专题06 圆锥曲线的综合应用（3大基础题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题06 圆锥曲线的综合应用 1、 基础题型 1、 直线与圆锥曲线 2、 圆锥曲线中面积和最值相关问题 3、 圆锥曲线中范围相关问题 2、 重难点题型 1、 圆锥曲线中定点、定值和定直线问题 2、 圆锥曲线中的探索性问题 直线与圆锥曲线 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点. (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长. 2．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知抛物线，其准线方程为. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于不同的两点，求以线段为直径的圆的方程. 3．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程. 4．（19-20高二上·北京·期中）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）． (1)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积； (2)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程． 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C.若为等腰直角三角形，求直线l的方程. 6．（23-24高二上·北京东城·期末）已知椭圆：，点，在上. (1)求椭圆的方程； (2)过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率. 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆过点，，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，设椭圆上一点（不与左右顶点重合），直线与椭圆的另一个交点为，且的周长为6. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆的左顶点，直线，分别与直线交于，两点.试判断：以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由. 圆锥曲线中面积和最值相关问题 1．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且.过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线，分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论； (3)求面积的最大值. 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知椭圆C：（）的一个焦点为，一个顶点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点，，求的面积． 3．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，为直线上一点，过点作的垂线交椭圆于两点，连接与交于点（为坐标原点）.求的值. 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为，的面积为2，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同于顶点的两点M，N关于轴对称，直线与直线交于点，直线与直线交于点.设点，求的值. 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 6．（2012·北京·高考真题）已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 圆锥曲线中范围相关问题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 3．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围． 圆锥曲线的定点、定值和定直线问题 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线. 2．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦距为，下顶点和右顶点的距离为， (1)求椭圆方程； (2)设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点． 圆锥曲线中的探索性问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由； (3)已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 3．（23-24高二上·北京西城·期末）设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知椭圆的上顶点为，圆.对于圆，给出两个性质： ①在圆上存在点，使得直线与椭圆相交于另一点，满足； ②对于圆上任意点，圆在点处的切线与椭圆交于，两点，都有. (1)当时，判断圆是否满足性质①和性质②；（直接写出结论） (2)已知当时，圆满足性质①，求点和点的坐标； (3)是否存在，使得圆同时满足性质①和性质②，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线的综合应用 1、 基础题型 1、 直线与圆锥曲线 2、 圆锥曲线中面积和最值相关问题 3、 圆锥曲线中范围相关问题 2、 重难点题型 1、 圆锥曲线中定点、定值和定直线问题 2、 圆锥曲线中的探索性问题 直线与圆锥曲线 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点. (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长. 【详解】（1） 由题意，由椭圆定义有， 所以的周长为. （2）设， 由题意直线的斜率为，，即， 所以直线的方程为，将它与椭圆方程联立得， 消去并化简整理得， 显然，由韦达定理得， 所以线段的长为. 2．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知抛物线，其准线方程为. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于不同的两点，求以线段为直径的圆的方程. 【详解】（1）由题意知，所以. 所以抛物线的方程为. （2）联立，得，其中， 设，线段的中点为. 则，所以. ， 所以以线段为直径的圆的圆心为，半径为4， 所以以线段为直径的圆的方程为. 3．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【详解】（1）抛物线的焦点， 则两点所在的直线方程为：， 代入抛物线，得，， 则，故， ∴抛物线的方程为 （2）由题意，设直线的方程为，， 联立，得， ∴，解得且， ， ∴点的横坐标为， ∴ 到直线距离， ∴的面积， 的面积， 由题意， ∴，整理得，解得或， ∴直线的方程为或. 4．（19-20高二上·北京·期中）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）． (1)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积； (2)若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程． 