专项复习提升（三） 轴对称（教用版+学用版）2024-2025学年天津地区人教版数学八年级上册期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2024天津·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024天津·期末）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到外心的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024天津·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A．7 B． C． D． 4．（2024天津天津市第五十五中学·期末）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 5．（2024天津·期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024天津·期末）若点和关于x轴对称，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 7．（2024天津·期末）如图，中，于点E，于点F，且，.若，则 . 8．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 9．（2024天津·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为 ． 10．（2024天津·期末）如图，在中，点是上一点，，将沿着翻折得到，则 ． 11．（2024天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 12．（2024天津·期末）有一张长方形纸片ABCD，如图（1），将它折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，如图（2）；再将∠A折叠，使点A与点B重合，折痕为MN，如图（3）．如果AD=4cm，MD=1cm，那么DB= cm． 13．（2024天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．    (1)在网格中作出关于y轴对称的图形； (2)直接写出、、的坐标； (3)若网格的单位长度为1，求的面积． 考点二 等腰三角形 14．（2024天津·期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（    ） A．15° B．22.5° C．20° D．10° 15．（2024天津·期末）如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（2024天津·期末）如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以A，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 17．（2024天津·期末）如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2024天津·期末）已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．8 19．（2024天津·期末）如图，在中，，，点分别在边上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 二、填空题（本大题共8小题） 20．（2024天津·期末）如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是 . 21．（2024天津·期末）如图，在每个小正方形边长为l的网格中，是等边三角形，且顶点A，均在格点上．点是三角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线上画出点，使的值最小，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 22．（2024天津·期末）如图，在 中， ， ．点 在 边上，且 ，射线 于点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点． （1）线段 是否存在最小值？_________．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段 存在最小值，请直接写出 的长，如果不存在，请说明理由_________． 23．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在等边三角形中，平分交于点M． （1）的大小= （度）； （2）的大小= （度）； （3）已知，点D为射线上一点，作∠DCE=，，连接交射线于点F，连接，当以B，D，M为顶点的三角形与全等时，线段的长为 ． 24．（2024天津·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数: ． 25．（2024天津·期末）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    26．（2024天津·期末）如图，内部有一定点，若点分别是射线上异于点A的动点． （Ⅰ）在射线上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值； （Ⅱ）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 27．（2024天津·期末）如图，在一个三角形纸片ABC中，，，点D在边BC上，将沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若，则AC的长是 ． 28．（2024天津·期末）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的情况下，证明：为等腰三角形． 29．（2024天津·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)证明：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 30．（2024天津·期末）如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)判断是否垂直平分线段？并说明理由； (3)若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 参考答案 1．【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故此题答案为D． 2．【答案】C 【分析】此题主要考查了作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．根据三角形外心的定义即可得到答案． 【详解】解：三角形外心为三边垂直平分线的交点， 故此题答案为C． 3．【答案】C 【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 4．【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故此题答案为C． 【关键点拨】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 5．【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可求解． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对称图形． 6．【答案】B 【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关键是掌握点关于轴的对称点的坐标是．根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：点和关于x轴对称， ，， ，， ． 故此题答案为B． 7．【答案】3 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，此题中求证是解题的关键．