专项复习提升（二） 全等三角形 (教用版+学用版)2024-2025学年天津地区人教版数学八年级上册期末复习

( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的判定与性质 1．（2024天津·期末）如图，已知，添加一个条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022天津·期末）如图，已知，则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（2024天津·期末）如图，点A、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A． B． C． D． 4．（2024天津·期末）如图，，，，则的长度等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024天津·期末）如图，，点E在线段上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2022天津天津市第七中学·期末）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点．如果，，那么度数是（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 7．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，为了测量B点到河对面的目标之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A，B两点间的距离，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 8．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在下列四组条件中，不能判断的是（   ）    A． B． C． D． 9．（2024天津·期末）如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024天津·期末）图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是 ． 11．（2024天津·期末）如图，点 ， 在 上， ， ， ，求证： ． 12．（2024天津·期末）已知：如图，．求证：． 13．（2024天津·期末）如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长． 14．（2024天津·期末）点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． (1)图1，求证：； (2)图2，连接，若，且，求的度数． 15．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 16．（2024天津·期末）（1）【问题解决】 如图①，在 中， 是中线，若 ， ，求 的取值范围. 图① 思路点拨：延长 至点 ，使 ，则 ，连接 ，完成填空： ① _________； ②在 中，根据三角形三边关系，可得 的取值范围是__________. （2）【变式应用】 如图②，在 中， ， 是 的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证： . 图② 考点二 角平分线的性质 17．（2024天津·期末）如图，以点A为圆心，任意长为半径作弧与的两边分别交于点和点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，连接，，．根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积是（　　） A．36 B．18 C．15 D．9 19．（2023天津天津市第五十五中学·期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 20．（2022天津·期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（    ） A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点 C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点 21．（2023天津耀华·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD， BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 A．1 B．6 C．3 D．12 22．（2023天津耀华·期末）如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点D到AB的距离是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 23．（2022天津耀华·期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　） A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC 24．（2022天津耀华·期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B． C． D． 25．（2024天津·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 26．（2023天津·期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是 ． 27．（2022天津·期末）如图，在中，，平分，与边交于点，，若点到的距离等于5cm，则的长为 cm． 28．（2022天津天津市第七中学·期末）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则 ； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 29．（2022天津·期末）如图，在和中，，，， ． 连接，交于点，连接． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求的大小； （Ⅲ）求证： 30．（2022天津·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）为线段上一点，过点作，垂足为．当时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）． 参考答案 1．【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定；根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由题意得：，， A．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； B．若添加，不能根据全等三角形判定定理判定，故符合题意； C．若添加，根据平角定义可以得出，然后根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； D．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； 故此题答案为：B． 2．【答案】D 【分析】 由题意依据三角形全等其对应边、对应角相等进行分析判断即可. 【详解】 解：∵， ∴，A选项正确； ，,， ∵, ∴,B选项正确； ∵, ∴，C选项正确； ∵， ∴，不一定成立，D选项不正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是找准对应边和对应角以及熟悉等腰三角形的性质. 3．【答案】A 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故此题答案为C． 5．【答案】A 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故此题答案为A． 6．【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAB=40°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点， ∴∠DBA=∠CAB=40°， ∴∠DAB=180°-80°-40°=60°， 故选C． