期末易混易错60题（考题猜想，27种易错热考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

期末易混易错60题（考题猜想，27种易错热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错点一：画钝角三角形的高时出错（共2题） 1．（2023春•沈河区期末）用一块含角的透明直角三角板画已知 的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：用一块含角的透明直角三角板画已知 的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 故选：． 2．（2023春•太平区期末）用直角三角板作的边上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．是边上的高，故此选项不合题意； ．是边上的高，故此选项不合题意； ．不是三角形的高，故此选项不合题意； ．是的边上的高，故此选项符合题意． 故选：． 易错点二：确定等腰三角形的边长时,易忽略三角形的三边关系而出错（共2题） 3．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　　 A．17或22 B．22 C．17 D．13 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，，所以不能构成三角形； 当腰为9时，，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：． 4．（2023春•开江县期末）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的理解，探究下面的问题： （1）已知，求的值． （2）已知等腰三角形的三边长是、、，且满足，求的周长． （3）已知，，求的值． 【解答】解：（1）， ， ，， 解得：，， ； （2）， ， ，， 解得：，， ， 是等腰三角形， ， ， 的周长是22； （3）， ， ， ， ， ， 则，， ， ． 易错点三：忽视三角形的形状而漏解（共2题） 5．（2023春•工业园区校级期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”，例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”，反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 　　； （2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定 　　“梦想三角形”（填是或者不是） （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，，若是“梦想三角形”，求的度数． 【解答】解：（1）当是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为，第三个内角原式，故最小的内角是， 当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：，，最小的内角是 故答案为：或； （2）是“梦想三角形”．理由如下： ，，， ， ， 是“梦想三角形”． 故答案为：是； （3），， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“梦想三角形”， ，或， ， 或． 6．（2021秋•仪征市期末）定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 【解答】解：（1）分割线如图所示：图1中，，；图2中，，；图3中．，； （2）拼接的三角形如图所示： （3）①如图，中，，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． ②如图中，中，，， ，， ， ， ， ． ③如图中，中，，， ，， ，， ， ， ， ， ． ④如图中，中，，，， 假设，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，满足条件的顶角的度数为：或或或． 易错点四：在处理多边形的“截角”问题时漏解（共4题） 7．（瑞安市期末）将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和　　 A． B． C． D．或或 【解答】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形， 内角和可能减少，可能不变，可能增加， 即新的多边形的内角和为或或． 故选：． 8．（恩施市期末）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明． 【解答】解：分三种情况： ①若新多边形为四边形，则内角和为； ②若新多边形为五边形，则内角和为； ③若新多边形为六边形，则内角和为． 9．（淮阳区期末）将一个凸边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为，求的值． 【解答】解：当原多边形不过顶点剪去一个角时， 由，解得：； 当原多边形过一个顶点剪去一个角时， 由，解得：； 当原多边形过两个顶点剪去一个角时， 由，解得：． 或11或12． 10．（2024春•子洲县校级期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【解答】解：（1） ， 故这个多边形的内角和是； 设这个多边形的边数是， 依题意得， ， ．解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 易错点五：全等的对应关系考虑不全面导致出错（共3题） 11．（2023秋•溧阳市期末）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是　 　． 【解答】解：当时，和关于轴对称， 点的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是， 故答案为：或． 12．（2021春•松北区期末）在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标为 　 　． 【解答】解：当时，和关于轴对称， 点的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是， 故答案为：或． 13．（2022秋•建华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，，，在平面内有点，使和全等，则点的坐标为 　 　． 【解答】解：如图所示，当△， ，， ； 当△， ，，， ； 当△， ，，， ， 综上所述，点的坐标为，，，． 故答案为：，，，． 易错点六：错用“SSA”判定三角形全等（共2题） 14．