专项复习提升（五） 分式（教用版+学用版）2024-2025学年天津地区人教版数学八年级上册期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（五） 分式 考点一 分式的概念及其运算 1．（2024天津·期末）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 观察式子中分母中是否含有未知数，逐个判断即可． 【详解】A、中分母中不含有未知数是整式，故此题答案为项不符合题意； B、中分母中不含有未知数是整式，故此题答案为项不符合题意； C、中分母中含有未知数是分式，故此题答案为项符合题意； D、中分母是无限不循环小数，不是未知数，故此题答案为项不符合题意； 故此题答案为C 2．（2024天津天津市第五十五中学·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为零即可求出结果； 【详解】根据题意可知，x-1≠0，即x≠1． 故此题答案为B． 【关键点拨】此题考查分式有意义的条件，注意分式有意义是分母不为零，不是x不为零. 3．（2024天津·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查分式的值为0的条件，如果分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，并且， 解得，并且， ∴． 故此题答案为：C 4．（2024天津·期末）若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】此题主要考查分式的基本性质，x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：用和代替式子中的x和y得： 则分式的值不变； 故此题答案为：C． 5．（2024天津·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的恒等变形，涉及分式性质、添括号等知识，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：A、若，则，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故此题答案为：B． 6．（2024天津·期末）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：． 故此题答案为A． 7．（2024天津·期末）进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期，细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在，用科学记数法表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故此题答案为：C． 8．（2024天津·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式， ． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答此题的关键． 9．（2024天津天津市第五十五中学·期末）甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修，那么（　　） A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务 C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务 【答案】A 【分析】甲队完成任务需要的时间工作总量工作效率，乙队完成任务需要的时间前所用的时间后所用的时间，然后把甲队所用的时间和乙队所用的时间比较大小即可求解． 【详解】由题意可得： 甲队完成任务需要的时间为：， 乙队完成任务需要的时间为：， 甲、乙队完成任务需要的时间差为：， ,,, ， 甲队先完成任务． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查了列代数式以及分式的加减法，解题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 10．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）． A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】原式 又因为x为正整数， 所以， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答此题关键． 11．（2024天津·期末）小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（    ）千米/时 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平均速度总路程总时间，题中没有单程，可设从家到学校的单程为1，那么总路程为2． 【详解】解：依题意得：． 故此题答案为：C． 【关键点拨】此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 12．（2022天津耀华·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【答案】A 【分析】 先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】 解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 13．（2023天津天津市第二南开学校·期末）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和长方形的面积分别求得阴影部分的面积，代入，根据分式的性质化简，进而即可求解． 【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：， 图（2）的阴影部分的面积为：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的应用，分别求得阴影部分面积，掌握分式的中是解题的关键． 14．（2024天津·期末）计算： ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负指数幂的运算法则．先算零指数幂和负指数幂，再算加法． 【详解】解： 原式 故此题答案为：． 15．（2024天津·期末）2021年、2022年、2023年某地的森林面积（单位：km2）分别是a，b，c，则2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了 ．（请用含有a，b，c的式子表示） 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式加减运算．分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】2023年的森林面积增长率为， 2022年的森林面积增长率为， 则2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了 ． 故此题答案为： 16．（2024天津·期末）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】利用分式的减法计算得到，再整体代入即可得到答案．熟练掌握分式的减法和整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故此题答案为： 17．（2024天津·期末）（1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查分式的运算，化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘法； （2）先将式子化简，再代入求值． 【详解】（1） ． （2） ； 当，时，原式． 考点二 分式方程 18．（2024天津·期末）关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，可得，且，即可求解． 【详解】解：去分母得，， ∴， ∵方程的解是负数，且， ∴，且， ∴a的取值范围是且． 故此题答案为：B． 【关键点拨】此题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 19．