先证明，可得，再由线段垂直平分线的性质即可解答； 【详解】，， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴. 故此题答案为：3. 8．【答案】50 【分析】此题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故此题答案为：50． 9．【答案】 【分析】此题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，可得，进而得到即可求解． 【详解】解：∵，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故此题答案为：． 10．【答案】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，则由平角的定义得到，由折叠的性质可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故此题答案为：． 11．【答案】图见解析；如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 【分析】此题主要考查几何变换轴对称——最短距离． 取格点，得到与关于对称，在上取点，使得，则点与点E关于对称，连接，交于点F，为最短，故点F为所求． 【详解】如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 说明：取格点，得到与关于对称，在上取点，使得，则点与点E关于对称，连接，交于点F，为最短，故点F为所求． 故此题答案为：如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 12．【答案】2 【分析】利用折叠的性质，可得BM=AB=（AD+BD）=BD+MD，由此代入数值即可求得答案． 【详解】解：由折叠可知： BM=AB=（AD+BD）=BD+MD， 又∵AD=4cm，MD=1cm， ∴（4+BD）=BD+1 解得BD=2． 故此题答案为2． 13．【答案】(1)详见解析 (2)，， (3)5 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点、、即可； （2）根据、、的位置写出坐标即可； （3）矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 此题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：，， （3）解：的面积． 14．【答案】A 【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故此题答案为A． 15．【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出的长是解题的关键． 延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】延长交于M，延长交于N， ，平分， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 故此题答案为C． 16．【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，正确找出所有符合条件的点，不重复不遗漏是解题的关键． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，没有符合条件的点； 以点B为圆心，为半径画弧，如图，有5个符合条件的点； 以点A为圆心，为半径画弧，如图，有3个符合条件的点； 综上：符合条件的点有8个， 故此题答案为：B． 17．【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点作，垂足为，延长交与点，然后连接，易证，从而求出，再利用三角形的外角求出的度数，放在直角三角形中求出的度数，进而证，可得，最后放在等腰三角形中求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交与点，连接， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 故此题答案为：B． 18．【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，又, ∴，， ∴，． 若长为的边为腰，的边为底，由于，这不能构成三角形； 若长为的边为腰，的边为底，则周长为． 故此题答案为：A 19．【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角直角三角形的性质，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由折叠可得：，，求出，再由含角直角三角形的性质可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， 故此题答案为：A． 20．【答案】/5厘米 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题主要考查了三线合一定理，三角形面积，线段垂直平分线的性质，正确根据题意得到当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为是解题的关键． 21．【答案】如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 由网格的特点可知，则， ∴， ∴， 故当三点共线，且时有最小值． 22．【答案】 （1） 是 ； （2） 【分析】（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，由对称的性质，垂线段最短可知 最小，即 存在最小值； （2）由（1）可得 时， 存在最小值， ， ， ，进而可求 的值． 【详解】解：（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ， 由对称的性质可知 ， ， ， ∵ ， ∴ 的长度最小， ∴ 最小，即 存在最小值； （2）由（1）可得 时， 存在最小值， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的长为 ． 23．【答案】 2或6或 【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解； （2）根据等边三角形的三线合一的性质解答； （3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答． 【详解】（1）∵△是等边三角形， ∴∠ACB=， ∵平分， ∴∠ACM=∠ACB=， 故此题答案为：； （2）∵△是等边三角形，平分， ∴CM⊥AB， ∴∠AMC=， 故此题答案为：； （3）∵∠DCE=，CD=CE， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE=CE=CD， ∵∠BCM=∠ACM=， ∴∠BCE=， ∴CF平分∠DCE， ∵CD=CE， ∴CB垂直平分DE， ①当点D在线段CM上时， 当△BDM≌△BEF时，如图1， ∴BF=BM=2， ∴CF=CB-BF=4-2=2； 当△BDM≌△EBF时，如图1， 则EF=BM=2， ∴CD=DE=4，, ∵AB=4，CD<CM<4, ∴此种情况不成立，舍去； ②当点D在线段CM的延长线上时， 当△BDM≌△BEF时，如图2， ∴BF=BM=2， ∴CF=BC+BF=4+2=6,； 当△BDM≌△EBF时，如图3， 则EF=BM=2， ∴CE=2EF=4， ∴， 故此题答案为： 2或6或． ． 【关键点拨】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 24．【答案】左;/15度. 【分析】此题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，即可得到点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，根据轴对称的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时， ∵点B和点D关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故此题答案为：左，． 