专项复习提升（三） 轴对称（教用版+学用版）2024-2025学年内蒙古自治区人教版八年级上学期数学期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 3．（2022内蒙古包头·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（       ）． A．30° B．50° C．90° D．100° 4．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（    ） A．90° B．60° C．43° D．86° 5．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称 6．（2022内蒙古通辽·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为 ． 7．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 8．（2024内蒙古包头·期末）若点与点关于轴对称，则 ． 9．（2022内蒙古自治区呼和浩特·期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 ． 10．（2022内蒙古通辽·期末）如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ． 11．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出△ABC及关于y轴对称的； (2)请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标． 12．（2022内蒙古通辽·期末）△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O（0，0），点A（1，﹣3），点B（4，﹣1）． （1）画出△OAB关于x轴对称的△OA1B1； （2）在x轴找到一点P，使PA+PB的值最小；（画出图形，保留痕迹，不写画法） （3）求△OAB的面积． 考点二 等腰三角形 13．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（　　） A． B． C． D． 14．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（   ）   A．4 B．6 C．2 D．1 15．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 16．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，若，则的度数是(    )    A． B． C． D． 18．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 19．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，等腰中，，于点，，于点，于点S，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024内蒙古包头·期末）如图，在中，，，延长至M，则 °． 21．（2024内蒙古呼和浩特·期末）在中，∠A=100°，∠B=30°，D为边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 ． 22．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．    23．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 24．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形， 则线段的长度为 25．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 26．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，已知中，，与边上的高，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形． (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 27．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)过点作交于点，若，，求的长． 28．（2022内蒙古包头·期末）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，且点，在所在直线的同一侧，连接，，与相交于点，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 29．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图1， 点C在线段上，点D，E分别在的两侧，且， (1)求证: (2)在(1)的条件下， 连接， 作平分 交于点 F， 如图2， 试判断与的位置关系， 并给出证明. 30．（2024内蒙古赤峰·期末）【阅读填空】如图1，已知：，C，D是外不在同一直线上的两点，探索，，，之间的数量关系． 解：分别过点C，D作的平行线，则， ∴（____________）， ，， ∴． 【类比探究】如图2，在中，证明：； 【拓展提高】如图3，等边中，D是上一点，F是延长线上一点，且，猜想和的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．【答案】D 【分析】根据轴对称图形的特征即可判断． 【详解】解：观察四个选项可知，只有D选项中的图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，属于轴对称图形， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 2．【答案】C 【分析】当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点， 故此题答案为C． 3．【答案】D 【分析】 先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C=∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】 解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=50°，∠C′=30°， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°∠A∠C=180°50°30°=100°． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 4．【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=43°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°， 故此题答案为D． 5．【答案】A 【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质，横坐标不变纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称． 故此题答案为A． 【关键点拨】考查了关于x轴对称点的坐标性质，熟练记忆坐标特点是解题关键． 6．【答案】2 【分析】 由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】 解：∵DE垂直平分AB交BC于点E， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B＝22.5°， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°， ∵∠C＝90°， ∴∠CAE=90°-∠AEC=45°=∠EAC， ∴AC＝EC＝2， ∴CA＝CE＝2， ∴S△ACE＝×AC×EC =×2×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形面积，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的两底角相等，灵活利用性质是解题的关键. 7．【答案】4 【分析】连接，则，则易得的最小值为线段的长，从而问题得以解决． 【详解】解：连接，如图， 是的垂直平分线， ， ， 当点在线段上时，的最小值为线段的长， ， 的最小值为4． 8．【答案】 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴, 9．【答案】4 【分析】 根据线段垂直平分线的性质即可得到BD＝CD，求得CD的长，即可得到BD的长． 【详解】 解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵AC＝6，AD＝2， ∴CD＝6−2＝4， ∴BD＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 10．【答案】6 【分析】 根据轴对称的性质，得，，结合三角形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵点关于，的对称点分别是， ∴， ∴的周长 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解． 11．