【详解】（1）解：由题意，当的斜率为1时， 代入抛物线方程得 设，，，，，， 点到直线的距离 的面积； （2）解：易知直线时不符合题意．可设焦点弦方程为，，，，， 代入抛物线方程得，则 ，， ，，，，， ，． 故的方程为 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知椭圆E：（）与y轴的一个交点为，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线交于点C.若为等腰直角三角形，求直线l的方程. 【详解】（1）由已知得解得，. 所以椭圆E的方程为. （2）方法1：由题意可知，直线l与y轴不垂直， 又当l与x轴垂直时，显然. 所以，设直线l的方程为（）， 联立方程，消去y整理得（*），易得， 设点，则由点及方程（*）的根与系数的关系得，， ， 因为，所以直线的方程为， 将代入，解得.故点C的坐标为 . 由为等腰直角三角形知，即， 化简整理得，即，解得 所以直线l的方程为或. 方法2： 由题意可知，直线l与y轴不垂直，又当l与x轴垂直时，显然. 过点A作直线的垂线，垂足为D，再过点B作直线的垂线，垂足为F. 因为，所以. 当时，易判断.所以. 由，求得， 由此可知点B的坐标为或， 直线l的斜率或， 所以直线l的方程为或. 6．（23-24高二上·北京东城·期末）已知椭圆：，点，在上. (1)求椭圆的方程； (2)过点作与x轴不垂直的直线，与椭圆C交于不同的两点A，B，点D与点A关于x轴对称，直线与轴交于点Q，O为坐标原点、若的面积为2，求直线的斜率. 【详解】（1）由题意得，则椭圆C的方程为，代入，可得. 故椭圆C的方程为 （2）第二问图见下    设直线的方程为，. 由得. 由，得. 设，，则. ，. 直线的方程为， 令，得. 所以. 因为， 所以.经检验满足. 所以直线的斜率为. 7．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 【详解】（1）椭圆，，， P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，过点P 作轴，垂足为，故面积为， 若要面积最大，则需最长，此时点P在轴上，即时，使得面积最大，,,. 椭圆C的方程为，离心率为. （2）P为椭圆C上的动点，过点的直线与椭圆C交于另一点Q， 可记，， 当直线的斜率不存在时，即轴时，， 此时直线分别与y轴相交于点E，F．此时，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 联立 ，消去可得,化简得，由韦达定理可得 ， 所以， 由，，，则直线的方程为：，直线的方程为：，因为直线分别与y轴相交于点E，F，令分别代入直线,直线可得：点 ，， 又，在直线方程上，所以有， 分别代入 并化简可得 ， ， ，则，解得，， 故直线的方程为：或， 即或. 8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆过点，，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线与椭圆的另一个交点为，为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【详解】（1）椭圆过点，，故，离心率，故， 则，故； （2）由、，则直线为，即， 联立，可得，则， 故，则，即， 则、，有， 故直线与直线垂直. 9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，设椭圆上一点（不与左右顶点重合），直线与椭圆的另一个交点为，且的周长为6. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆的左顶点，直线，分别与直线交于，两点.试判断：以为直径的圆与直线的位置关系，并说明理由. 【详解】（1）由椭圆定义可得的周长为； 又，解得； 所以椭圆的标准方程为. （2）相切，理由如下： 如下图所示： 易知，设直线的方程为，， 联立，整理可得，显然； 且， 可得直线的方程为，直线的方程为； 所以，设的中点为 可得 ， 即圆心； 则， 易知， 化简可得； 所以以为直径的圆的半径为， 又到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即以为直径的圆与直线相切. 圆锥曲线中面积和最值相关问题 1．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且.过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线，分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论； (3)求面积的最大值. 【详解】（1）由题意得解得， 从而， 所以椭圆C的方程为． （2） 当直线l的斜率不存在时，有，，， 则，，故，即． 当直线l的斜率存在时，设，其中． 联立得． 由题意，知恒成立，设， 则，． 直线的方程为， 令，得，即，同理可得． 所以，． 因为 ， 所以， 综上，点在以为直径的圆的内部. （3）当直线l的斜率不存在时，有，，， 则的面积为． 当直线l的斜率存在时，由于， 点到直线的距离为：， 线段的长为：． 则的面积为， 构造函数，令， 显然函数在区间上单调递减， 且当时，；当时，； 所以，从而面积的范围为； 综上，面积的最大值为. 2．（23-24高二上·北京房山·期末）已知椭圆C：（）的一个焦点为，一个顶点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点，，求的面积． 【详解】（1）由题意可得，，所以， 所以椭圆的方程为， 离心率． （2） 易知直线斜率存在， 设直线的方程为，代入椭圆方程， 整理得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 得， 设，则， 所以 ，， 因为，所以， 整理得，所以， 所以． 3．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，为直线上一点，过点作的垂线交椭圆于两点，连接与交于点（为坐标原点）.求的值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 椭圆的方程为. （2）设则直线的斜率为， （i）当时，则直线与轴垂直，点即为点，则； （ii）当时，则直线的斜率为，则直线的方程， 联立方程，消去得：， 显然，设，则. 直线的方程为，联立方程，解得， 因为，所以点为线段的中点，则； 综上所述：. 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为，的面积为2，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同于顶点的两点M，N关于轴对称，直线与直线交于点，直线与直线交于点.设点，求的值. 【详解】（1）由题意，因为， 所以，即， 又因为，即， 所以，解得，由此得， 故椭圆的方程为； （2）由（1）知，，，，所以直线的方程为. 设，则，所以直线的方程为， 与直线的方程联立，得点的横坐标. 又直线的方程为，与直线的方程联立， 得点的横坐标， 所以 . 因为点在椭圆上，所以，即， 所以. 又，所以P，Q两点关于点对称. 又，，所以A，R两点关于点对称， 所以四边形为平行四边形，即，故. 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）椭圆的标准方程为，可得， 可得直线的方程为， 与椭圆方程联立，可得， 易知，设，所以，， 所以，代入直线的方程得， 所以， 所以直线的方程为， 当时，， 当时，， 所以，， 所以， ， 所以.   . 6．