第14章 全等三角形（单元复习课件）（知识梳理+考点整合+易混易错+课本复习题）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

沪科版八年级数学上册 单元考点串讲 第14章 全等三角形 目录/CONTENTS 易混易错 考点整合 知识梳理 课本复习题 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角（SAS) 找另一边（SSS) 找任一角（AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找夹角的另一边（SAS) 找边的对角（AAS) 找夹角的另一角（ASA) 找夹边（ASA) 找除夹边外的任意一边（AAS) 知识梳理 B C E F 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的角叫做对应角. 重合的边叫做对应边， 其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. ∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角. A D 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F 一、全等三角形的性质 A B C D E F 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （ ）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （ ）. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF.（SAS） 1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF， ∠C=∠F， BC=EF， 二、三角形全等的判定方法 ∠A=∠D ，（已知 ） AB=DE，（已知 ） ∠B=∠E，（已知 ） 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF.（ASA） 2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. 用符号语言表达为： F E D C B A 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）. A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS） AB=DE， BC=EF， CA=FD， 用符号语言表达为： 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）. 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. A B C D E F 注意：①注意对应相等. ②“HL”仅适用直角三角形, ③书写格式应为: ∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中 ， AB =DE， AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) 两个概念 概念1　全等形 1. 如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为N，Q，M，P的四个图形. 填空：A与 对应；B与 对应；C与 ⁠对 应；D与 对应. M　 N 　 Q 　 P 　 考点整合 概念2 全等三角形 2. 如图，已知△ ABE 与△ ACD 全等，∠1＝∠2，∠ B ＝∠ C ，指出该对全等三角形中的对应边和对应角. 【解】 AB 与 AC ， AE 与 AD ， BE 与 CD 是对应边；∠ B 与∠ C ，∠2与∠1，∠ BAE 与∠ CAD 是对应角. 两个性质 性质1 全等三角形的性质 3. 如图，已知△ ABC ≌△ ADE ， BC 的延长线分别交 DA ， DE 于点 M ， F . 若∠ D ＝25°，∠ AED ＝105°， ∠ DAC ＝10°，求∠ DFB 的度数. 【解】∵∠ D ＝25°，∠ AED ＝105°， ∴∠ DAE ＝50°. 又∵△ ABC ≌△ ADE ， ∴∠ B ＝∠ D ＝25°，∠ BAC ＝∠ DAE ＝50°. ∵∠ DAC ＝10°，∴∠ BAD ＝60°. ∴∠ AMF ＝∠ BAD ＋∠ B ＝60°＋25°＝85°. ∴∠ DFB ＝∠ AMF －∠ D ＝85°－25°＝60°. 性质2　三角形的稳定性 4. [2024·安庆四中期中]下列图形中有稳定性的是(　A　) A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 A 一个判定——全等三角形的判定 5. [2022·衢州]已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证： AB ＝ AD . 【证明】∵∠3＝∠4， ∴∠ ACB ＝∠ ACD . 在△ ACB 和△ ACD 中， ∴△ ACB ≌△ ACD ( ASA )，∴ AB ＝ AD . 【点方法】 用分析法证明三角形全等，首先要找出两个三角形中已知的相等量，然后结合判定方法分析出要找的相等量，结合已知中其他条件确定解决问题的方案. 6. 如图， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， BD ＝ CE ，点 B ， D ， E 在同一直线上. (1)求证：△ ABD ≌△ ACE ； 【证明】在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE ( SSS ). (2)求证：∠3＝∠1＋∠2. 