（2024天津·期末）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程25千米的普通道路，路线包含快速通道，全程21千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为千米/时，利用时间=路程÷速度，结合走“走路线比路线时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设走路线的平均速度为千米/小时，则走路线b的平均速度为千米/时， 由题意得，， 故此题答案为：B． 20．（2023天津·期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为得， ∴，即， 解得，经检验，符合题意且符合实际应用， ∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了， ∴， 解得． 答：甲，乙两港相距． 故此题答案为D． 21．（2023天津耀华·期末）若实数为非负数，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的和是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据实数为非负数得出，然后根据分式方程有正数解，得出a的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵实数为非负数， ∴， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程有正数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴符合题意的整数有：，，， ∴符合条件的整数的和为． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，求得a的取值范围是解题的关键． 22．（2023天津耀华·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【答案】A 【分析】根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选A. 【点睛】本题主要考查的是分式方程的相关知识，解题的关键是明确增根的含义． 23．（2024天津·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 即， 解得：， 当时，， 经检验是增根，分式方程无解． 24．（2024天津·期末）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．设该公司购买的A型芯片的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（条） 总费用（元） A型芯片 x _______ 3120 B型芯片 _______ _______ 4200 (2)根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元． 【分析】（1）设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条，根据数量总价单价填空即可； （2）根据“用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条， 填表如下， 单价（元） 数量（条） 总费用（元） A型芯片 x 3120 B型芯片 4200 （2）解：设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条， 据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元． 25．（2024天津·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行100 所用时间，与以最大航速逆流航行60 所用时间相等，求江水的流速． (1)设江水的流速为 ，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（ ） 行驶路程（ ） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 (2)列方程，并求出问题的解． 【答案】 (1)见详解 (2) ，江水的流速是 【分析】 此题考查了分式方程的应用． （1）设江水的流速为 ，根据“顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速， ”即可填表； （2）根据“顺流航行100 所用时间，与逆流航行60 所用时间相等”即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】 （1）解：设江水的流速为 ，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（ ） 行驶路程（ ） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 （2）解：设江水的流速为 ，由题意得 ， 方程两边同乘以 得 ， 解得 ， 检验：当 时， ， ∴ 是分式方程的解， 答：江水的流速是 ． 26．（2024天津·期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷． 已知某市到天津的路程约为 ，一列动车组列车的平均速度是普快列车的 倍，运行时间比普快列车少 ，求该列动车组列车的平均速度． (1)设普快列车的速度为 ，则用含 的式子把表格补充完整： 路程 速度 时间 动车组列车 普快列车 (2)列出方程，完成此题解答． 【答案】 (1) ； ； ； (2)该列动车组列车的平均速度 【分析】 此题考查分式的方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可． （1）根据动车组列车的平均速度是普快列车的 倍，设普快列车的速度为 ，则动车组列车的速度为： ；根据路程等于速度乘以时间，即可； （2）根据动车组运行时间比普快列车少 ，列出方程，即可． 【详解】 （1）设普快列车的速度为 ， ∵动车组列车的平均速度是普快列车的 倍， ∴动车组列车的速度为： ， ∴动车组列车运行的时间为： ；普快列车运行的时间为： ， 故此题答案为： ， ； ， ； （2）∵动车组运行时间比普快列车少 ， ∴ ， 解得： ， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴列动车组列车的平均速度 ． 27．（2023天津·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．求乙队单独施工完成该项工程需要的天数．设乙队单独施工完成该项工程需要天． (1)根据题意，填写下表： 工作时间（天） 工作效率 工作总量 甲工程队单独施工 30 乙工程队单独施工 1 (2)列出方程，并求出问题的解． 【答案】(1)，； (2)乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程； 【分析】（1）由甲队单独施工30天完成该项工程的，可得甲队单独施工完成该项工程需要天，可得甲的工作效率是，设乙队单独施工完成该项工程需要天，可得乙的工作效率是； （2）由各部分的工作量之和等于总的工作量1，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：由甲队单独施工30天完成该项工程的，可得甲队单独施工完成该项工程需要天，所以工作效率是， 设乙队单独施工完成该项工程需要天，所以工作效率是，填表如下： 工作时间（天） 工作效率 工作总量 甲工程队单独施工 30 乙工程队单独施工 1 （2）根据题意可得： ， 解得：， 检验得：是原方程的根， 答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程； 【关键点拨】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出代数式，再列出方程求解． 28．（2024天津·期末）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． (1)求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 【答案】(1)甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价为10元； (2)50． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据“购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋”列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据“总金额不超过1300元”列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元， 根据题意得 ， 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ， 所以，甲种汤圆的单价为12元，乙种汤圆的单价是10元． （2） 设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆， 根据题意得 ， 解得，， 当时购进数量最多， 所以最多购进袋甲种50袋汤圆． 29．（2024天津·期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进A型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？ 【答案】(1)10万元 (2)171万元 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆A型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进A型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可． 【详解】（1）解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆A型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是万元； （2）(万元)， 答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元． 30．（2024天津·期末）某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． (1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)完成第一项任务实际需要7天 (2)，理由见解析 【分析】此题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题的关键，注意检验． （1）设设原计划每天生产辆，根据“前面做了1天，又提前3天完成任务”列出方程求解并检验即可； （2）根据不同的方案列式或列方程求出与，并比较大小即可． 【详解】（1）解：设原计划每天生产辆，则实际需要的天数是， 列方程得：， 即， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，符合题意， 完成第一项任务实际需要天数为：， 答：完成第一项任务实际需要7天； （2）甲方案的天数为：， 乙方案，由题意得：， ， ∴ ， ，， ，， ， ． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（五） 分式 考点一 分式的概念及其运算 1．（2024天津·期末）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024天津天津市第五十五中学·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024天津·期末）若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．（2024天津·期末）若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 5．（2024天津·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024天津·期末）石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024天津·期末）进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期，细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在，用科学记数法表示为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024天津·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．1 D． 9．（2024天津天津市第五十五中学·期末）甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修，那么（　　） A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务 C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务 10．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）． A．段① B．段② C．段③ D．段④ 11．（2024天津·期末）小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米时，放学回家时，原路返回，通常的速度为n千米时，则小明上学和放学路上的平均速度为（    ）千米/时 A． B． C． D． 12．（2022天津耀华·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 13．（2023天津天津市第二南开学校·期末）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2024天津·期末）计算： ． 15．（2024天津·期末）2021年、2022年、2023年某地的森林面积（单位：km2）分别是a，b，c，则2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了 ．（请用含有a，b，c的式子表示） 16．（2024天津·期末）若，则分式的值为 ． 17．（2024天津·期末）（1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 考点二 分式方程 18．（2024天津·期末）关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 19．（2024天津·期末）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程25千米的普通道路，路线包含快速通道，全程21千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2023天津·期末）一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（    ） A． B． C． D． 21．（2023天津耀华·期末）若实数为非负数，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的和是（    ） A． B． C． D．0 22．（2023天津耀华·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 23．（2024天津·期末）解方程： (1)； (2)． 24．（2024天津·期末）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．设该公司购买的A型芯片的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（条） 总费用（元） A型芯片 x _______ 3120 B型芯片 _______ _______ 4200 (2)根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元？ 25．