25．【答案】30 【分析】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故此题答案为：30． 26．【答案】 是 30 【分析】此题考查了轴对称称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （Ⅰ）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （II）由（Ⅰ）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（I）在射线上是存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故此题答案为：是； （II）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故此题答案为：30． 27．【答案】6 【分析】由折叠性质可知，，由，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可求的长，进而可求的长． 【详解】解：由折叠性质可知， ∵ ∴是等腰三角形 ∵ ∴ ∴ 故此题答案为：6． 【关键点拨】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 28．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质及判定，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． （1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，两点，然后以这两个交点为圆心，大于两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点B与该交点即可求解； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得，根据角平分线求得，从而利用三角形外角的性质求得，得到，即可得证结论． 【详解】（1）如图，射线为所求． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 29．【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或. 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，结合，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，即可求出，即是直角三角形； （3）由等边三角形的性质得出．根据周角可求出，又可求出 ，从而可求出．分类讨论：①当时，此时；②当时，此时；③当时，此时，分别列出关于的等式，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由：∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴，    ， ∴． ①当时，即此时， ∴， ∴；    ②当时，即此时， ∴， ∴；   ③当时，即此时， ∴， ∴．   综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【关键点拨】此题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定，三角形的内角和定理，几何图形中的角度计算，等腰三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 30．【答案】(1)见解析 (2)垂直平分线段，理由见解析 (3)或 【分析】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定和性质， （1）根据题意得，则，根据角平分线的性质得，即可证得； （2）根据等腰三角形性质和角平分线性质得，得到即可证明结论； （3）当，求得，即可求得；当，先求出，进而根据求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线，，， ∴， ∴． （2）垂直平分线段； 理由：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 垂直平分线段； （3）如图，当，则， ∴； 如图，当，则， ∴ 综上所述，为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（三） 轴对称 考点一 轴对称的概念及垂直平分线的性质 1．（2024天津·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故此题答案为D． 2．（2024天津·期末）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．根据三角形外心的定义即可得到答案． 【详解】解：三角形外心为三边垂直平分线的交点， 故此题答案为C． 3．（2024天津·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 4．（2024天津天津市第五十五中学·期末）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故此题答案为C． 【关键点拨】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 5．（2024天津·期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可求解． 【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意； B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意； C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意； D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意． 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对称图形． 6．（2024天津·期末）若点和关于x轴对称，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关键是掌握点关于轴的对称点的坐标是．根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：点和关于x轴对称， ，， ，， ． 故此题答案为B． 7．（2024天津·期末）如图，中，于点E，于点F，且，.若，则 . 【答案】3 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，此题中求证是解题的关键．先证明，可得，再由线段垂直平分线的性质即可解答； 【详解】，， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴. 故此题答案为：3. 8．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【答案】50 【分析】此题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故此题答案为：50． 9．（2024天津·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，可得，进而得到即可求解． 【详解】解：∵，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故此题答案为：． 10．（2024天津·期末）如图，在中，点是上一点，，将沿着翻折得到，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，则由平角的定义得到，由折叠的性质可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故此题答案为：． 11．