【证明】∵△ ABD ≌△ ACE ， ∴∠ BAD ＝∠1，∠ ABD ＝∠2. ∵∠3＝∠ BAD ＋∠ ABD ， ∴∠3＝∠1＋∠2. 三个技巧 技巧1 构造全等三角形法 7. 如图， AB ＝ DC ，∠ A ＝∠ D . 求证：∠ ABC ＝∠ DCB . 【证明】如图，分别取 AD ， BC 的中点 N ， M ，连接 BN ， CN ， MN ，则有 AN ＝ ND ， BM ＝ MC . ∴△ ABN ≌△ DCN ( SAS ). ∴∠ ABN ＝∠ DCN ， NB ＝ NC . 在△ NBM 和△ NCM 中， ∴△ NBM ≌△ NCM ( SSS ). ∴∠ NBC ＝∠ NCB . ∴∠ NBC ＋∠ ABN ＝∠ NCB ＋∠ DCN ， 即∠ ABC ＝∠ DCB . 在△ ABN 和△ DCN 中， 技巧2　截长(补短)法 8. 如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， E 为 CD 的中点，连接 AE ， BE ， BE ⊥ AE ，求证： AB ＝ BC ＋ AD . 【证明】如图，延长 AE ， BC 交于点 F ， ∵ AD ∥ BC ，∴∠ DAE ＝∠ EFC . ∵ E 为 CD 的中点，∴ DE ＝ CE . 在△ ADE 和△ FCE 中， ∴△ ADE ≌△ FCE ( AAS )， ∴ AD ＝ CF ， AE ＝ FE . ∵ BE ⊥ AE ，∴∠ AEB ＝∠ FEB ＝90°. 在△ AEB 和△ FEB 中， ∴△ AEB ≌△ FEB ( SAS )，∴ AB ＝ BF . ∵ BF ＝ BC ＋ CF ＝ BC ＋ AD ，∴ AB ＝ BC ＋ AD . 技巧3　倍长中线法 9. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点.若 AB ＝5， AC ＝3，求 AD 的取值范围. 【解】如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE ，则 AE ＝2 AD . ∵ D 为 BC 的中点，∴ CD ＝ BD . 又∵ AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ， ∴△ ADC ≌△ EDB ( SAS ).∴ AC ＝ EB . ∵ AB － EB ＜ AE ＜ AB ＋ EB ， ∴ AB － AC ＜2 AD ＜ AB ＋ AC . 又∵ AB ＝5， AC ＝3，∴2＜2 AD ＜8. ∴1＜ AD ＜4. 一种思想——建模思想 10. [母题·教材P102例4]　如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测出了河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边的 B 处，选对岸正对的一棵树 A ； ②沿河岸直走20步有一棵树 C ，继续前行20步到达 D 处 (每步的长度相等)； ③从 D 处沿与河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好被 C 树遮挡住的 E 处时停止行走； ④测得 DE 的长就是河宽 AB . 请你证明他们做法的正确性. 【证明】由题知 BC ＝ CD ， ∠ ABC ＝∠ EDC ＝90°. 在△ ABC 和△ EDC 中， ∴△ ABC ≌△ EDC ( ASA ). ∴ AB ＝ ED . 即他们的做法是正确的. 易混易错 27 判断正误： (1)两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等； （ × ） (2)两边分别相等的两个直角三角形全等； （ ） 1. × 复习题14A组 (3) 一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. （ ） √ 已知：如图，∠ABC=∠ACB，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线. 求证：BD=CE . 2. 证明：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠CBD= ∠ABC， ∠BCE= ∠ACB. ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠CBD=∠BCE. 在△BCD和△CBE中， ∵ ∴△BCD≌△CBE.(ASA) ∴BD=CE . 已知：如图，AB=AC，DB=DC，F是AD延长线上的一点.求证：∠BFA=∠CFA. 3. 证明：在△ABD和△ACD中， ∵ ∴△ABD≌△ACD.(SSS) ∴∠BAD=∠CAD.(全等三角形的对应角相等)在△ABF和△ACF中， ∵ ∴△ABF≌△ACF.(SAS) ∴∠BFA=∠CFA.(全等三角形的对应角相等) 已知：如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E . 求证：△ABC≌△BDE. 4. 证明：∵BE⊥AC， ED⊥BD， ∴∠EBC+∠BCA=90°， ∠EBC+∠E=90°， ∴∠BCA=∠E. 在△ABC和△BDE中， ∵ ∴△ABC≌△BDE.(AAS) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC，交CD的延长线于点F，若EF=5 cm，求AE的长度. 5. 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90°， ∴∠B=∠ACF. 在Rt△ABC和Rt△FCE中， ∵ ∴△ABC≌△FCE.(ASA) ∴AC=EF=5 cm， BC=CE=2 cm， ∴AE=AC-CE=3 cm. 