专题08 勾股定理实际问题（10种类型100道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题08 勾股定理实际问题 （10种类型100道） 目录 【题型1 梯子滑落问题】 1 【题型2 求旗杆高度】 4 【题型3 小鸟飞行】 7 【题型4 楼梯铺地毯】 10 【题型5 折竹抵地】 12 【题型6 引蕸赴岸】 14 【题型7 最短路径】 17 【题型8 方位角问题】 19 【题型9 判断是否超速】 23 【题型10 选址问题】 26 【题型1 梯子滑落问题】 1．如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 2．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，那么小巷的宽度为（    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 4．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 5．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 6．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，．若梯子顶端A沿墙下滑到的位置，则此时梯子的中点到墙角O的距离为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 8．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（    ）    A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 9．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 10．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【题型2 求旗杆高度】 11．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 12．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 13．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 14．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 15．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 16．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 17．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（    ）    A． B． C． D． 18．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米． A．5 B．12 C．13 D．17 19．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（    ） A．12 B．13 C．15 D．24 20．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图） ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． 根据以上信息，则旗杆的高度为（    ）    A．10米 B．13米 C．15米 D．17米 【题型3 小鸟飞行】 21．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 22．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 23．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 24．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 25．如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米． A．4 B．6 C．8 D．10 26．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 27．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 28．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（    ） A． B． C． D． 29．如图，校园内有两棵树，相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 30．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【题型4 楼梯铺地毯】 31．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 32．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 33．如图是一段楼梯，高是8米，斜边是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米． 34．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 35．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要 平方厘米． 36．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 37．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    38．某会展期间，准备在高米、长米，宽2米的楼梯上铺地毯，则所铺地毯的面积为 平方米． 39．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 米. 40．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米. 【题型5 折竹抵地】 41．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为 尺； 42．《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为 ． 43．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，，则的长为 ． 44．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 45．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 46．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 米处折断． 47．一根高16米的旗杆在台风中断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，旗杆折断处离地面高为 ． 48．有一棵9米高的大树，在距地面4米处折断树梢触地，则树梢触地时，距离大树底端 米． 49．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．   50．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ． 【题型6 引蕸赴岸】 51．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 52．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 53．水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 54．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 55．如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 56．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）． 57．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 58．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 59．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 60．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【题型7 最短路径】 61．如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 62．如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为．一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 cm． 63．如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 64．如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 65．如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计） 66．长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 67．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 68．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ． 69．如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ． 70．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 【题型8 方位角问题】 71．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 72．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    73．