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7．【答案】D 【分析】利用全等三角形的判断方法ASA进行分析即可． 【详解】在和中， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A． 若，利用SSS可证，故本选项不符合题意； B． 若，利用SAS可证，故本选项不符合题意； C． 若，两边及其一边的对角对应相等不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意； D． 若，利用ASA可证，故本选项不符合题意． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查的是判定全等三角形所需的条件，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键． 9．【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点作，垂足为，延长交与点，然后连接，易证，从而求出，再利用三角形的外角求出的度数，放在直角三角形中求出的度数，进而证，可得，最后放在等腰三角形中求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交与点，连接， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 故此题答案为：B． 10．【答案】 【分析】根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：180°-85°-45°=50°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴x=50°， 故此题答案为50°． 【关键点拨】此题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11．【答案】 见解析； 【分析】 利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】 证明：∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【关键点拨】此题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．【答案】见解析 【分析】根据BE=CF推出BF=CE，利用AB∥CD证得∠B=∠C，即可根据SAS证得结论． 【详解】证明：∵BE=CF, ∴BE-EF=CF-EF, ∴BF=CE, ∵AB∥CD， ∴∠B=∠C． 在和中 ． 【关键点拨】此题考查全等三角形的判定，熟记三角形全等的判定方法及确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键． 13．【答案】． 【分析】此题主要考查看全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明，得到，即可求出答案． 【详解】解： 中 在和中 ， ， 14．【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）先证明，再根据“边边边”证明，即可得到； （2）根据，得到，再证明，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由条件根据“”可证明； （2）根据“+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++”证明，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴∠1＝∠2． 【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 16．【答案】（1）① ；② ；（2）证明见解析 【分析】（1）①利用 即可证明 ；②根据全等三角形的性质得到 ，再由三角形三边的关系得到 ，据此可得答案； （2）如图所示，延长 到F使得 ，则 ，连接 ，证明 ，得到 ， ，再由 ，得到 ，进而证明 ，得到 ，即可证明 ． 【详解】解：（1）①延长 至点 ，使 ，则 ，连接 ， ∵ 是中线， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； ②∵ , ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）如图所示，延长 到F使得 ，则 ，连接 ， ∵ 是 的中线， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 17．【答案】B 【分析】此题主要考查作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定进行解题即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ，故此题答案为项A、C正确，不符合题意； ， 垂直平分线段， ，故此题答案为项D正确，不符合题意． 故此题答案为B． 18．【答案】B 【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：作DQ⊥AC于Q． 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=12， ∴S△ACD=•AC•DQ=×12×3=18， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 19．【答案】C 【详解】如图，连接EC、DC． 根据作图的过程知， 在△EOC与△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故此题答案为C． 20．【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上； ∵PA＝PB， ∴P在AB的垂直平分线上， ∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点． 故此题答案为D． 21．【答案】C 【分析】由垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，由等角的余角相等推出∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知DP =AD=3. 【详解】过D作DP⊥BC于点P，如图所示， 在△ABD中，∠A=90°，∴∠ABP+∠ADB=90° ∵BD⊥CD，∴∠C+∠CBD=90°， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC， ∴DP=AD=3. ∴DP的最小值为3，故选C. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 22．【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解∶∵，， ∴CD=3cm， 过点D作DE⊥AB于E， 又BD平分∠ABC，∠ACB=90°， ∴DE=CD=3cm， 即点D到AB的距离是3cm． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题的关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 23．【答案】B 【分析】 过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解． 【详解】 解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F， ∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P， ∴PD=PF，PE=PF， ∴PD=PE， ∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC． 故选：B 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 24．【答案】D 【分析】 由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案. 【详解】 解：由角平分线的作图可得：， 故选D 【点睛】 本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键. 25．