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，，只添加一个条件，使．下列条件中正确的是　　 ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：若添加，则由可得，，即可得到，依据即可得出． 若添加，则由可得，，即可得到，依据即可得出． 若添加，则由可得，，即可得到，依据即可得出． 若添加，则不能得到； 故选：． 15．（2021春•柳南区校级期末）如图，在中，，，分别是，的中点，且，与全等吗？请说明理由． 【解答】解：与全等，理由如下： ，，分别是，的中点， ， 在与中， ， ． 法二，在与中， ， ． 易错点七：错用“HL”判定直角三角形全等（共2题） 16．（2021秋•铁岭县期末）如图，，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点． 求证：（1）； （2）． 【解答】证明：（1），， ， ， ， 即， 在和中 ， ． （2）， ，， ， ． 17．（2023秋•鹤城区校级期末）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 　　； 　　（填“”，“ ”或“” ； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【解答】解：（1）①，， ，， ， 在和中， ， ， ；． ②所填的条件是：． 证明：在中，． ， ． 又， ， 又，， ，， 又， ． （2）猜想：． 证明过程： ，，，， ， 又， ． ，， ． 易错点八：错用角的平分线的性质（共2题） 18．如图，点在的平分线上，过点的直线与，分别交于，两点，则与相等吗？为什么？ 【解答】解：与不一定相等，当时，， 点在的平分线上， ， ，， ， ． 19．（2022秋•泌阳县期末）教材呈现：如表是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线： 回忆： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的角平分线，所示上的任意一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂直分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图2，写出“角的平分线的性质定理”完整的证明过程； （2）定理应用：如图3，在四边形中，，点在边上，平分，平分．求证：． 【解答】证明：（1）平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）如图3，过点作于，于，于， ，，，平分，平分， ，， 在和中， ， ， ． 易错点九：对图形观察不细致,数全等三角形的对数时遗漏（共2题） 20．（东莞市校级期末）如图所示，于点，于点，，交于点，且平分． （1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）； （2）求证：． 【解答】解：（1）图中有4对全等三角形，有，，，． （2）平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21．（2023秋•浉河区期末）已知如图，于点，于点，、交于点，且平分． （1）图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）． （2）小明说：欲证，可先证明得到，再证明得到，然后利用等式的性质即可得到，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程． （3）要得到，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法． 【解答】解：（1）图中有4对全等三角形，有，，，． （2）正确， 理由是：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）有， 理由是：平分，，， ，， 在和中， ， ． 易错点十：判断轴对称图形对称轴的条数时出错（共2题） 22．（2023春•兰陵县期中）下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：轴对称图形中，对称轴的条数四条的只有图形（1），（2）； 图形（3）是无数条； 图形（4）是两条； 图形（5）是七条． 故选：． 23．（2022春•呼兰区校级期末）下列四个图形分别是矩形、等腰三角形，菱形，等腰梯形，它们全部是轴对称图形．其中有两条对称轴的图形有　　 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图所示： ， 故选：． 易错点十一：当等腰三角形的底角和顶角不确定时,易漏解（共2题） 24．（2022秋•巴东县期末）已知的高与，的夹角分别是和，则的度数是　　 A． B． C． D．或 【解答】解：①当在线段上时，如图1，； ②当在线段的延长线上时，如图2，． 故选：． 25．（2022秋•望花区校级期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是　 　． 【解答】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 易错点十二：当等腰三角形的形状不确定时,易漏解（共3题） 26．（2024秋•启东市校级月考）中，，的垂直平分线与直线相交所成锐角为，则此等腰三角形的顶角为 　 　． 【解答】解：作的垂直平分线交于，交直线于， 当点在上，如图1， ， ； 当点在的延长线上，如图2， ， ， ， 综上所述，此等腰三角形的顶角为或． 故答案为或． 27．（2023秋•明水县期末）如图，已知点是射线上一动点（即可在射线上运动），，当　 　时，△为等腰三角形． 【解答】解：分三种情况： ①时， 则； ②时， 则， ； ③时， 则； 综上所述，当为或或时，△为等腰三角形， 故答案为：或或． 28．（2024春•杨浦区期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　 　； 【问题3】 如图2，在中，，，，在中，，，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 【解答】解：（1）如图，作的平分线，交于点， ，． ． 是等腰三角形． ． （2）由题意，根据（1）作较大内角的平分线，交于点， ． ． 是等腰三角形． 当，最大． 故答案为：． （3）由题意，设计如下： 方案1：作 的平分线，交于点， 根据题意，得，，，，； 作，交于点， 根据题意，得．，，，． 方案2：作 交于点， 根据题意，得，，，，； 作，交于点， 根据题意，得，，，，． 易错点十三：对线段的垂直平分线进行判定时出错（共2题） 29．（红山区期末）如图，在中，已知平分交于点，过点作，，分别交、于点、点，求证：垂直平分． 【解答】证明：平分，，， ，，， 在与中， ， ， ，， 垂直平分． 