（2012·北京·高考真题）已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【详解】 （1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 圆锥曲线中范围相关问题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 【详解】（1）由题意，，即， 又，所以， 故， 故所求椭圆的标准方程为. （2）如图， 由题意知：直线的斜率存在且不为零， 设，，，，中点， 联立，消去并整理得：， 恒成立， 则，，， ， 则方程为：，即， 化简得： 设直线在轴上截距为，令得， 由可知， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 3．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知椭圆：的短半轴长为1，焦距为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆E于不同的两点，直线分别与直线交于点．求的取值范围． 【详解】（1）依题意知，解得， 所以离心率； （2）由（2）得，椭圆E的方程为，则， 设直线的方程为， 联立得， ，得，且.， 设，， 则， 设，依题意有:，， 因为， 所以， 所以 ， 因为，且，所以， 所以的取值范围是. 圆锥曲线的定点和定直线问题 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，已知M是抛物线C：（）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的，且，l为抛物线C的准线，O为原点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证：M，O，E三点共线. 【详解】（1）方法1：过M作，垂足为A，连结FA，则， 因为，所以，为等边三角形， 故. 因为，所以， 即， 故抛物线C的方程为.    方法2：过M作轴，垂足为G， 则. 设点M的横坐标为， 根据题意得： 解得.抛物线C的方程为.    方法3：设点， 则， 因为在抛物线C上，所以， 化简得， 解得或（舍）. 抛物线C的方程为. （2）证明：抛物线C的焦点，， 直线FM的方程为. 联立方程得， 解得，，所以， M点坐标为，E点坐标为， 因为，.    所以M，O，E三点共线. 2．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【详解】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【详解】（1）由题意可知：，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题意，直线的斜率不为0，设直线，， 联立可得， 显然， 所以，所以， 又因为， 所以， 令， 则， 解得，即， 所以点P在定直线上. 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦距为，下顶点和右顶点的距离为， (1)求椭圆方程； (2)设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）联立得，且, 设, 则有, 故， 因为，所以直线，即，则, 因为， 所以直线，所以． 因为点为线段的中点，所以， 所以， ， ， ， ， ， ， 因为，所以， 直线， 所以直线恒过定点. 圆锥曲线中的探索性问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形. (1)求椭圆的方程； (2)若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由； (3)已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）是定值，理由如下： 设，则，可得， 由（1）可知：， 则， 所以直线和直线的斜率之积是定值. （3）由题意可知：圆的圆心为，半径为， 因为，可知圆在椭圆内，可知切线与椭圆相交， ①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故切线方程为， 若切线方程为代入椭圆方程可得，可得，， 则以为直径的圆的方程为； 若切线方程为代入椭圆方程可得，可得，， 则以为直径的圆的方程为； 联立方程，解得，即两圆只有一个交点， 若存在定点，则定点应为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，整理得， 联立方程，消去得， 设，， 则，， 所以， 所以 即，所以以为直径的圆经过定点； 综上可知，以为直径的圆过定点． 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知椭圆的两个顶点分别为，离心率为椭圆上的动点，直线分别交动直线于点C，D，过点C作的垂线交x轴于点H． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由，又两个顶点分别为， 则，， 故椭圆E的方程为； （2）为椭圆上的动点，则，故直线的斜率存在且不为0， 则直线：，即，则点， 则直线：，即，则点， 则直线的斜率为，故直线：， 令,得， 又在椭圆上，则，整理得， 所以，则， 所以 综上，存在，使得有最大值. 3．（23-24高二上·北京西城·期末）设椭圆左､右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点.已知椭圆的离心率为的周长为8. (1)求椭圆的方程； (2)判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）假设轴上存在一点符合题意， 由题意，设直线， 由消去得， ，， 显然直线的斜率存在，且为， 同理，直线的斜率为， 于是， 由为的一条内角平分线，得， 即，显然此式对任意非零的实数都成立， 因此，解得， 所以轴上存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线. 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知椭圆的上顶点为，圆.对于圆，给出两个性质： ①在圆上存在点，使得直线与椭圆相交于另一点，满足； ②对于圆上任意点，圆在点处的切线与椭圆交于，两点，都有. (1)当时，判断圆是否满足性质①和性质②；（直接写出结论） (2)已知当时，圆满足性质①，求点和点的坐标； (3)是否存在，使得圆同时满足性质①和性质②，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1） 当时，圆满足性质①,不满足性质②． 理由：依题意知，，当时，取圆上点坐标为，此时， 则，，此时，满足性质①， 当取，此时作圆的切线，切线方程为，此时坐标分别为，， 此时，此时与不垂直，不满足性质②， 综上，当时，圆满足性质①,不满足性质②． （2）   由椭圆的上顶点为，得. 由时，圆满足性质①， 设点，. ，. 由得即 由点在圆上，在椭圆上，得 化简得，解得或（舍）. 所以或 所以或. （3）   存在，使得圆同时满足性质①和性质②. 下面进行证明： 当点在时，圆的切线方程为.设. 当时，代入椭圆方程解得. 因为，所以，解得. 此时，符合题意 当时，同理，解得. 所以，若圆满足性质②，则必有成立. 当点不在时，圆的切线的斜率必存在，设其方程为． 直线与圆相切，所以，化简得. 由  得． 由，得． ，． ， 所以. 因为，所以，即. 所以当，圆满足性质②. 当时，取为椭圆的右顶点，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，且切点，满足. 所以，当时，圆满足性质①. 综上，当时，圆同时满足性质①和性质②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$