7.2正弦、余弦同步练习 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

7.2正弦、余弦 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，AB=25，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为5的菱形中，对角线，点O为菱形的中心，作，垂足为E，则的值为（） A． B． C． D． 6．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　 A．0.4 B．0.5 C． D．0.6 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则sinB的值为（　　　） A． B． C． D． 8．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 9．中，，，，（    ） A． B．2 C． D． 10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=9，sinB=0.6，则AB等于（　　） A．10 B．12 C．15 D．18 11．从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别是AB，DC的中点．若AD＝10cm，AB＝6cm，则这个正六棱柱的侧面积为（      ） A．360cm2 B．cm2 C．180cm2 D．cm2 12．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠A＝ 度． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ． 15．如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA= ． 16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足为D．若cos∠EAC＝，CE＝2，则△OAB的面积是 ． 17．如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止．点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则sin∠EBC＝ ． 三、解答题 18．探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，点D为边的中点，点M为线段上一动点(不与点C，D重合)，将线段绕点M顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，． (1)【初步感知]如图1，若点M在线段上，则的度数是___________； (2)【拓展探究]如图2，若点M在线段上，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； (3)【问题解决】若，则点M在线段上运动的过程中，当时，请直接写出线段的长． 19．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且AE：AD＝3：4． (1)判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； (2)求直线CE与x轴交点P的坐标； (3)是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 20．黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 21．综合与实践： 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为的正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．    猜想与计算： (1)四边形的形状为______； (2)若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积． 22．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 23．已知，以C为圆心，长为半径的圆，交于D，交的延长线于点E，过E作的垂线交的延长线于F，连接，且平分． (1)求证：与相切于点B． (2)若，，求圆的半径． 24．如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D C D D C A B 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】根据勾股定理可得，再根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边． 2．A 【分析】首先根据勾股定理计算出BC的长，再根据cosB=可算出答案． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=25， ∴CB=， ∴cosB==， 故选A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义：锐角的邻边与斜边的比． 3．A 【分析】作于点，首先求出扇形的半径的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径． 【详解】解：如图，作于点， ∵是斜边长为的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， 设底面半径为， 则， 解得：， ∴圆锥的底面半径为． 故选：A 【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长． 4．D 【分析】根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且，，， ∴的正弦值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正弦值的综合，掌握格点三角形的特点，勾股定理的逆定理判断三角形，正弦的计算方法是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义，进而证，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，边长为5，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可． 【详解】解：在Rt△AOH中，sinA， ∴OA＝2OH， 在Rt△BOH中，sinB， ∴OB＝3OH ∵AB＝3米， ∴2OH+3OH＝3， 解得：OH＝0.6（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．D 【分析】设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sinB． 【详解】解：设BC=a，则AB=3a， ， sinB=， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长． 8．C 【详解】试题解析：∵sin30°=cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选C． 9．A 【分析】求出斜边AB，再求∠A的正弦值． 【详解】解：∵，，， ∴， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义． 10．B 【分析】利用正弦函数得出BC=15，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正弦的定义得到sinB==0.6， ∵AC=9， ∴BC=15， 根据勾股定理得：． 故选：B． 【点睛】题目主要考查正弦函数及勾股定理解三角形，理解正弦函数的定义是解题关键． 11．B 【分析】根据AE的长，求底面正六边形的边长，用正六边形的周长×AD，即可得出答案． 【详解】解：如图：正六边形边长为AG、BG，连接AB，GE， ∵E为AB的中点，AG=BG， ， ， ∵正六边形的一个外角为 ， ， ． 在中， ， ， ， ∴正六棱柱的侧面积为∶ ． 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解直角三角形，侧面积公式，掌握三视图和解直角三角形是解题的关键． 12．C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 13．30 【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数 【详解】∵∠C=90°，AC=5，AB=10， ∴cosA===， ∴∠A=30°， 故答案为30． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA． 14． 【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】在网格上取个点D，得 ∵CD=4，AD=3 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识． 15．. 【详解】由勾股定理，得 AC， cosA=. 