30．（2023秋•番禺区校级期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）求证：△△； （2）是线段的垂直平分线吗？请说明理由； （3）在“筝形” 中，已知，，求“筝形” 的面积． 【解答】（1）证明：在△和△中， ， △△； （2）解：是线段的垂直平分线，理由如下： ，， ，在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， （3）， “筝形” 的面积为：12． 易错点十四：误用等腰三角形“三线合一”的性质（共1题） 31．（龙岩期末）如图，中，，，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 又， ， ． 故选：． 易错点十五：易误认为有一个角是 60°的任意三角形是等边三角形（共2题） 32．（2023秋•淮安区期中）如图，为等边的边上一点，且，，试判定的形状，并说明理由． 【解答】解：为等边的边上一点， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形． 33．（2022秋•秦安县校级期末）如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足．求证： （1）； （2）是等边三角形． 【解答】证明：（1）， ． ，， ． 是边的中点， ． ，， ． 在和中， ， ， ． （2）由（1）得， ． ， 由（1）得， ． ． 是等边三角形． 易错点十六：忽略指数为1的幂或弄错符号导致错误（共2题） 34．（2021秋•崆峒区期末）． 【解答】解： ． 35．（2021秋•合阳县期末）． 【解答】解：原式， ， ． 易错点十七：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错（共3题） 36．（2023春•界首市期末）计算：　 　． 【解答】解： ． 故答案为：． 37．（2022秋•蓟州区期末）　 　． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 38．（2021秋•化德县校级期末）计算　 　． 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 易错点十八：计算整式的乘法时漏乘或符号出错（共2题） 39．（2023秋•龙门县期末）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． （2）当时，求此代数式的值． 【解答】解：（1）小睿同学的解答不正确， 原式 ； （2）当时， 原式 ． 40．计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 易错点十九：进行乘除运算时弄错运算顺序（共3题） 41．（2023秋•汉阳区校级期末）计算：． 【解答】解： ． 42．（2022秋•峨边县期末）计算：． 【解答】解： ． 43．（2020秋•南安市期末）计算：． 【解答】解：原式 ． 易错点二十：分解因式不彻底或符号错误或漏项（共3题） 44．（2023秋•商南县校级期末）因式分解：． 【解答】解：． 45．（2020春•梁溪区期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 46．（2022秋•东丽区校级期末）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 易错点二十一：分式的值为0时，忽略分母不为0（共2题） 47．（2023秋•掇刀区校级期末）若分式的值为0，则　 　． 【解答】解：分式的值为0， ，， ． 故答案为：． 48．（2023春•工业园区校级期中）若分式的值为零，则　 　． 【解答】解：分式的值为零， ，解得． 故答案为：． 易错点二十二：错用分式的基本性质（共2题） 49．（2023秋•大武口区期末）若分式的，的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值　　 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【解答】解：由题意得：， 分式的，的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值是原来的10倍， 故选：． 50.（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 易错点二十三：分式的运算中忽视分数线的括号作用（共1题） 51．（2023秋·江苏南京·八年级校考期中）计算：． 【详解】解： ． 易错点二十四：化简求值时错选使分式无意义的值（共2题） 52．（2022秋•平舆县期末）先化简，再从，，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 【解答】解：原式 ， 当，，2时，原式没有意义； 当时，原式； 当时，原式． 53．（2022秋•宁阳县期末）先化简，再求值： （1）先化简，再求值：，其中满足． （2）先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 【解答】解：（1） ； ， ， 原式 ； （2） ， 和时，原式无意义， 把代入得：原式． 易错点二十五：解分式方程时漏乘没有分母的项（共2题） 54．（2023秋•建水县期末）解方程：． 【解答】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故原分式方程的解为：． 55．（2023秋•邹城市期末）解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得，， ， ， 检验：将代入， 原方程的解为； （2）， 去分母得， ， ， ， ， 检验：将代入， 是原方程的增根， 原方程无解． 易错点二十六：根据分式方程的解的范围求字母的取值范围时出错（共3题） 56．（2022•日照一模）关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【解答】解：， ， ， ， ， 方程的解为正数， ， ， ， ， ， 且， 故选：． 57．（2021春•镇江期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围是 　 　． 【解答】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 由分式方程的解为正数得且， 解得：且． 故答案为：且． 58．（2022秋•高安市期末）已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【解答】解：， 去分母得：， 解得：， ， 且， 解得：且． 所以的取值范围为：且． 易错点二十七：根据分式方程无解求字母的值时漏解（共2题） 59．（2023秋•娄星区校级期中）当为何值时，关于的方程无解？ 