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意找到的对应点，顺次连接，则即为所求； （2）找到关于以及的中垂线为对称轴的第三个点即可． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， 符合题意的点为 . 12．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接A1B，与x轴的交点即为所求； （3）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积． 【详解】 解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； （3）△OAB的面积为：=． 【点睛】 本题主要考查作图—轴对称变换，最短路径，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 13．【答案】B 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 14．【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据等腰三角形三线合一的性质可得到 ，从而可利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半求得AD的长，同理可求得AE的长． 【详解】解： ， ，D为BC中点， ， ， ，D为BC中点， ， ， ， ， ， ． 故此题答案为：C． 【关键点拨】此题考查了含30°直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解此题的关键． 15．【答案】A 【分析】此题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为A． 16．【答案】C 【分析】由，，可知∠B=∠C=30°，由DE垂直平分，得AE=BE，∠B=∠BAE=30°，进而得∠EAC=90°，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE垂直平分，， ∴AE=BE=3， ∴∠B=∠BAE=30°， ∵， ∴∠CAE=90°， 在Rt△CAE中 ∠C=30°， ∴CE=2AE=6， 故此题答案为C. 17．【答案】C 【分析】由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ∴ 是等腰三角形， ， ， ． 故此题答案为C． 18．【答案】A 【分析】根据平行线的性质，可得∠PDO的度数，然后过O作OF⊥PD于F，根据平行线的推论和30°角所在的直角三角形的性质可求解. 【详解】∵PD∥OA，∠AOB=150° ∴∠PDO+∠AOB=180° ∴∠PDO=30° 过O作OF⊥PD于F ∵OD=4 ∴OF=×OD=2 ∵PE⊥OA ∴FO=PE=2 故此题答案为A． 19．【答案】D 【分析】此题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴；故A、C选项正确； 在和中， ， ∴， ∴，故B选项正确； 由图可知不一定成立； 故此题答案为D． 20．【答案】110 【分析】先判定为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出度数，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 21．【答案】或 【分析】根据三角形的内角和以及外角的性质，得出∠C=50°，∠AFE=∠DFB=50°=∠DEC，从而求得△AEF为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求得AG⊥EF，且平分∠EAF，进而求得∠FAG∠EAF=40°，根据∠CAG=∠CAB+∠FAG或∠CAG=∠FAG即可求得∠CAG的度数． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，当F点在BA上时． ∵∠A=100°，∠B=30°， ∴∠C=50°， ∴∠EAF=∠B+∠C=80°． ∵∠DEC=∠C=50°， ∴∠CDE=180°﹣50°﹣50°=80°． ∵∠CDE=∠B+∠DFB， ∴∠DFB=80°﹣30°=50°． ∵∠AFE=∠DFB=50°=∠DEC， ∴△AEF为等腰三角形． ∵点G是EF的中点， ∴AG⊥EF，且平分∠EAF， ∴∠FAG∠EAF=40°， ∴∠CAG=∠CAB+∠FAG=100°+40°=140° ②当点F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：∠CAG=∠FAG=40°． 故此题答案为：140°或40°． 【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解答此题的关键． 22．【答案】①②④ 【分析】利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明；证明，利用证明；由，，可得是线段的垂直平分线；据此即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；②正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵为等边三角形， 若， ∴， 而不一定是，故不一定成立，③错误； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为的中点．④正确； 综上，正确的有①②④； 23．【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故此题答案为：①②④． 【关键点拨】此题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题的关键． 24．【答案】 【分析】由得出，由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得到，，进而得出，同理可得，，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，， 点，，在射线上，， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ， 同理可得：， …， ， ， 25．【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质， （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明，即可得证； （2）由（1）可得，继而得到，证明，得，根据等边三角形的判定即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴； （2）为等边三角形． 理由：∵，， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 26．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角可得，由题意可以得到，得到即可解题； （2）利用AAS证明，即，利用角平分线判定定理解题． 【详解】（1）证明：， ， 是与边上的高， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）在和中， ， ， ， 又是与边上的高， O在的平分线上. 27．【答案】(1)；证明见解析 (2)6 【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （2）由，得，而，所以，则． 【详解】（1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ，， ． （2）， ， ， ， ， ，， ， ， 的长为6． 【关键点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 28．【答案】(1)△ABD≌△CBE，理由见解析 (2)60° 【分析】 （1）利用等边三角形的性质得出条件，根据SAS即可证明△BCE≌△ACD； （2）利用△ABD≌△CBE，得到∠BAD=∠BCE，根据对顶角相等得到∠AGB=∠CGF，根据三角形内角和定理求解即可． (1) 解：（1）△ABD≌△CBE，理由如下： ∵△ABC和△BDE是等边三角形， ∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； (2) ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠AGB=∠CGF， ∴∠ABC=∠AFC=60°． 【点睛】 此题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质，根据SAS证明△BCE≌△ACD是正确解答本题的关键． 29．【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）与的位置关系为． 证明：， ， 又平分， ． 30．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）见解析； （3），理由见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据平角的定义列式整理即可得证； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质与判定推出是等边三角形，则，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：分别过点，作的平行线，，则， （两直线平行，同旁内角互补）， ，， ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补； （2）证明：如图2，在延长线上，过点作， ， ，， 又， ． （3）解：，理由如下： 如图3，过点作交于点， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的特征即可判断． 