【答案】2 【分析】此题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答此题的关键． 过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故此题答案为：2． 26．【答案】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分于点D， ∴， ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 27．【答案】 【分析】 过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而即可求的长． 【详解】 解：过点作于点E，如图， ∵平分，点到的距离等于5cm， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 28．【答案】（1）2；（2）24；（3） 【分析】 （1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案； （2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据的面积求出DF，再求△ABD的面积，最后求出的面积； （3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长． 【详解】 解：（1）∵AD是△ABC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD， ∴∠CFA＝∠EFA， 在△AEF和△ACF中， ∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2， 故答案为：2； （2）如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F ∵的面积是10，AC=5， ∴DF=2×10÷5=4， ∵为的角平分线， ∴DE=DF=4， ∴=, ∴． （3）如图，在AB上取AN＝AC， ∵AD是△ABC的平分线， ∴∠NAD＝CAD， 在△ADN与△ADC中， ∴△ADN≌△ADC（SAS）， ∴∠AND＝∠C，DN＝CD， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AND＝2∠B， ∴∠B＝∠BDN， ∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n， ∴CD＝DN＝m﹣n， 根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得： ， ∴， ∴BD＝， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键． 29．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【分析】 （I）先证明△AOC≌△BOD（SAS），即可证明AC=BD； （II）如图由于△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，再根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠AOB=∠AMB=36° （III）如图，作两条垂线，再通过面积相等证明两条高也就是垂线相等，从而证明OM在∠AMD角平分线上，所以∠OMP=∠OMQ 【详解】 解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ，即． ∵ ，， ∴ ≌．∴ ． （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得． ∵ ，∴ ． ∴ ． （Ⅲ）如图，过分别作，，垂足分别为点，． ∵ ≌，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ． ∴ 点在的平分线上．∴ ． 【点睛】 本题考查全等三角形判定及其性质，三角形外角定理、角平分线的性质与判定，掌握这些是本题解题关键，同时也要会添加辅助线． 30．【答案】（1）4；（2）图见解析 【分析】 （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】 （1）的面积等于 故答案为：； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接与交于点；连接，即为所求． ∵AC=QC，∠ACP=∠QCP，CP=CP， ∴△ACP≌△QCP（SAS） ∴∠PQC=∠A=90° ∴PQ=AP，，故点和点为所求． 【点睛】 此题主要考查角平分线的作图及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的尺规作图方法． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 学校:_________________________ 班级:_________________________ 姓名:_________________________ 准考证号:_________________________ 考场号:_________________________ ) ( 弥 封 线 内 不 要 答 题 ) 专项复习提升（二） 全等三角形 考点一 全等三角形的判定与性质 1．（2024天津·期末）如图，已知，添加一个条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定；根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：由题意得：，， A．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； B．若添加，不能根据全等三角形判定定理判定，故符合题意； C．若添加，根据平角定义可以得出，然后根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； D．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意； 故此题答案为：B． 2．（2022天津·期末）如图，已知，则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意依据三角形全等其对应边、对应角相等进行分析判断即可. 【详解】 解：∵， ∴，A选项正确； ，,， ∵, ∴,B选项正确； ∵, ∴，C选项正确； ∵， ∴，不一定成立，D选项不正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是找准对应边和对应角以及熟悉等腰三角形的性质. 3．（2024天津·期末）如图，点A、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．（2024天津·期末）如图，，，，则的长度等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故此题答案为C． 5．（2024天津·期末）如图，，点E在线段上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故此题答案为A． 6．（2022天津天津市第七中学·期末）如图，，点A和点B，点C和点D是对应点．如果，，那么度数是（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAB=40°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点， ∴∠DBA=∠CAB=40°， ∴∠DAB=180°-80°-40°=60°， 故选C． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，为了测量B点到河对面的目标之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A，B两点间的距离，这里判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判断方法ASA进行分析即可． 【详解】在和中， 故此题答案为D． 【关键点拨】此题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在下列四组条件中，不能判断的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A． 若，利用SSS可证，故本选项不符合题意； B． 