（2024天津·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行100 所用时间，与以最大航速逆流航行60 所用时间相等，求江水的流速． (1)设江水的流速为 ，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（ ） 行驶路程（ ） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 (2)列方程，并求出问题的解． 26．（2024天津·期末）高铁的蓬勃发展为我们的出行带来了便捷． 已知某市到天津的路程约为 ，一列动车组列车的平均速度是普快列车的 倍，运行时间比普快列车少 ，求该列动车组列车的平均速度． (1)设普快列车的速度为 ，则用含 的式子把表格补充完整： 路程 速度 时间 动车组列车 普快列车 (2)列出方程，完成此题解答． 27．（2023天津·期末）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．求乙队单独施工完成该项工程需要的天数．设乙队单独施工完成该项工程需要天． (1)根据题意，填写下表： 工作时间（天） 工作效率 工作总量 甲工程队单独施工 30 乙工程队单独施工 1 (2)列出方程，并求出问题的解． 28．（2024天津·期末）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的倍． (1)求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元； (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进______袋甲种汤圆． 29．（2024天津·期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进A型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆． (1)求每辆型汽车进价是多少万元？ (2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？ 30．（2024天津·期末）某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． (1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 参考答案 1．【答案】C 【分析】此题考查的是分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 观察式子中分母中是否含有未知数，逐个判断即可． 【详解】A、中分母中不含有未知数是整式，故此题答案为项不符合题意； B、中分母中不含有未知数是整式，故此题答案为项不符合题意； C、中分母中含有未知数是分式，故此题答案为项符合题意； D、中分母是无限不循环小数，不是未知数，故此题答案为项不符合题意； 故此题答案为C 2．【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为零即可求出结果； 【详解】根据题意可知，x-1≠0，即x≠1． 故此题答案为B． 【关键点拨】此题考查分式有意义的条件，注意分式有意义是分母不为零，不是x不为零. 3．【答案】C 【分析】此题考查分式的值为0的条件，如果分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，并且， 解得，并且， ∴． 故此题答案为：C 4．【答案】C 【分析】此题主要考查分式的基本性质，x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：用和代替式子中的x和y得： 则分式的值不变； 故此题答案为：C． 5．【答案】B 【分析】此题考查分式的恒等变形，涉及分式性质、添括号等知识，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：A、若，则，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故此题答案为：B． 6．【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：． 故此题答案为A． 7．【答案】C 【分析】此题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故此题答案为：C． 8．【答案】A 【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式， ． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答此题的关键． 9．【答案】A 【分析】甲队完成任务需要的时间工作总量工作效率，乙队完成任务需要的时间前所用的时间后所用的时间，然后把甲队所用的时间和乙队所用的时间比较大小即可求解． 【详解】由题意可得： 甲队完成任务需要的时间为：， 乙队完成任务需要的时间为：， 甲、乙队完成任务需要的时间差为：， ,,, ， 甲队先完成任务． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查了列代数式以及分式的加减法，解题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 10．【答案】B 【分析】将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】原式 又因为x为正整数， 所以， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答此题关键． 11．【答案】C 【分析】平均速度总路程总时间，题中没有单程，可设从家到学校的单程为1，那么总路程为2． 【详解】解：依题意得：． 故此题答案为：C． 【关键点拨】此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 12．【答案】A 【分析】 先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】 解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 13．【答案】B 【分析】根据正方形和长方形的面积分别求得阴影部分的面积，代入，根据分式的性质化简，进而即可求解． 【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：， 图（2）的阴影部分的面积为：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的应用，分别求得阴影部分面积，掌握分式的中是解题的关键． 14．【答案】/0.5 【分析】此题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负指数幂的运算法则．先算零指数幂和负指数幂，再算加法． 【详解】解： 原式 故此题答案为：． 15．【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式加减运算．分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【详解】2023年的森林面积增长率为， 2022年的森林面积增长率为， 则2023年与2022年相比，森林面积增长率提高了 ． 故此题答案为： 16．【答案】 【分析】利用分式的减法计算得到，再整体代入即可得到答案．熟练掌握分式的减法和整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故此题答案为： 17．【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查分式的运算，化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘法； （2）先将式子化简，再代入求值． 【详解】（1） ． （2） ； 当，时，原式． 18．【答案】B 【分析】方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，可得，且，即可求解． 【详解】解：去分母得，， ∴， ∵方程的解是负数，且， ∴，且， ∴a的取值范围是且． 故此题答案为：B． 【关键点拨】此题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 19．