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处． (1)求的度数； (2)求海轮所在的处与灯塔的距离（结果保留根号）． 74．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 75．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 76．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； (2)求岛在港的什么方向？ 77．一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 78．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 79．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 80．如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．    (1)直接写出的度数； (2)小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长． 【题型9 判断是否超速】 81．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 82．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 83．如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 84．如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 85．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 86．超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 87．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 88．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 89．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 90．国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 【题型10 选址问题】 91．如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 92．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 93．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 94．如图，在笔直的铁路上两点相距，为两村庄，，，于，于．现要在上建一个中转站，使得，两村到站的距离相等，求的长．    95．列方程解应用题： 如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？ 96．如图,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20km,BB1=40km,已知A1B1=80km,现要在A1,B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离. 97．铁路上、两点相距25km，为良村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上修建一个土特产收购站． （1）在图中，若，则战应修建在离站多少千米处． （2）在图中，若值最小，则点应建在哪里，请求出这个最小值． 98．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 99．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 100．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 勾股定理实际问题 （10种类型100道） 目录 【题型1 梯子滑落问题】 1 【题型2 求旗杆高度】 9 【题型3 小鸟飞行】 15 【题型4 楼梯铺地毯】 23 【题型5 折竹抵地】 28 【题型6 引蕸赴岸】 33 【题型7 最短路径】 40 【题型8 方位角问题】 48 【题型9 判断是否超速】 60 【题型10 选址问题】 69 【题型1 梯子滑落问题】 1．如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， 由题意得， 米， 同理可得：， 在中，（米， 在中，（米， （米， 答：梯子底端离地高度长为0.9米， 故选：B． 2．如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解，熟练掌握根据梯子长不会变的等量关系求解以及熟练运用勾股定理是解决此题的关键． 【详解】由题意可知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，那么小巷的宽度为（    ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 4．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 5．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 6．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，．若梯子顶端A沿墙下滑到的位置，则此时梯子的中点到墙角O的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线．根据勾股定理求出的出得出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 为的中点，是直角三角形， 是斜边上的中线， ， 故选：C． 7．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（    ）      A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中， （米）， 在中，， （米）， ∴（米）， 故选：A． 8．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（    ）    A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题中求的长度是解题的关键． 在直角三角形中，已知根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知即可求得的长度，根据即可求得的长度． 【详解】解：在直角中，已知 ， 则， ∵ ， ∵在直角中，，且为斜边， ， ， ∴梯足将外移的长度为， 故选：C． 9．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理求出的长，利用，计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：米，米， ∴、两点之间的距离为米； 故选B． 10．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 【题型2 求旗杆高度】 11．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 12．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得，、，， 故地面电缆固定点到电杆底部的距离为：． 答：地面电缆固定点到电线杆底部的距离为． 故选：A. 13．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 14．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 15．如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 16．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中， ． ∴． 解方程，得． 答：旗杆的长为12米． 故选：B． 17．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可． 【详解】解：如图：    在中，，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 18．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米． A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】B 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2， 解得，x＝12． 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键． 19．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（    ） A．12 B．13 C．15 D．24 【答案】A 【分析】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答． 【详解】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 20．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图） ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． 根据以上信息，则旗杆的高度为（    ）    A．10米 B．13米 C．15米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，然后表示出，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为13米， 故选B． 【题型3 小鸟飞行】 21．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．8米 B．10米 C．12米 D．16米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，（米）， ∴（米）， 即小鸟至少要飞行的长度为10米． 故选：B． 22．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高14米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选：B． 