（2024天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点．若点F在边上，使最小．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点F．并简要说明点F的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】图见解析；如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 【分析】此题主要考查几何变换轴对称——最短距离． 取格点，得到与关于对称，在上取点，使得，则点与点E关于对称，连接，交于点F，为最短，故点F为所求． 【详解】如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 说明：取格点，得到与关于对称，在上取点，使得，则点与点E关于对称，连接，交于点F，为最短，故点F为所求． 故此题答案为：如图，取格点，连接，，在上取点，使得，连接，交于点F，则点F为所求． 12．（2024天津·期末）有一张长方形纸片ABCD，如图（1），将它折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，如图（2）；再将∠A折叠，使点A与点B重合，折痕为MN，如图（3）．如果AD=4cm，MD=1cm，那么DB= cm． 【答案】2 【分析】利用折叠的性质，可得BM=AB=（AD+BD）=BD+MD，由此代入数值即可求得答案． 【详解】解：由折叠可知： BM=AB=（AD+BD）=BD+MD， 又∵AD=4cm，MD=1cm， ∴（4+BD）=BD+1 解得BD=2． 故此题答案为2． 13．（2024天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．    (1)在网格中作出关于y轴对称的图形； (2)直接写出、、的坐标； (3)若网格的单位长度为1，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)，， (3)5 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点、、即可； （2）根据、、的位置写出坐标即可； （3）矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 此题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：，， （3）解：的面积． 考点二 等腰三角形 14．（2024天津·期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（    ） A．15° B．22.5° C．20° D．10° 【答案】A 【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故此题答案为A． 15．（2024天津·期末）如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出的长是解题的关键． 延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】延长交于M，延长交于N， ，平分， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 故此题答案为C． 16．（2024天津·期末）如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点．已知点在格点上，若点也在格点上，使得以A，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的所有个数为（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，正确找出所有符合条件的点，不重复不遗漏是解题的关键． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，没有符合条件的点； 以点B为圆心，为半径画弧，如图，有5个符合条件的点； 以点A为圆心，为半径画弧，如图，有3个符合条件的点； 综上：符合条件的点有8个， 故此题答案为：B． 17．（2024天津·期末）如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点作，垂足为，延长交与点，然后连接，易证，从而求出，再利用三角形的外角求出的度数，放在直角三角形中求出的度数，进而证，可得，最后放在等腰三角形中求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交与点，连接， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 故此题答案为：B． 18．（2024天津·期末）已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，又, ∴，， ∴，． 若长为的边为腰，的边为底，由于，这不能构成三角形； 若长为的边为腰，的边为底，则周长为． 故此题答案为：A 19．（2024天津·期末）如图，在中，，，点分别在边上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角直角三角形的性质，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由折叠可得：，，求出，再由含角直角三角形的性质可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， 故此题答案为：A． 二、填空题（本大题共8小题） 20．（2024天津·期末）如图，等腰中垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，则的周长最小值是 . 【答案】/5厘米 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为，利用三线合一定理和三角形面积公式求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴要使的周长最小，即要使最小， ∴当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故此题答案为：． 【关键点拨】此题主要考查了三线合一定理，三角形面积，线段垂直平分线的性质，正确根据题意得到当三点共线，即点G与点F重合时，最小，最小值为是解题的关键． 21．（2024天津·期末）如图，在每个小正方形边长为l的网格中，是等边三角形，且顶点A，均在格点上．点是三角形内的一个格点，请用无刻度的直尺，在射线上画出点，使的值最小，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，取格点E、F，连接，分别交于P、H，点P即为所求． 由网格的特点可知，则， ∴， ∴， 故当三点共线，且时有最小值． 22．（2024天津·期末）如图，在 中， ， ．点 在 边上，且 ，射线 于点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点． （1）线段 是否存在最小值？_________．（用“是”或“否”填空） （2）如果线段 存在最小值，请直接写出 的长，如果不存在，请说明理由_________． 【答案】 （1） 是 ； （2） 【分析】（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ，由对称的性质，垂线段最短可知 最小，即 存在最小值； （2）由（1）可得 时， 存在最小值， ， ， ，进而可求 的值． 【详解】解：（1）如图，作 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交 于 ，连接 ， 由对称的性质可知 ， ， ， ∵ ， ∴ 的长度最小， ∴ 最小，即 存在最小值； （2）由（1）可得 时， 存在最小值， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的长为 ． 23．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在等边三角形中，平分交于点M． （1）的大小= （度）； （2）的大小= （度）； （3）已知，点D为射线上一点，作∠DCE=，，连接交射线于点F，连接，当以B，D，M为顶点的三角形与全等时，线段的长为 ． 