2025年河北省九年级中考数学二轮复习专题突破课件：专题一 数与式计算求解题

专题一 数与式计算求解题 1 类型1 填补缺项 类型2 纠错改错 类型3 实数运算 类型4 定义新运算 类型5 数轴背景 2 填补缺项 例 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌 捂住了一个二次三项式，形式如图. <m></m> （1）求所捂的二次三项式； 【解答】设所捂的二次三项式为，根据题意得 . （2）若 ，求所捂二次三项式的值. [答案] 当时，原式 . 3 变式训练 1.在化简●◆的题目中，●表示“，， ， ”四个运算 符号中的某一个，◆表示二次项的系数. （1）若●表示“×”， ①把◆猜成1时，请化简 ； 【解答】 . ②若结果是一个常数，请说明◆表示的数是几. [答案] 原式◆◆ . 由结果是一个常数，得◆ ， 则◆ . 4 （2）若◆表示数，当时，●的值为 ，请推算 ●所表示的符号. [答案] 把代入,得2● ， 整理，得2● ， 则●为“ ”或“-”. 5 2.根据条件，求下列代数式的值. （1）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式， 形式如图.求当， 时所捂多项式的值. 6 【解答】设用手掌捂住的多项式为 ， 则 . 当， 时， 原式 . 7 （2）若，，求代数式 的值. [答案] 原式 . 当，时，原式 . 8 3.嘉淇准备完成题目：计算.发现有一个数“ ”印刷不清楚. （1）他把“”猜成18，请你计算 ； 【解答】 . 9 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是 .”请你通过计算说 明原题中“ ”是几. [答案] 设原题中“”为 ， 则 ， 解得 ， 即原题中“”为 . 10 4.老师就式子 ，请同学们自己出问题并解答. （1）小磊的问题：若代表，代表 ，计算该式的值； 【解答】原式 . （2）小敏的问题：若代表，代表，计算的结果是有理数，求有理数 的值； [答案] 原式 . 计算结果是有理数， ， . 11 （3）小捷的问题：若，且和 所代表的数互为相反数，请写 出 所代表的数的取值范围. [答案] 不妨设所代表的数为，则所代表的数为 . 由题意可知，解得 . 12 5.如图，作业本上有这样一道填空题，其中有 一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为 . （1）求被墨水污染的部分. 【解答】设被墨水污染的部分是，由题意，得 ， 解得，故被墨水污染的部分为 . （2）原分式的值能等于 吗？为什么？ [答案] 不能. 若，则，由分式，得 ， 当时，原分式无意义， 不能. 13 6.小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数 被污染了. 计算： . （1）若，计算： ; 【解答】原式 . （2）若,求 的值； [答案] 由 , 解得 . 14 （3）若要使的结果为最小正整数，求 的值. [答案] , 由题意，得 , 解得 . 15 7.嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组发现常数“ ”印刷不清楚. （1）他把“”猜成，请你解一元一次不等式组 【解答】 由①，得 ， 由②，得 ， 不等式组的解集为 . 16 （2）张老师说：“我做一下变式，若表示字母，且的解集是 .”请 求字母“ ”的取值范围. [答案] 设“”为，则不等式的解集为 . 又 不等式组的解集是，不等式的解集是 ， ,即 . 17 纠错改错 例1 （2024·乐山）先化简，再求值：，其中 ．小乐同学的计算过程 如下： 18 解： 当时，原式 . （1）小乐同学的解答过程中，第____步开始出现了错误； ③ （2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 【解答】 . 当时，原式 . 20 【方法技巧】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识 点是解题的关键. （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可. 21 例2 （2023·通辽）以下是某同学化简分式 的部分运算过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 …… （1）上面的运算过程中第____步开始出现了错误； 一 （2）请你写出完整的解答过程. 【解答】原式 . 22 【方法技巧】本题考查了分式的化简，异分母的分式减法及除法运算，熟练掌握知 识点是解J题的关键．先通分，再进行分子相减，将除法变为乘法化简即可. 23 变式训练 1.已知算式“ ”. （1）请你计算上式结果； 【解答】 . （2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为 ，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； [答案] 设嘉嘉把“8”错写成了 ， 根据题意，得 ， 解得 ， 即嘉嘉把“8”错写成了3. 24 （3）淇淇把运算符号“×”错看成了“ ”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少. [答案] 淇淇的结果为， ， 即淇淇的计算结果比原题的正确结果大10. 25 2.两个同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成 ；乙因看错了常数项而分解成 .求将原多项式因式分解 后的正确结果. 【解答】甲： ， 乙： ， 原多项式为 ， 因式分解的正确结果为 . 26 3.复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知 ， ，当时，求 的值.” （1）嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了 式中的一次项系数，比 正确答案的值多了16，问淇淇把 式中的一次项系数看成了什么数？ 