【详解】解：观察四个选项可知，只有D选项中的图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，属于轴对称图形， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 2．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 【答案】C 【分析】当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点， 故此题答案为C． 3．（2022内蒙古包头·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（       ）． A．30° B．50° C．90° D．100° 【答案】D 【分析】 先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C=∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】 解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A=50°，∠C′=30°， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°∠A∠C=180°50°30°=100°． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 4．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则∠BDC的度数为（    ） A．90° B．60° C．43° D．86° 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=43°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°， 故此题答案为D． 5．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质，横坐标不变纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称． 故此题答案为A． 【关键点拨】考查了关于x轴对称点的坐标性质，熟练记忆坐标特点是解题关键． 6．（2022内蒙古通辽·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为 ． 【答案】2 【分析】 由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】 解：∵DE垂直平分AB交BC于点E， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B＝22.5°， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°， ∵∠C＝90°， ∴∠CAE=90°-∠AEC=45°=∠EAC， ∴AC＝EC＝2， ∴CA＝CE＝2， ∴S△ACE＝×AC×EC =×2×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形面积，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的两底角相等，灵活利用性质是解题的关键. 7．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】连接，则，则易得的最小值为线段的长，从而问题得以解决． 【详解】解：连接，如图， 是的垂直平分线， ， ， 当点在线段上时，的最小值为线段的长， ， 的最小值为4． 8．（2024内蒙古包头·期末）若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴, 9．（2022内蒙古自治区呼和浩特·期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为 ． 【答案】4 【分析】 根据线段垂直平分线的性质即可得到BD＝CD，求得CD的长，即可得到BD的长． 【详解】 解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵AC＝6，AD＝2， ∴CD＝6−2＝4， ∴BD＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 10．（2022内蒙古通辽·期末）如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】 根据轴对称的性质，得，，结合三角形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵点关于，的对称点分别是， ∴， ∴的周长 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解． 11．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，． (1)画出△ABC及关于y轴对称的； (2)请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意找到的对应点，顺次连接，则即为所求； （2）找到关于以及的中垂线为对称轴的第三个点即可． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， 符合题意的点为 . 12．（2022内蒙古通辽·期末）△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O（0，0），点A（1，﹣3），点B（4，﹣1）． （1）画出△OAB关于x轴对称的△OA1B1； （2）在x轴找到一点P，使PA+PB的值最小；（画出图形，保留痕迹，不写画法） （3）求△OAB的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接A1B，与x轴的交点即为所求； （3）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积． 【详解】 解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； （3）△OAB的面积为：=． 【点睛】 本题主要考查作图—轴对称变换，最短路径，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 考点二 等腰三角形 13．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键． 14．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（   ）   A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据等腰三角形三线合一的性质可得到 ，从而可利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半求得AD的长，同理可求得AE的长． 【详解】解： ， ，D为BC中点， ， ， ，D为BC中点， ， ， ， ， ， ． 故此题答案为：C． 【关键点拨】此题考查了含30°直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解此题的关键． 15．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】此题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为A． 16．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由，，可知∠B=∠C=30°，由DE垂直平分，得AE=BE，∠B=∠BAE=30°，进而得∠EAC=90°，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE垂直平分，， ∴AE=BE=3， ∴∠B=∠BAE=30°， ∵， ∴∠CAE=90°， 在Rt△CAE中 ∠C=30°， ∴CE=2AE=6， 故此题答案为C. 17．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，若，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于四边形是正方形，是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ∴ 是等腰三角形， ， ， ． 故此题答案为C． 18．（2023内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，可得∠PDO的度数，然后过O作OF⊥PD于F，根据平行线的推论和30°角所在的直角三角形的性质可求解. 【详解】∵PD∥OA，∠AOB=150° ∴∠PDO+∠AOB=180° ∴∠PDO=30° 过O作OF⊥PD于F ∵OD=4 ∴OF=×OD=2 ∵PE⊥OA ∴FO=PE=2 故此题答案为A． 19．