， ，得， 所以抛物线的方程为； （2）（ⅰ）由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，②， 由①②得，得或， 所以直线的方程为或； （ⅱ）设直线，与抛物线方程联立，得 ，， 设的中点为，则， 设，， 因为四边形为菱形，所以，得， 点在圆上， 所以，即， 所以或（舍） 所以，即点的纵坐标为. 即满足条件的纵坐标之和为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$