专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解（教用版+学用版）2024-2025学年内蒙古自治区人教版八年级上学期数学期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解 考点一 整式的乘法及乘法公式 1．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）已知=6，=3，则的值为（   ） A．9 B． C．12 D． 3．（2024内蒙古赤峰·期末）在探究出平方差公式以后，可以借助求图形面积证明其正确性，体现的数学思想是（    ） A．转化 B．从特殊到一般 C．数形结合 D．类比 4．（2022内蒙古包头·期末）把一块边长为米（）的正方形土地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成一块长方形土地，你觉得土地的面积（       ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 5．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）若是完全平方式，则m的值等于（ ） A．1或5 B．5 C．7 D．7或 6．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（    ） A． B． C． D． 7．（2024内蒙古包头·期末）已知，，则的值为 ． 8．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）若，则 ． 9．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ． 10．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： (1)； (2)． 11．（2022内蒙古包头·期末）如图，学校有一块长为，宽为的长方形土地，四个角留出四个边长为的小正方形空地，剩余部分进行绿化． (1)用含、的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简） (2)当，时，求要进行绿化的土地面积． 12．（2024内蒙古赤峰·期末）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【基础应用】 （1）已知：，，求的值； （2）已知：，求的值； 【拓展拔高】 若，求的值． 考点二 因式分解 13．（2024内蒙古赤峰·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 14．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）将多项式分解因式，结果正确的是 （ ） A． B． C． D． 15．（2024内蒙古包头·期末）关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 16．（2023内蒙古赤峰·期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2022内蒙古自治区呼和浩特·期末）已知a2＋b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3 18．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）因式分解： ． 19．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： ． 20．（2022内蒙古通辽·期末）分解因式 ． 21．（2022内蒙古通辽·期末）若，，则的值为 ． 参考答案 1．【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故此题答案为B． 2．【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可． 【详解】解：∵xm=6，xn=3， ∴x2m-n=（xm）2÷xn=62÷3=12． 故此题答案为C． 3．【答案】C 【详解】解：借助求图形面积证明平方差公式(的正确性，体现的数学思想是数形结合， 故此题答案为C． 4．【答案】C 【分析】 根据题意易得长方形土地的长为米，宽为米，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得：长方形土地的长为米，宽为米， ∴长方形的面积为，正方形的面积为平方米， ∴， ∴我觉得土地的面积变小了； 故选C． 【点睛】 本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5．【答案】D 【分析】 根据完全平方公式，首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍． 【详解】 解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴ 解得：m=7或-1 故选：D. 【点睛】 此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 6．【答案】A 【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式． 【详解】解：由图1得：正方形ABCD的面积是，正方形FGCH的面积是， ∴阴影部分的面积是， 由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b， ∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)， ∴， 故此题答案为A． 7．【答案】8 【分析】根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴. 8．【答案】7 【分析】根据知，可知，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 9．【答案】 【分析】此题考查几何背景下的乘法公式，观察正方形不难得出：大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积－小正方形的面积＝个小长方形的面积＝长为宽为的长方形的面积，据此即可得出答案．解答此题的关键是仔细观察图形，准确地找出正方形的边长和图形之间的面积关系． 【详解】解：∵图中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 而图是一个长为宽为的长方形， 又∵用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形， ∴． 故此题答案为：． 10．【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式计算，然后合并解题即可； （2）先运算幂的乘方，然后根据单项式的乘除法进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．【答案】(1)（11ab﹣3a2﹣2b2）m2 (2)352m2 【分析】 （1）根据各个部分面积之间的关系列式计算即可； （2）把a＝6，b＝10代入计算即可． (1) 解：由于S绿化面积＝S长方形﹣4S小正方形，因此有， （a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2 ＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2 ＝（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）， 答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）； (2) 解：当a＝6，b＝10时， 原式＝660﹣108﹣200＝352（m2） 答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提． 12．【答案】基础公式：；公式变形：或；基础应用：（1）；（2）；拓展拔高： 【分析】基础公式：根据完全平方公式解答即可； 公式变形：通过移项即可得出变形结果； 基础应用：（1）根据公式变形中的结果代入计算即可； （2）根据公式变形中的结果代入计算即可； 拓展拔高：先判断出，即可得出，从而得到，然后根据公式变形中的结果代入计算即可． 【详解】解：基础公式：请写出完全平方公式； 公式变形：公式可以变形为或； 基础应用： （1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， 拓展拔高： 方程两边同除以a得 即 13．【答案】D 【详解】解：A. ，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B. 并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D. 符合因式分解的定义，符合题意． 故此题答案为D． 14．【答案】D 【详解】 先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）． 解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）， 故选D． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 15．【答案】D 【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为6，中间应加上或减去这两个数积的两倍． 【详解】解：∵关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式， ， ． 故此题答案为D． 16．【答案】A 【分析】分组分解因式后整体代入即可求解． 【详解】解：a2b+ab2-a-b =（a2b-a）+（ab2-b） =a（ab-1）+b（ab-1） =（ab-1）（a+b） 将a+b=3，ab=1代入，原式=0． 故此题答案为A． 17．【答案】D 【分析】 把a2＋b2＝2a﹣b﹣2化为再利用非负数的性质求解的值，从而可得答案. 【详解】 解： a2＋b2＝2a﹣b﹣2， 解得： 故选D 【点睛】 本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，熟练的运用非负数的性质求解的值是解本题的关键. 18．【答案】 【分析】先用提公因式法提出ab，再运用平方差公式分解，即可得到结果ab(a+1)(a-1)． 【详解】解：原式． 19．【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式进行简化运算． 