若，利用SAS可证，故本选项不符合题意； C． 若，两边及其一边的对角对应相等不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意； D． 若，利用ASA可证，故本选项不符合题意． 故此题答案为C． 【关键点拨】此题考查的是判定全等三角形所需的条件，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键． 9．（2024天津·期末）如图，中，，点为内一点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．根据已知易证，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点作，垂足为，延长交与点，然后连接，易证，从而求出，再利用三角形的外角求出的度数，放在直角三角形中求出的度数，进而证，可得，最后放在等腰三角形中求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交与点，连接， ，， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 故此题答案为：B． 10．（2024天津·期末）图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：180°-85°-45°=50°， ∵两个三角形是全等三角形， ∴x=50°， 故此题答案为50°． 【关键点拨】此题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11．（2024天津·期末）如图，点 ， 在 上， ， ， ，求证： ． 【答案】 见解析； 【分析】 利用SAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】 证明：∵ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【关键点拨】此题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2024天津·期末）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据BE=CF推出BF=CE，利用AB∥CD证得∠B=∠C，即可根据SAS证得结论． 【详解】证明：∵BE=CF, ∴BE-EF=CF-EF, ∴BF=CE, ∵AB∥CD， ∴∠B=∠C． 在和中 ． 【关键点拨】此题考查全等三角形的判定，熟记三角形全等的判定方法及确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键． 13．（2024天津·期末）如图，，，，，垂足分别为点，点，，，求的长． 【答案】． 【分析】此题主要考查看全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明，得到，即可求出答案． 【详解】解： 中 在和中 ， ， 14．（2024天津·期末）点A，D，C，E在同一直线上，，，，与相交于点G． (1)图1，求证：； (2)图2，连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）先证明，再根据“边边边”证明，即可得到； （2）根据，得到，再证明，得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由条件根据“”可证明； （2）根据“+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++”证明，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴∠1＝∠2． 【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 16．（2024天津·期末）（1）【问题解决】 如图①，在 中， 是中线，若 ， ，求 的取值范围. 图① 思路点拨：延长 至点 ，使 ，则 ，连接 ，完成填空： ① _________； ②在 中，根据三角形三边关系，可得 的取值范围是__________. （2）【变式应用】 如图②，在 中， ， 是 的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证： . 图② 【答案】（1）① ；② ；（2）证明见解析 【分析】（1）①利用 即可证明 ；②根据全等三角形的性质得到 ，再由三角形三边的关系得到 ，据此可得答案； （2）如图所示，延长 到F使得 ，则 ，连接 ，证明 ，得到 ， ，再由 ，得到 ，进而证明 ，得到 ，即可证明 ． 【详解】解：（1）①延长 至点 ，使 ，则 ，连接 ， ∵ 是中线， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； ②∵ , ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）如图所示，延长 到F使得 ，则 ，连接 ， ∵ 是 的中线， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 考点二 角平分线的性质 17．（2024天津·期末）如图，以点A为圆心，任意长为半径作弧与的两边分别交于点和点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，连接，，．根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定进行解题即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ，故此题答案为项A、C正确，不符合题意； ， 垂直平分线段， ，故此题答案为项D正确，不符合题意． 故此题答案为B． 18．（2024天津天津市第五十五中学·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积是（　　） A．36 B．18 C．15 D．9 【答案】B 【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：作DQ⊥AC于Q． 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=12， ∴S△ACD=•AC•DQ=×12×3=18， 故此题答案为B． 【关键点拨】此题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 19．（2023天津天津市第五十五中学·期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【详解】如图，连接EC、DC． 根据作图的过程知， 在△EOC与△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故此题答案为C． 20．（2022天津·期末）如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（    ） A．Р为两角平分线的交点 B．P为两边上的高的交点 C．P为两边的垂直平分线的交点 D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上； ∵PA＝PB， ∴P在AB的垂直平分线上， ∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点． 故此题答案为D． 21．（2023天津耀华·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD， BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，由等角的余角相等推出∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知DP =AD=3. 【详解】过D作DP⊥BC于点P，如图所示， 在△ABD中，∠A=90°，∴∠ABP+∠ADB=90° ∵BD⊥CD，∴∠C+∠CBD=90°， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC， ∴DP=AD=3. ∴DP的最小值为3，故选C. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 22．