考点：锐角三角函数的定义． 16．3 【分析】如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE，由AF是直径，可得∠AEF＝90°，可证BC∥FE,可证CE＝BF＝2，由cos∠EAC＝，设AF＝10x，AB＝3x，由勾股定理AF2＝AB2+BF2，可求x＝，利用面积公式△OAB的面积＝S△ABF即可． 【详解】解：如图，延长AO，交⊙O于F，连接BF，FE, ∵AF是直径， ∴∠AEF＝90°， 又∵AE⊥BC， ∴BC∥FE， ∴， ∴∠EAC＝∠BAF， ∴CE＝BF＝2， ∵cos∠EAC＝， ∴cos∠BAF＝， 设AF＝10x，AB＝x， ∵AF2＝AB2+BF2， ∴100x2＝4+90x2， ∴x＝， ∴AB＝6， ∴△OAB的面积＝S△ABF＝××AB×BF＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，掌握圆中平行弦的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键． 17． 【分析】根据图象可以得到BC的长度，作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF=CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值． 【详解】解：由图象可知，BC＝BE＝8×2＝16， 作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示， 由图象可知，三角形PBQ的最大面积为32， ∴32， 解得EF＝4， ∴sin∠EBC， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件． 18．(1)90° (2) (3)或 【分析】（1）连接，过点E作于点N，先证明， 继而得到．再利用等量代换，证明，可得，结合，计算即可； （2）连接，过点E作,交延长线于点G，先证明，继而得到．再利用等量代换，证明，可得，结合特殊角的三角函数，证明即可； （3）当点M在线段上时，连接，计算根据题意证明，利用正切函数计算，继而计算即可； 当点M在线段上，利用同样思路求解即可． 【详解】（1）连接，过点E作于点N， ∵，点D为边的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）连接，过点E作,交延长线于点G， ∵，点D为边的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）当点M在线段上时，连接， ∵，点D为边的中点，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在线段上，连接， ∵，点D为边的中点，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，一线直角全等模型的应用，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握模型，三角函数是解题的关键． 19．(1)相似，见解析 (2)(16，0) (3)存在，满足条件的直线有2条：y1＝﹣2x+12，y2＝2x﹣12 【分析】（1）结论△OCD与△ADE相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD＝∠EDA，由此可证得两三角形相似． （2）求出C、E点的坐标，根据待定系数法即可解决问题． （3）应该有两条，①直线BF满足条件，根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式． ②假设直线DN满足条件，因为△PDM∽△NCM，推出∠PDM＝∠NCM，推出∠ODN＝∠PCO，所以tan∠PCO＝tan∠ODN，得到，即，推出ON＝12，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式． 【详解】（1）解：△OCD与△ADE相似． 理由如下： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠COD=∠A=∠B=90°， 由折叠知，∠CDE＝∠B＝90°， ∴∠CDO+∠EDA＝90°， ∵∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠OCD＝∠EDA． 又∵∠COD＝∠DAE＝90°， ∴△OCD∽△ADE． （2）解：∵， ∴设AE＝3t，则AD＝4t， 由勾股定理得DE＝5t， ∴OC＝AB＝AE+EB＝AE+DE＝3t+5t＝8t． 由（1）△OCD∽△ADE，得 ， ∴， ∴CD＝10t． 在△DCE中，∵CD2+DE2＝CE2， ∴（10t）2+（5t）2＝（5 ）2， 解得t＝1． ∴OC＝8，AE＝3，点C的坐标为（0，8）， 点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+8，则点P的坐标为（16，0）． （3）（3）存在．①直线BF满足条件． ∵CE必垂直平分BD， ∴∠DGP＝∠CGF＝90°， ∵∠CFG+∠FCE＝90°，∠DPG+∠FCE＝90° ∴∠CFG＝∠DPG， ∴△DPG∽△CFG， ∴直线BD符合条件， ∵D（6，0），B（10，8）， ∴直线BD的解析式为y＝2x﹣12． ②假设直线DN满足条件， ∵△PDM∽△NCM， ∴∠PDM＝∠NCM， ∴∠ODN＝∠PCO， ∴tan∠PCO＝tan∠ODN， ∴， ∴， ∴ON＝12， ∵N（0，12），D（6，0）， ∴直线DN的解析式为y＝﹣2x+12． 综上所述，满足条件的直线l有2条：y1＝﹣2x+12，y2＝2x﹣12． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质定理，勾股定理，求一次函数的解析式，解题的关系是明确题意综合掌握各知识点并熟练应用解决问题． 20．(1)千米，平方千米 (2) 【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键． （1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积； （2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中． 【详解】（1）解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． （2）在中，千米，千米， ∴． 故的余弦值为． 21．(1)矩形 (2) 【分析】（1）由题意可得，，进而可证四边形是矩形； （2）由题意可得，由四边形是矩形，可得，则，，，然后根据底面积乘高求体积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由题意可得，， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）解：∵长方体包装盒的底面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该长方体包装盒的体积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质是解题的关键． 22．44米 【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果． 【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H， ∵斜坡米，坡角， ∴米； ∵米， ∴米， ∵根据题意， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 故这栋楼的高度为44米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键． 23．(1)见解析 (2)圆的半径为2． 【分析】（1）证明，即可推出是的切线； （2）利用正弦函数求得，在和中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴且为半径， ∴与相切于点B； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴且， ∴，， 连接，在中，，， 由勾股定理可解得：， 所以圆的半径为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，，由题意知，，则，由，可得，即，由是的中点，可得，由圆周角定理可得，，即，由三角形外角的性质可得，，则，进而可证； （2）由题意知，，，设，则，，证明，则，即，解得，则，即，在中，由勾股定理得，即，求得满足要求的解，如图2，连接，，由题意知是等腰直角三角形，即，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，    由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意知，，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴，即， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， 如图2，连接，，    由题意知是等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$