【解答】解：方程两边都乘以去分母得， ， 整理得，， 解得：， 时，无意义， 当时，原方程无解， 或时方程无解， 或， 解得：或， 当、或时，关于的方程无解． 60．（2022秋•鼓楼区期末）已知：关于的分式方程无解，则的值为　　 A．或6 B．或1 C．6或1 D．或6或1 【解答】解：两边都乘以，得 ， 解得． 因为方程无解， 所以或或， 解得或6或． 故选：． $$期末易混易错60题（考题猜想，27种易错热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错点一：画钝角三角形的高时出错（共2题） 1．（2023春•沈河区期末）用一块含角的透明直角三角板画已知 的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•太平区期末）用直角三角板作的边上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是　　 A． B． C． D． 易错点二：确定等腰三角形的边长时,易忽略三角形的三边关系而出错（共2题） 3．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是　　 A．17或22 B．22 C．17 D．13 4．（2023春•开江县期末）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的理解，探究下面的问题： （1）已知，求的值． （2）已知等腰三角形的三边长是、、，且满足，求的周长． （3）已知，，求的值． 易错点三：忽视三角形的形状而漏解（共2题） 5．（2023春•工业园区校级期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”，例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”，反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 　　； （2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定 　　“梦想三角形”（填是或者不是） （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，，若是“梦想三角形”，求的度数． 6．（2021秋•仪征市期末）定义：若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形； 若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形； Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形． 如图1中的中，，则是Ⅰ类美丽三角形； 如图2中的中，，则是Ⅱ类美丽三角形； 如图3中的中，，则是Ⅲ类美丽三角形； 结论1：美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形． （1）请在图1、2、3中分别用尺规作图作出分割线（不要求写作法，保留作图痕迹），并用字母表示出相等的边． （2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．（每边只能使用一次） 结论2：如果过一个等腰三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形称为特美丽三角形． （3）请画出所有特美丽三角形，并画出分割线、标出图中相等的角并写出特美丽三角形顶角的度数． 易错点四：在处理多边形的“截角”问题时漏解（共4题） 7．（瑞安市期末）将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和　　 A． B． C． D．或或 8．（恩施市期末）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明． 9．（淮阳区期末）将一个凸边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为，求的值． 10．（2024春•子洲县校级期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 易错点五：全等的对应关系考虑不全面导致出错（共3题） 11．（2023秋•溧阳市期末）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标是　 　． 12．（2021春•松北区期末）在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，且与全等，点的坐标为 　 　． 13．（2022秋•建华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，，，在平面内有点，使和全等，则点的坐标为 　 　． 易错点六：错用“SSA”判定三角形全等（共2题） 14．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，，只添加一个条件，使．下列条件中正确的是　　 ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 15．（2021春•柳南区校级期末）如图，在中，，，分别是，的中点，且，与全等吗？请说明理由． 易错点七：错用“HL”判定直角三角形全等（共2题） 16．（2021秋•铁岭县期末）如图，，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点． 求证：（1）； （2）． 17．（2023秋•鹤城区校级期末）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 　　； 　　（填“”，“ ”或“” ； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 易错点八：错用角的平分线的性质（共2题） 18．如图，点在的平分线上，过点的直线与，分别交于，两点，则与相等吗？为什么？ 19．（2022秋•泌阳县期末）教材呈现：如表是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 3．角平分线： 回忆： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的角平分线，所示上的任意一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合，由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂直分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图2，写出“角的平分线的性质定理”完整的证明过程； （2）定理应用：如图3，在四边形中，，点在边上，平分，平分．求证：． 