（2023天津耀华·期末）如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点D到AB的距离是（    ） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解∶∵，， ∴CD=3cm， 过点D作DE⊥AB于E， 又BD平分∠ABC，∠ACB=90°， ∴DE=CD=3cm， 即点D到AB的距离是3cm． 故选：D． 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题的关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 23．（2022天津耀华·期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　） A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC 【答案】B 【分析】 过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解． 【详解】 解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F， ∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P， ∴PD=PF，PE=PF， ∴PD=PE， ∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC． 故选：B 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 24．（2022天津耀华·期末）如图①，已知∠AOB，用直尺和圆规作∠AOB的平分线． 如图②，步骤如下： 第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于点N． 第二步，分别以点M，N为圆心，以a为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 第三步，画射线OC．射线OC即为所求． 下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B． C． D． 【答案】D 【分析】 由作图可得：为保证得到两弧的交点，所以半径a大于线段MN的一半，从而可得答案. 【详解】 解：由角平分线的作图可得：， 故选D 【点睛】 本题考查的是角平分线的作图，熟悉角平分线的作图的基本原理是解本题的关键. 25．（2024天津·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和．再分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，若点到的距离为2，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查作图一基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质、点到直线的距离是解答此题的关键． 过点作于点，则，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【详解】解：过点作于点， ∵点到的距离为2， ∴， 由作图可知，为的平分线， 故此题答案为：2． 26．（2023天津·期末）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分于点D， ∴， ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 27．（2022天津·期末）如图，在中，，平分，与边交于点，，若点到的距离等于5cm，则的长为 cm． 【答案】 【分析】 过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而即可求的长． 【详解】 解：过点作于点E，如图， ∵平分，点到的距离等于5cm， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 28．（2022天津天津市第七中学·期末）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则 ； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 【答案】（1）2；（2）24；（3） 【分析】 （1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案； （2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据的面积求出DF，再求△ABD的面积，最后求出的面积； （3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长． 【详解】 解：（1）∵AD是△ABC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD， ∴∠CFA＝∠EFA， 在△AEF和△ACF中， ∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2， 故答案为：2； （2）如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F ∵的面积是10，AC=5， ∴DF=2×10÷5=4， ∵为的角平分线， ∴DE=DF=4， ∴=, ∴． （3）如图，在AB上取AN＝AC， ∵AD是△ABC的平分线， ∴∠NAD＝CAD， 在△ADN与△ADC中， ∴△ADN≌△ADC（SAS）， ∴∠AND＝∠C，DN＝CD， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AND＝2∠B， ∴∠B＝∠BDN， ∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n， ∴CD＝DN＝m﹣n， 根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得： ， ∴， ∴BD＝， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键． 29．（2022天津·期末）如图，在和中，，，， ． 连接，交于点，连接． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求的大小； （Ⅲ）求证： 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 【分析】 （I）先证明△AOC≌△BOD（SAS），即可证明AC=BD； （II）如图由于△AOC≌△BOD，所以∠OAC=∠OBD，再根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠AOB=∠AMB=36° （III）如图，作两条垂线，再通过面积相等证明两条高也就是垂线相等，从而证明OM在∠AMD角平分线上，所以∠OMP=∠OMQ 【详解】 解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ，即． ∵ ，， ∴ ≌．∴ ． （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得． ∵ ，∴ ． ∴ ． （Ⅲ）如图，过分别作，，垂足分别为点，． ∵ ≌，∴ ．∴ ． ∵ ，∴ ． ∴ 点在的平分线上．∴ ． 【点睛】 本题考查全等三角形判定及其性质，三角形外角定理、角平分线的性质与判定，掌握这些是本题解题关键，同时也要会添加辅助线． 30．（2022天津·期末）如图，在中，，，． （1）的面积等于 ； （2）为线段上一点，过点作，垂足为．当时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）． 【答案】（1）4；（2）图见解析 【分析】 （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解． 【详解】 （1）的面积等于 故答案为：； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接与交于点；连接，即为所求． ∵AC=QC，∠ACP=∠QCP，CP=CP， ∴△ACP≌△QCP（SAS） ∴∠PQC=∠A=90° ∴PQ=AP，，故点和点为所求． 【点睛】 此题主要考查角平分线的作图及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的尺规作图方法． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$