已知：如图，在△ABD和△CBE中，AD与BE交于点F，CE与BD交于点G，AB=CB，∠AFB=∠CGB， ∠ABE=∠CBD. 求证：AD=CE. 6. 证明：在△ABF和△CBG中， ∵ ∴△ABF≌△CBG.(AAS) ∴∠C=∠A. 又∵∠ABD=∠ABF+∠EBD, ∠CBE=∠CBG+∠EBD, ∴∠ABD=∠CBE. 在△ABD和△CBE中， ∵ ∴△ABD≌△CBE，(ASA) ∴AD=CE. 已知：如图，AB=AD, CB=CD. 求证：∠B=∠D. 7. 证明：如图，连接AC. 在△ABC和△ADC中， ∵ ∴ △ABC≌△ADC .(SSS) ∴∠B=∠D. 已知：如图，AB=DC，AD=BC.求证： (1)AB∥DC，AD∥BC； 8. 证明：如图，连接AC. 在△ADC和△CBA中， ∵ ∴ △ADC≌△CBA .(SSS) ∴∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA. ∴AB∥DC，AD∥BC. (2)∠A=∠C，∠B=∠D； (2)由(1)知△ADC≌△CBA， ∴ ∠B=∠D， ∠DCA=∠BAC， ∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA+∠BCA=∠BAC+∠DAC， 即∠DCB=∠DAB. 如图，在雨伞的截面图中，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE= AB，AF= AC.当点O沿AD滑动时，雨伞开闭. 问雨伞开闭过程中， ∠BAD与∠CAD有 什么关系？说明理由. 9. 解：∠BAD=∠CAD，理由如下： ∵AB=AC，AE= AB，AF= AC， ∴AE=AF. 在△OEA和△OFA中， ∵ ∴△OEA≌△OFA.(SSS) ∴ ∠BAD=∠CAD . 已知：如图，AD为△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F. 求证：BE=CF. 10. 证明：∵BE⊥AD， CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD. 在△BED和△CFD中， ∵ ∴△BED≌△CFD.(AAS) ∴ BE=CF . 已知：如图，AB⊥AC，且AB=AC，AD=AE，BD=CE.试问：AD与AE是否垂直？若是，请给出证明；若不是， 试说出理由. 11. 解：AD与AE垂直，理由如下： 在△ABD和△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE.(SSS) ∴ ∠BAD=∠CAE . ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD. ∴∠BAC=∠DAE. 又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90° , ∴∠DAE=∠BAC=90°. ∴AD⊥AE. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D，E.试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明. 12. 解：BD+CE=DE. 证明如下： ∵BD⊥MN，CE⊥MN， ∴∠BDA=∠AEC=90°.∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°. ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∵ ∴△ABD≌△CAE.(AAS) ∴BD=AE，AD=CE. ∴BD+CE=AE+AD=DE. 已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD，CE相交于点O. (1)求证：OD=OE. 13. 证明：在△ABD和△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE. (SAS) ∴∠B=∠C， 又∵AB-AE=AC-AD，∴BE=CD. 在△BOE和△COD中， ∵ ∴△BOE≌△COD. (AAS) ∴OD=OE. (2)AO平分∠BAC吗？为什么？ 解：AO平分∠BAC. 理由如下：在△AOE和△AOD中， ∵ ∴△AOE≌△AOD.(SSS) ∴∠OAE=∠OAD， 即AO平分∠BAC. 已知：如图，AB=CD，∠A=∠D，要使△AEC≌△DFB，还需增加一个什么条件？说出你增加的条件及理由. 1. 解：增加一个条件： AE=DF.(答案不唯一) 理由如下： 复习题14B组 ∵AB=CD，AC=AB+BC，DB=CD+BC， ∴AC=DB. 在△AEC和△DFB中， ∵ ∴ △AEC≌△DFB.(SAS) 已知：在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F .求证：EF= . 2. 证明：如图所示. (1)当点D在AB上，靠近端点A时： ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴∠AEC=∠CFB=90°. ∠FCB+∠FBC=90°. ∵∠ACB=90°. ∴∠ACE+∠FCB=90°. ∴∠ECA=∠FBC . 在△ACE和△CBF中 ∵ ∴△ACE≌△CBF .(AAS) ∴AE=CF，CE=BF. ∴EF=CE-CF=BF-AE = . (2)当点D在AB上，靠近端点B时： 由(1)可知△ACE≌△CBF ， ∴AE=CF，CE=BF. ∴EF=CF-CE=AE- BF = . (3)当点D在AB中点位置上时： D，E，F三点重合. △ACE≌△CBF . 此时AE=CF=CE=BF. EF= 成立 . 综上所述，EF= . $$