易错点九：对图形观察不细致,数全等三角形的对数时遗漏（共2题） 20．（东莞市校级期末）如图所示，于点，于点，，交于点，且平分． （1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）； （2）求证：． 21．（2023秋•浉河区期末）已知如图，于点，于点，、交于点，且平分． （1）图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）． （2）小明说：欲证，可先证明得到，再证明得到，然后利用等式的性质即可得到，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程． （3）要得到，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法． 易错点十：判断轴对称图形对称轴的条数时出错（共2题） 22．（2023春•兰陵县期中）下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2022春•呼兰区校级期末）下列四个图形分别是矩形、等腰三角形，菱形，等腰梯形，它们全部是轴对称图形．其中有两条对称轴的图形有　　 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点十一：当等腰三角形的底角和顶角不确定时,易漏解（共2题） 24．（2022秋•巴东县期末）已知的高与，的夹角分别是和，则的度数是　　 A． B． C． D．或 25．（2022秋•望花区校级期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是　 　． 易错点十二：当等腰三角形的形状不确定时,易漏解（共3题） 26．（2024秋•启东市校级月考）中，，的垂直平分线与直线相交所成锐角为，则此等腰三角形的顶角为 　 　． 27．（2023秋•明水县期末）如图，已知点是射线上一动点（即可在射线上运动），，当　 　时，△为等腰三角形． 28．（2024春•杨浦区期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　 　； 【问题3】 如图2，在中，，，，在中，，，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 易错点十三：对线段的垂直平分线进行判定时出错（共2题） 29．（红山区期末）如图，在中，已知平分交于点，过点作，，分别交、于点、点，求证：垂直平分． 30．（2023秋•番禺区校级期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）求证：△△； （2）是线段的垂直平分线吗？请说明理由； （3）在“筝形” 中，已知，，求“筝形” 的面积． 易错点十四：误用等腰三角形“三线合一”的性质（共1题） 31．（龙岩期末）如图，中，，，若，则　　 A． B． C． D． 易错点十五：易误认为有一个角是 60°的任意三角形是等边三角形（共2题） 32．（2023秋•淮安区期中）如图，为等边的边上一点，且，，试判定的形状，并说明理由． 33．（2022秋•秦安县校级期末）如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足．求证： （1）； （2）是等边三角形． 易错点十六：忽略指数为1的幂或弄错符号导致错误（共2题） 34．（2021秋•崆峒区期末）． 35．（2021秋•合阳县期末）． 易错点十七：把底数互为相反数的幂化为同底数幂时出错（共3题） 36．（2023春•界首市期末）计算：　 　． 37．（2022秋•蓟州区期末）　 　． 38．（2021秋•化德县校级期末）计算　 　． 易错点十八：计算整式的乘法时漏乘或符号出错（共2题） 39．（2023秋•龙门县期末）小睿同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小睿同学的解答正确吗？如果正确，给出各步计算的依据；如果不正确，请给出正确的计算过程． （2）当时，求此代数式的值． 40．计算： （1）； （2）； （3）； （4） 易错点十九：进行乘除运算时弄错运算顺序（共3题） 41．（2023秋•汉阳区校级期末）计算：． 42．（2022秋•峨边县期末）计算：． 43．（2020秋•南安市期末）计算：． 易错点二十：分解因式不彻底或符号错误或漏项（共3题） 44．（2023秋•商南县校级期末）因式分解：． 45．（2020春•梁溪区期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 46．（2022秋•东丽区校级期末）因式分解： （1）； （2）； （3）． 易错点二十一：分式的值为0时，忽略分母不为0（共2题） 47．（2023秋•掇刀区校级期末）若分式的值为0，则　 　． 48．（2023春•工业园区校级期中）若分式的值为零，则　 　． 易错点二十二：错用分式的基本性质（共2题） 49．（2023秋•大武口区期末）若分式的，的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值　　 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 50.（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 易错点二十三：分式的运算中忽视分数线的括号作用（共1题） 51．（2023秋·江苏南京·八年级校考期中）计算：． 易错点二十四：化简求值时错选使分式无意义的值（共2题） 52．（2022秋•平舆县期末）先化简，再从，，0，1，2五个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 53．（2022秋•宁阳县期末）先化简，再求值： （1）先化简，再求值：，其中满足． （2）先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 易错点二十五：解分式方程时漏乘没有分母的项（共2题） 54．（2023秋•建水县期末）解方程：． 55．（2023秋•邹城市期末）解方程： （1）； （2）． 易错点二十六：根据分式方程的解的范围求字母的取值范围时出错（共3题） 56．（2022•日照一模）关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 57．（2021春•镇江期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围是 　 　． 58．（2022秋•高安市期末）已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 易错点二十七：根据分式方程无解求字母的值时漏解（共2题） 59．（2023秋•娄星区校级期中）当为何值时，关于的方程无解？ 60．（2022秋•鼓楼区期末）已知：关于的分式方程无解，则的值为　　 A．或6 B．或1 C．6或1 D．或6或1 $$