【详解】解：； 故此题答案为． 20．【答案】 【分析】 把原式化为，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】 解： 故答案为： 【点睛】 本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键. 21．【答案】 【分析】 由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：， ∵， ． 故答案是：． 【点睛】 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解 考点一 整式的乘法及乘法公式 1．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故此题答案为B． 2．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）已知=6，=3，则的值为（   ） A．9 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可． 【详解】解：∵xm=6，xn=3， ∴x2m-n=（xm）2÷xn=62÷3=12． 故此题答案为C． 3．（2024内蒙古赤峰·期末）在探究出平方差公式以后，可以借助求图形面积证明其正确性，体现的数学思想是（    ） A．转化 B．从特殊到一般 C．数形结合 D．类比 【答案】C 【详解】解：借助求图形面积证明平方差公式(的正确性，体现的数学思想是数形结合， 故此题答案为C． 4．（2022内蒙古包头·期末）把一块边长为米（）的正方形土地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成一块长方形土地，你觉得土地的面积（       ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】 根据题意易得长方形土地的长为米，宽为米，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得：长方形土地的长为米，宽为米， ∴长方形的面积为，正方形的面积为平方米， ∴， ∴我觉得土地的面积变小了； 故选C． 【点睛】 本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）若是完全平方式，则m的值等于（ ） A．1或5 B．5 C．7 D．7或 【答案】D 【分析】 根据完全平方公式，首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍． 【详解】 解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴ 解得：m=7或-1 故选：D. 【点睛】 此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 6．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式． 【详解】解：由图1得：正方形ABCD的面积是，正方形FGCH的面积是， ∴阴影部分的面积是， 由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b， ∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)， ∴， 故此题答案为A． 7．（2024内蒙古包头·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴. 8．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）若，则 ． 【答案】7 【分析】根据知，可知，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 9．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图1是一个长为宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，则可以得到一个等式为 ． 【答案】 【分析】此题考查几何背景下的乘法公式，观察正方形不难得出：大正方形的边长为，小正方形的边长为，大正方形的面积－小正方形的面积＝个小长方形的面积＝长为宽为的长方形的面积，据此即可得出答案．解答此题的关键是仔细观察图形，准确地找出正方形的边长和图形之间的面积关系． 【详解】解：∵图中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 而图是一个长为宽为的长方形， 又∵用剪刀沿图中虚线把这个长方形剪成四块完全相同的小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形， ∴． 故此题答案为：． 10．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式，平方差公式计算，然后合并解题即可； （2）先运算幂的乘方，然后根据单项式的乘除法进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（2022内蒙古包头·期末）如图，学校有一块长为，宽为的长方形土地，四个角留出四个边长为的小正方形空地，剩余部分进行绿化． (1)用含、的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简） (2)当，时，求要进行绿化的土地面积． 【答案】(1)（11ab﹣3a2﹣2b2）m2 (2)352m2 【分析】 （1）根据各个部分面积之间的关系列式计算即可； （2）把a＝6，b＝10代入计算即可． (1) 解：由于S绿化面积＝S长方形﹣4S小正方形，因此有， （a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2 ＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2 ＝（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）， 答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）（m2）； (2) 解：当a＝6，b＝10时， 原式＝660﹣108﹣200＝352（m2） 答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法是正确解答的前提． 12．（2024内蒙古赤峰·期末）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【基础应用】 （1）已知：，，求的值； （2）已知：，求的值； 【拓展拔高】 若，求的值． 【答案】基础公式：；公式变形：或；基础应用：（1）；（2）；拓展拔高： 【分析】基础公式：根据完全平方公式解答即可； 公式变形：通过移项即可得出变形结果； 基础应用：（1）根据公式变形中的结果代入计算即可； （2）根据公式变形中的结果代入计算即可； 拓展拔高：先判断出，即可得出，从而得到，然后根据公式变形中的结果代入计算即可． 【详解】解：基础公式：请写出完全平方公式； 公式变形：公式可以变形为或； 基础应用： （1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， 拓展拔高： 方程两边同除以a得 即 考点二 因式分解 13．（2024内蒙古赤峰·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B. 并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D. 符合因式分解的定义，符合题意． 故此题答案为D． 14．（2022内蒙古自治区乌兰察布·期末）将多项式分解因式，结果正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）． 解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）， 故选D． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 15．（2024内蒙古包头·期末）关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为6，中间应加上或减去这两个数积的两倍． 【详解】解：∵关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式， ， ． 故此题答案为D． 16．（2023内蒙古赤峰·期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分组分解因式后整体代入即可求解． 【详解】解：a2b+ab2-a-b =（a2b-a）+（ab2-b） =a（ab-1）+b（ab-1） =（ab-1）（a+b） 将a+b=3，ab=1代入，原式=0． 故此题答案为A． 17．（2022内蒙古自治区呼和浩特·期末）已知a2＋b2＝2a﹣b﹣2，则a﹣b的值为（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】 把a2＋b2＝2a﹣b﹣2化为再利用非负数的性质求解的值，从而可得答案. 【详解】 解： a2＋b2＝2a﹣b﹣2， 解得： 故选D 【点睛】 本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，熟练的运用非负数的性质求解的值是解本题的关键. 18．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】先用提公因式法提出ab，再运用平方差公式分解，即可得到结果ab(a+1)(a-1)． 【详解】解：原式． 19．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式进行简化运算． 【详解】解：； 故此题答案为． 20．（2022内蒙古通辽·期末）分解因式 ． 【答案】 【分析】 把原式化为，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】 解： 故答案为： 【点睛】 本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键. 21．（2022内蒙古通辽·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】 由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：， ∵， ． 故答案是：． 【点睛】 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$