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，等腰中，，于点，，于点，于点S，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴；故A、C选项正确； 在和中， ， ∴， ∴，故B选项正确； 由图可知不一定成立； 故此题答案为D． 20．（2024内蒙古包头·期末）如图，在中，，，延长至M，则 °． 【答案】110 【分析】先判定为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出度数，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 21．（2024内蒙古呼和浩特·期末）在中，∠A=100°，∠B=30°，D为边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】根据三角形的内角和以及外角的性质，得出∠C=50°，∠AFE=∠DFB=50°=∠DEC，从而求得△AEF为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求得AG⊥EF，且平分∠EAF，进而求得∠FAG∠EAF=40°，根据∠CAG=∠CAB+∠FAG或∠CAG=∠FAG即可求得∠CAG的度数． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，当F点在BA上时． ∵∠A=100°，∠B=30°， ∴∠C=50°， ∴∠EAF=∠B+∠C=80°． ∵∠DEC=∠C=50°， ∴∠CDE=180°﹣50°﹣50°=80°． ∵∠CDE=∠B+∠DFB， ∴∠DFB=80°﹣30°=50°． ∵∠AFE=∠DFB=50°=∠DEC， ∴△AEF为等腰三角形． ∵点G是EF的中点， ∴AG⊥EF，且平分∠EAF， ∴∠FAG∠EAF=40°， ∴∠CAG=∠CAB+∠FAG=100°+40°=140° ②当点F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：∠CAG=∠FAG=40°． 故此题答案为：140°或40°． 【关键点拨】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解答此题的关键． 22．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．    【答案】①②④ 【分析】利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明；证明，利用证明；由，，可得是线段的垂直平分线；据此即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；②正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵为等边三角形， 若， ∴， 而不一定是，故不一定成立，③错误； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为的中点．④正确； 综上，正确的有①②④； 23．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，证明即可判断②；过作于点，根据角平分线的性质得，结合，可得，又可得，即可判断③，证明、，可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和△FBD中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③如图所示，过作于点， ∵是边的中点，， ∴，即， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 即、都为等腰三角形，故④正确， ∴正确的是①②④． 故此题答案为：①②④． 【关键点拨】此题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题的关键． 24．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形， 则线段的长度为 【答案】 【分析】由得出，由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得到，，进而得出，同理可得，，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ， 是等边三角形， ，， 点，，在射线上，， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ， 同理可得：， …， ， ， 25．（2024内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质， （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明，即可得证； （2）由（1）可得，继而得到，证明，得，根据等边三角形的判定即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴； （2）为等边三角形． 理由：∵，， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 26．（2023内蒙古赤峰·期末）如图，已知中，，与边上的高，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形． (2)判断点O是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等边对等角可得，由题意可以得到，得到即可解题； （2）利用AAS证明，即，利用角平分线判定定理解题． 【详解】（1）证明：， ， 是与边上的高， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）在和中， ， ， ， 又是与边上的高， O在的平分线上. 27．（2024内蒙古呼伦贝尔·期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)过点作交于点，若，，求的长． 【答案】(1)；证明见解析 (2)6 【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （2）由，得，而，所以，则． 【详解】（1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ，， ． （2）， ， ， ， ， ，， ， ， 的长为6． 【关键点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 28．（2022内蒙古包头·期末）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，且点，在所在直线的同一侧，连接，，与相交于点，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)△ABD≌△CBE，理由见解析 (2)60° 【分析】 （1）利用等边三角形的性质得出条件，根据SAS即可证明△BCE≌△ACD； （2）利用△ABD≌△CBE，得到∠BAD=∠BCE，根据对顶角相等得到∠AGB=∠CGF，根据三角形内角和定理求解即可． (1) 解：（1）△ABD≌△CBE，理由如下： ∵△ABC和△BDE是等边三角形， ∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； (2) ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE， ∵∠AGB=∠CGF， ∴∠ABC=∠AFC=60°． 【点睛】 此题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质，根据SAS证明△BCE≌△ACD是正确解答本题的关键． 29．（2024内蒙古鄂尔多斯鄂市一中·期末）如图1， 点C在线段上，点D，E分别在的两侧，且， (1)求证: (2)在(1)的条件下， 连接， 作平分 交于点 F， 如图2， 试判断与的位置关系， 并给出证明. 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）与的位置关系为． 证明：， ， 又平分， ． 30．（2024内蒙古赤峰·期末）【阅读填空】如图1，已知：，C，D是外不在同一直线上的两点，探索，，，之间的数量关系． 解：分别过点C，D作的平行线，则， ∴（____________）， ，， ∴． 【类比探究】如图2，在中，证明：； 【拓展提高】如图3，等边中，D是上一点，F是延长线上一点，且，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补； （2）见解析； （3），理由见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据平角的定义列式整理即可得证； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质与判定推出是等边三角形，则，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：分别过点，作的平行线，，则， （两直线平行，同旁内角互补）， ，， ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补； （2）证明：如图2，在延长线上，过点作， ， ，， 又， ． （3）解：，理由如下： 如图3，过点作交于点， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$