23．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米， 故选：B． 24．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（     ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过C点作于点E，则四边形是矩形．，长度可求，在中，可根据勾股定理求出长． 【详解】解：如图，连接，设大树高为米，小树高为米， 过C点作于点E，则四边形是矩形． 米，米， （米）． 在中，根据勾股定理得： （米）， 故选：A． 25．如图，在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树，两棵树水平距离，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∵，， ∴（负值舍去） ∴ ∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了8米 故选：C． 26．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 27．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是， 故选：A． 28．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，画出图形，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，可得CE=BD=8m，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E， 根据题意得：AB=8m，CD=2m，BD=8m，AB⊥BD，CD⊥BD， 则四边形BDCE是矩形， ∴CE=BD=8m， 在中，由勾股定理得： ， 即小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 29．如图，校园内有两棵树，相距8m，一棵树高13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　） A．9m B．10m C．11m D．12m 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=m，即小鸟至少要飞10m． 故选B 【点睛】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可． 30．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC， 由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【题型4 楼梯铺地毯】 31．如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 32．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 33．如图是一段楼梯，高是8米，斜边是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽即为的长，再把、的长相加即可． 【详解】解：米， ∴在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：． 34．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 【详解】解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米， 则红地毯至少要米. 故答案为： 35．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要 平方厘米． 【答案】3+ 【分析】据含30°的直角三角形求出BC，得出AC＋BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【详解】在Rt△ABC中，θ=30° ∴AB=2BC，AB2=BC2+AC2，即4BC2= BC2+（）2 解得BC=3，（负值舍去） ∴AC＋BC＝＋3（米）， ∴地毯的面积至少需要1×（＋3）＝＋3（平方米）； 故答案为：＋3． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，根据含30°的直角三角形求出BC是解决问题的关键． 36．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱 【答案】680 【分析】如图，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得， （m）． 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20=680元． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 37．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    【答案】1020 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 则长为：（米），宽为5米， 地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米）， 购买这种地毯至少需要（元）． 故答案为：1020．    【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 38．某会展期间，准备在高米、长米，宽2米的楼梯上铺地毯，则所铺地毯的面积为 平方米． 【答案】34 【分析】根据勾股定理求出的长度，即可求出地毯面积． 【详解】解：∵米、长米， ∴米， ∵楼梯宽2米， ∴地毯的面积为：． 故答案为：34 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，求出的长度． 39．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 米. 【答案】（2+2） 【详解】∵AC=4，∠A=30°， ∴BC=2， ∴AB=2， 所以需地毯（2+2）米. 故答案为（2+2）. 点睛：给楼梯铺地毯，不仅水平方向要铺，竖直方向也要铺. 40．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米. 【答案】7 【分析】利用勾股定理求得AC即可求解. 【详解】在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°， ∴AC= ∴AC+BC=3+4=7米． 故答案是：7． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键. 【题型5 折竹抵地】 41．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为 尺； 【答案】4.2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故答案为：4.2． 42．《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 43．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 44．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高尺，可列方程得 ． 【答案】 【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，设折断处离地而高尺，由勾股定理代值列方程即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：设折断处离地而高尺，可列方程得， 故答案为：． 45．如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，一只蜗牛从树顶端的处出发，以的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处所需的时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， ， 即爬到折断处所需的时间为， 故答案为： 46．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 米处折断． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用．根据题意画出图形，设从底部向上x米处折断，再利用勾股定理列式计算，从而可得答案． 【详解】解：设从底部向上x米处折断，即，则，， 由勾股定理得，即， 解得（米）， 故烟囱应从底部向上24米处折断． 故答案为：24． 47．一根高16米的旗杆在台风中断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，旗杆折断处离地面高为 ． 【答案】6米/6m 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 可得：，即， 解得：， 答：故旗杆折断处离地面高为6米, 故答案为：6米. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键． 48．有一棵9米高的大树，在距地面4米处折断树梢触地，则树梢触地时，距离大树底端 米． 【答案】3 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：在中，为斜边， 已知米，米， 则， 即， 解得：． 故大树顶端触地点距大树的距离为3米． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答． 49．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米． 【答案】3 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：在中，为斜边， 已知米，米， 则， 即， 解得：． 故大树顶端触地点距大树的距离为3米． 故答案为：3．    【点睛】此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答． 50．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ． 【答案】 【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，设折断处离地面x尺， 根据题意可得：，   ． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型6 引蕸赴岸】 51．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 52．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 53．水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为 ，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水的深度为 ，则芦苇的长度为， 由题意可得，， 解得， ∴水的深度为， 故答案为：． 54．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设这根芦苇的长度是x尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则，， 在中，， 解得：， 即这根芦苇的长度是10尺． 故答案为：10． 55．如图，一根长为的吸管一端触底放在一个圆柱形杯子中，测得杯子的内部底面直径为，高为，则吸管露出杯口外的长度x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键；根据杯子内吸管的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：当吸管与杯底垂直时x最大， ； 当吸管与杯底及杯高构成直角三角形时x最小， ∴ 故答案为：． 56．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）． 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 57．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：， 解得：， 答：水深尺； 故答案为：． 58．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，构造出直角三角形即可求解． 【详解】解：筷子露在杯子外面的最短长度即筷子在杯子里面的长度最长，即筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形．如下： ∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线断的长度，即， ∴筷子露在杯子外面的最短长度是． 故答案为:5. 59．如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时， ， 故． 故的最小值是． 故答案为：． 60．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 【题型7 最短路径】 61．如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 62．如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为．一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 cm． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，根据题意画出展开图形是解题关键．把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，连接，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：将图展开如下图， 则得到的新长方形的长增加了， ， 连接， ， 即一只蚂蚁从点A爬到点C的最短路程为的长，为， 故答案为：． 63．如图，已知圆柱的底面周长为36，高为9，点P位于顶面半圆处．小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬到C点，最后爬回A点．小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵P点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故答案为：． 64．如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短， 故答案为：． 65．如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．（容器厚度忽略不计） 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱进行展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B的对称点D，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为15． 66．长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 67．如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 68．如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的正面和上面进行展开时，③当沿长方体的右面和下面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的正面和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ③当沿长方体的右面和下面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他途径必定比①②③两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 69．如图，圆柱底面圆的周长为，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．把立体图形展开成平面图形，依题意，从到缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 无弹性的丝带从至，绕了1.5圈， 展开后，， 由勾股定理得： 故答案为：． 70．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题，涉及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据几何体画展开图，构建直角，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将组合体展开，如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8 方位角问题】 71．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 72．如图，某港口P有甲，乙两艘渔船．两船同时离开港口后，甲船沿北偏东方向以每小时的速度航行，乙船沿南偏东某方向以每小时的速度航行，它们两个小时后分别位于R，Q处，且相距．请求出乙船沿哪个方向航行．    【答案】乙船航行的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角问题，勾股定理的逆定理；分别求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； 理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， ， 甲船航行的距离∶ （）， 乙船航行的距离∶ （）， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故乙船航行的方向是南偏东． 73．一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处． (1)求的度数； (2)求海轮所在的处与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)海轮所在的B处与灯塔P的距离海里 【分析】本题主要考查方位角的计算，含角的直角三角形的性质， （1）根据题意可得海里，根据含，角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 根据题意，，海里，， ∴，， ∴； （2）解：由题意可知，，且海里， ∴海里，海里， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴（海里）， ∴海轮所在的B处与灯塔P的距离海里． 74．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 75．如图，一艘船由A岛沿北偏东方向航行至B岛，然后再沿北偏西方向航行至C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)确定C岛在A岛的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握． （1）根据，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距离； （2）证明，根据即可求解． 【详解】（1）如图，由题意可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 答：A，C两岛之间的距离是； （2）又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C岛在A岛北偏西的方向上． 76．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； (2)求岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时； (2)岛在港的北偏西． 【分析】（）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意， 中，，得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）∵，， ∴． ∴， ∴ ∴岛在港的北偏西． 77．一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 【答案】轮船继续向东航行没有触礁的危险 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点D，，海里，推出，则海里，再得出，则海里，根据勾股定理可得：（海里），即可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意可知，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∵， ∴轮船继续向东航行没有触礁的危险． 78．