【答案】B 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为千米/时，利用时间=路程÷速度，结合走“走路线比路线时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设走路线的平均速度为千米/小时，则走路线b的平均速度为千米/时， 由题意得，， 故此题答案为：B． 20．【答案】D 【分析】 ①平时逆水航行时间：顺水航行时间； ②雨天逆水航行时间+顺水航行时间，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为得， ∴，即， 解得，经检验，符合题意且符合实际应用， ∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了， ∴， 解得． 答：甲，乙两港相距． 故此题答案为D． 21．【答案】A 【分析】根据实数为非负数得出，然后根据分式方程有正数解，得出a的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵实数为非负数， ∴， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程有正数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴符合题意的整数有：，，， ∴符合条件的整数的和为． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，求得a的取值范围是解题的关键． 22．【答案】A 【分析】根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选A. 【点睛】本题主要考查的是分式方程的相关知识，解题的关键是明确增根的含义． 23．【答案】(1) (2)无解 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 即， 解得：， 当时，， 经检验是增根，分式方程无解． 24．【答案】(1)见解析 (2)A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元． 【分析】（1）设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条，根据数量总价单价填空即可； （2）根据“用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条， 填表如下， 单价（元） 数量（条） 总费用（元） A型芯片 x 3120 B型芯片 4200 （2）解：设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条， 据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元． 25．【答案】 (1)见详解 (2) ，江水的流速是 【分析】 此题考查了分式方程的应用． （1）设江水的流速为 ，根据“顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速， ”即可填表； （2）根据“顺流航行100 所用时间，与逆流航行60 所用时间相等”即可列出方程，解方程即可求解． 【详解】 （1）解：设江水的流速为 ，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表： 速度（ ） 行驶路程（ ） 所用时间（h） 轮船顺流航行 100 轮船逆流航行 60 （2）解：设江水的流速为 ，由题意得 ， 方程两边同乘以 得 ， 解得 ， 检验：当 时， ， ∴ 是分式方程的解， 答：江水的流速是 ． 26．【答案】 (1) ； ； ； (2)该列动车组列车的平均速度 【分析】 此题考查分式的方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可． （1）根据动车组列车的平均速度是普快列车的 倍，设普快列车的速度为 ，则动车组列车的速度为： ；根据路程等于速度乘以时间，即可； （2）根据动车组运行时间比普快列车少 ，列出方程，即可． 【详解】 （1）设普快列车的速度为 ， ∵动车组列车的平均速度是普快列车的 倍， ∴动车组列车的速度为： ， ∴动车组列车运行的时间为： ；普快列车运行的时间为： ， 故此题答案为： ， ； ， ； （2）∵动车组运行时间比普快列车少 ， ∴ ， 解得： ， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴列动车组列车的平均速度 ． 27．【答案】(1)，； (2)乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程； 【分析】（1）由甲队单独施工30天完成该项工程的，可得甲队单独施工完成该项工程需要天，可得甲的工作效率是，设乙队单独施工完成该项工程需要天，可得乙的工作效率是； （2）由各部分的工作量之和等于总的工作量1，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：由甲队单独施工30天完成该项工程的，可得甲队单独施工完成该项工程需要天，所以工作效率是， 设乙队单独施工完成该项工程需要天，所以工作效率是，填表如下： 工作时间（天） 工作效率 工作总量 甲工程队单独施工 30 乙工程队单独施工 1 （2）根据题意可得： ， 解得：， 检验得：是原方程的根， 答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程； 【关键点拨】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出代数式，再列出方程求解． 28．【答案】(1)甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价为10元； (2)50． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元，根据“购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋”列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆，根据“总金额不超过1300元”列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种汤圆的单价是x元，甲种汤圆的单价为元， 根据题意得 ， 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ， 所以，甲种汤圆的单价为12元，乙种汤圆的单价是10元． （2） 设购进m袋甲种汤圆，则购进袋乙种袋汤圆， 根据题意得 ， 解得，， 当时购进数量最多， 所以最多购进袋甲种50袋汤圆． 29．【答案】(1)10万元 (2)171万元 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆A型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进A型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可． 【详解】（1）解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆A型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是万元； （2）(万元)， 答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元． 30．【答案】(1)完成第一项任务实际需要7天 (2)，理由见解析 【分析】此题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题的关键，注意检验． （1）设设原计划每天生产辆，根据“前面做了1天，又提前3天完成任务”列出方程求解并检验即可； （2）根据不同的方案列式或列方程求出与，并比较大小即可． 【详解】（1）解：设原计划每天生产辆，则实际需要的天数是， 列方程得：， 即， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，符合题意， 完成第一项任务实际需要天数为：， 答：完成第一项任务实际需要7天； （2）甲方案的天数为：， 乙方案，由题意得：， ， ∴ ， ，， ，， ， ． 第 page number 页，共 number of 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