【答案】 2或6或 【分析】（1）根据等边三角形的性质及角平分线的性质求解； （2）根据等边三角形的三线合一的性质解答； （3）根据题意分两种情况：当点D在线段CM上时，当点D在线段CM的延长线上时，分别画出图形，利用全等三角形的性质解答． 【详解】（1）∵△是等边三角形， ∴∠ACB=， ∵平分， ∴∠ACM=∠ACB=， 故此题答案为：； （2）∵△是等边三角形，平分， ∴CM⊥AB， ∴∠AMC=， 故此题答案为：； （3）∵∠DCE=，CD=CE， ∴△CDE是等边三角形， ∴DE=CE=CD， ∵∠BCM=∠ACM=， ∴∠BCE=， ∴CF平分∠DCE， ∵CD=CE， ∴CB垂直平分DE， ①当点D在线段CM上时， 当△BDM≌△BEF时，如图1， ∴BF=BM=2， ∴CF=CB-BF=4-2=2； 当△BDM≌△EBF时，如图1， 则EF=BM=2， ∴CD=DE=4，, ∵AB=4，CD<CM<4, ∴此种情况不成立，舍去； ②当点D在线段CM的延长线上时， 当△BDM≌△BEF时，如图2， ∴BF=BM=2， ∴CF=BC+BF=4+2=6,； 当△BDM≌△EBF时，如图3， 则EF=BM=2， ∴CE=2EF=4， ∴， 故此题答案为： 2或6或． ． 【关键点拨】此题考查等边三角形的性质，利用三线合一的性质进行证明，全等三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 24．（2024天津·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数: ． 【答案】左;/15度. 【分析】此题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，即可得到点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，根据轴对称的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时， ∵点B和点D关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故此题答案为：左，． 25．（2024天津·期末）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【答案】30 【分析】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，, ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故此题答案为：30． 26．（2024天津·期末）如图，内部有一定点，若点分别是射线上异于点A的动点． （Ⅰ）在射线上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值； （Ⅱ）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 【答案】 是 30 【分析】此题考查了轴对称称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （Ⅰ）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （II）由（Ⅰ）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（I）在射线上是存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故此题答案为：是； （II）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故此题答案为：30． 27．（2024天津·期末）如图，在一个三角形纸片ABC中，，，点D在边BC上，将沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若，则AC的长是 ． 【答案】6 【分析】由折叠性质可知，，由，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可求的长，进而可求的长． 【详解】解：由折叠性质可知， ∵ ∴是等腰三角形 ∵ ∴ ∴ 故此题答案为：6． 【关键点拨】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 28．（2024天津·期末）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的情况下，证明：为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质及判定，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． （1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，两点，然后以这两个交点为圆心，大于两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点B与该交点即可求解； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得，根据角平分线求得，从而利用三角形外角的性质求得，得到，即可得证结论． 【详解】（1）如图，射线为所求． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 29．（2024天津·期末）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)证明：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或. 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，结合，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，即可求出，即是直角三角形； （3）由等边三角形的性质得出．根据周角可求出，又可求出 ，从而可求出．分类讨论：①当时，此时；②当时，此时；③当时，此时，分别列出关于的等式，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由：∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴，    ， ∴． ①当时，即此时， ∴， ∴；    ②当时，即此时， ∴， ∴；   ③当时，即此时， ∴， ∴．   综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【关键点拨】此题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定，三角形的内角和定理，几何图形中的角度计算，等腰三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 30．（2024天津·期末）如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)判断是否垂直平分线段？并说明理由； (3)若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分线段，理由见解析 (3)或 【分析】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定和性质， （1）根据题意得，则，根据角平分线的性质得，即可证得； （2）根据等腰三角形性质和角平分线性质得，得到即可证明结论； （3）当，求得，即可求得；当，先求出，进而根据求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线，，， ∴， ∴． （2）垂直平分线段； 理由：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 垂直平分线段； （3）如图，当，则， ∴； 如图，当，则， ∴ 综上所述，为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$