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 79．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)2.5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 80．如图，一艘轮船向正东方向航行，在处测得灯塔在的北偏东方向，航行40海里到达处，此时测得灯塔在的北偏东方向上．    (1)直接写出的度数； (2)小刚想知道轮船行驶到处时，该轮船距灯塔的距离，他过做于点．请帮小刚画出图形并求的长． 【答案】(1) (2)的长为海里，图见解析 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）由题意得出，，，，求出，的度数，再利用三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）根据题意画出图即可，由题意得出海里，根据含角的直角三角形的性质得出的长，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ∴，， ∴； （2）解：如图，过做于点，则，    由题意得：海里， 由（1）可得，， ∴海里， ∴海里， ∴海里， ∴的长为海里． 【题型9 判断是否超速】 81．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 82．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 83．如图，一辆小汽车在一条限速40的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100． (1)求B，C间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1)B，C间的距离为80 (2)这辆小汽车没有超速 【分析】】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）根据勾股定理求出BC的长； （2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， 答：B，C间的距离为80； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：∵小汽车速度为， ， ∴这辆小汽车没有超速． 84．如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 85．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键． 由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可． 【详解】解：未超速，理由如下： 由题意知，， 由勾股定理可得， 则． 所以． 所以这辆家用小汽车未超速． 86．超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 【答案】此车超过的限制速度，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意知：，，，得，，再根据勾股定理得出，进而求出小车的速度，再和比较即可．从复杂的实际问题中整理出直角三角形进而利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：此车超过的限制速度． 理由： 由题意知：，，， 在中，， ∴， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 87．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解． 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 88．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 89．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）过点C作于H， 在中， ， ． 米 米 米 即观测点C到公路的距离为米．    （2）米， 米 米 ∴车速为米/秒 千米/小时米秒， ∴此车没有超速． 90．国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 【答案】不超速，理由详见解析 【分析】根据勾股定理求出BC的长，进而求出小汽车的时速即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得： BC＝（米）； 60÷4＝15米/秒＝54千米/小时＜60千米/小时， 所以不超速． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键． 【题型10 选址问题】 91．如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 92．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点 千米处． 93．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 94．如图，在笔直的铁路上两点相距，为两村庄，，，于，于．现要在上建一个中转站，使得，两村到站的距离相等，求的长．    【答案】 【分析】先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 【点睛】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 95．列方程解应用题： 如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？ 【答案】15 【分析】根据题意设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，进而利用勾股定理即可解答． 【详解】解：设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km， 由题意可得：， 解得：x=15， 答：D处距离A镇15千米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是读懂题意，表示出BD，CD的距离． 96．如图,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20km,BB1=40km,已知A1B1=80km,现要在A1,B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定P点的位置，并求这个最短距离. 【答案】设计见解析，最短距离为100km 【分析】利用轴对称求最短路径的方法得至点P的位置，再根据勾股定理求得最短距离． 【详解】如图所示，延长AA1到D使A1D=AA1，连接BD交MN于点P，则点P即为所求,则PA+PB的最小距离即为BD的长度. 过D作DE⊥BB1交BB1于E， ∵AA1=20km，BB1=40km，A1B1=80km， ∴DE= A1B1=80km，BE= BB1+ AA1=60km， ∴BD==100km，即PA+PB的最小距离为100km． 【点睛】考查了最短路线问题，解题关键是利用了轴对称性质，将同侧的两点转换成异侧，再根据两点之间线段最短求解． 97．铁路上、两点相距25km，为良村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上修建一个土特产收购站． （1）在图中，若，则战应修建在离站多少千米处． （2）在图中，若值最小，则点应建在哪里，请求出这个最小值． 【答案】（1）10km．（2）AE=15，E应建在距A15千米处． 【分析】（1）关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据题意构造直角三角形D′FC，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设AE=xkm， ∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2， 由勾股定理，得152+x2=102+（25-x）2，x=10． 故：E点应建在距A站10千米处． （2）作D点关于AB的对称点D′，连接D′C，再作D′F⊥BC于点F，此时DE+EC最短， ∵DA=15km，CB=10km，A、B两点相距25km， ∴FC=25km，D′F=25km， 根据题意得， ∴BE=10km ∴AE=15km， ∴E应建在距A15千米处． 【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．以及考查了轴对对称求最短路径以及勾股定理，得出E点位置进而构造直角三角形是解题关键． 98．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 【答案】E站应建在离A站9.8 km处． 【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． 【详解】∵使得C，D两村到E站的距离相等， ∴DE=CE． ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A=∠B=90°， ∴， ∴，设AE=x，则． ∵DA=16km，CB=8km， ∴， 解得：x=9.8， ∴AE=9.8km． 答：E站应建在离A站9.8km处． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键． 99．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 【答案】（1）画图见解析；（2）万元；（3）；画图见解析 【分析】（1）作点A关于CD的对称点，连接，与CD的交点即为所求； （2）AF⊥BD于点F，过点A′作，交BD延长线于点E，可得，，，利用勾股定理求得，继而由可得答案． （3）作AB的中垂线，交CD于点M，点M即为所求；设，则，由即，列方程求解可得． 【详解】（1）如图1所示，点即为所求．    （2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点， 则四边形和四边形均为矩形， ， ， 则，， 在中，， ， 则， 所以最节省的费用为（万元）． （3）如图，作的中垂线，交于点， 则点即为所求；    连接、， 设，则， ， ，即， 解得：，即点在距离点的地方． 【点睛】本题考查了尺规作图，轴对称的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用． 100．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米；（2）见解析，米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$