【解答】设淇淇把式中的一次项系数看成了，得 ， ， ， 代入，得 ， 解得 ， 淇淇把式中的一次项系数看成了 . 27 （2）小明把“”看成了“ ”，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉 的计算结果有什么关系？ [答案] ， ， . 当时，原式 . 与 互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数. 28 4.老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由 学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目 交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位 同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人 只能看到前一人传过来的式子. （1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； 【解答】 ，故小明计算错误； ，故小红计算错误. 故这个“接力游戏”中计算错误的同学是小明、小红. 29 （2）请你写出正确的解答过程． [答案] 正确的解答过程如下： . 30 实数运算 例 请你参考下面黑板中老师的讲解，用运算律简便计算. 利用运算律有时能进行简便计算. 例1 . 例2 . （1） ； 【解答】 . 31 （2） . [答案] . 【方法技巧】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题 的关键. 32 变式训练 1.请你参考下面黑板中老师的讲解，用运算律简便计算. 利用运算律有时可以简便计算. 例1 . 例2 . （1） ； 【解答】 . 33 （2） . [答案] . 34 2.已知两个有理数：3和 . （1）计算： ； 【解答】原式 . （2）若再添一个数，且3，，这三个数的平均数等于7，求 的值. [答案] 由题意，得，解得 . 35 3.请你参考黑板中老师的讲解，运用平方差公式进行简便计算. 利用平方差公式可以进行简便计算. 例1 . 36 例2 . 37 （1） ； 【解答】 . 38 （2） . [答案] . 39 4.下面是小明完成的一道作业题. 小明的作业 计算： . 解： . 40 请你参考小明的方法解答下面的问题： （1）计算： ① ； 【解答】 . ② . [答案] 原式 . （2）若，求 的值. [答案] ， ， ，解得 . 41 5.阅读下面的材料，并回答后面的问题． 材料：由乘方的意义，我们可以得到 ， ． 于是，我们可以得到同底数幂的乘法的运算规律：， 都是正整 数 .问题： （1）计算： ① ； 【解答】 . ② ． [答案] . 42 （2）将 写成底数是2的幂的形式． [答案] . （3）若，求 的值． [答案] ， 由题意，得 ， 解得 . 43 6.（1）若关于，的多项式中不含有 项， 则 的值为____. 【解答】 . 上述多项式不含有 项， ， . 44 （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求 的值. 解：， ， ， ． ． . 45 ①如图，是线段上的一点，分别以，为边向直线 两侧作正方形，正方形．设 ，两正方形的面 积和为34，则 的面积为____； 7.5 [解析] 设正方形和正方形的边长分别为和 ，则 的面积为 . 根据题意，得， . ， ， . 46 ②若，求 的值. [答案] 令， ， 则 ， . ， ， ， ， . 47 定义新运算 例 定义新运算：对于任意实数， ，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： . （1）求 的值； 【解答】由定义新运算，得 . 48 （2）若的值小于13，求 的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来. [答案] ， ，解得 . 在数轴上表示如答图. 【方法技巧】本题考查的是实数的混合运算，不等式的运算以及数轴，理解题意是 解本题的关键. 49 变式训练 1.对于任意实数，定义一种新运算“ ”如下： ，例如 . （1）求 的值； 【解答】原式 . （2）若，求 . [答案] 由题知，，化简得，解得 . 50 2.规定一种运算，为常数 . （1）若，，求， 的值； 【解答】根据题意，得解得 （2）在（1）的条件下，试比较与 的大小; [答案] 当，时， ， ， . ，，， ， . 51 （3）无论取何值，都有，若为正整数，且关于 的不等式 的解集为，求 的值. [答案] 由,得 ， ， . ， ， . 不等式的解集为 ， ， . 为正整数， . 52 3.对实数，定义新运算 例如：, . （1）化简 _______； （2）化简 ； 【解答】 ， . 53 （3）化简 . [答案] 当 时， ； 当时， ． 54 4.定义新运算：对于任意实数，都有☆ ，等式右边是常用的 加法、减法、乘法及乘方运算.例如：☆ .根据以上 知识解决问题： （1）若☆，则 的值为______. 1或2 （2）求抛物线☆ 的顶点坐标. 【解答】根据题意知， . 抛物线的顶点坐标为 . 55 （3）若2☆的值小于0，则方程 有几个根？ [答案] ☆ 的值小于0， ，解得 . 在方程 中， ， 方程 有两个不相等的实数根. 56 5.定义：一个四位数，若它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同， 那么称这个四位数为“对称数”. （1）最小的四位“对称数”是_______，最大的四位“对称数”是_______. 1 001 9 999 （2）若一个“对称数”的个位数字为，十位数字为，请用含， 的代数式表示该 “对称数”. 【解答】根据题意,得 . 57 （3）判断任意一个四位“对称数”能否被11整除.若能，请说明理由；若不能，请举 出反例. [答案] 任意一个四位“对称数”能被11整除，理由如下： . 为整数， 这个四位“对称数”能被11整除. 58 6.定义一种新运算，规定，例 . （1）已知，，分别求， ； 【解答】 ， . （2）通过计算比较与 的大小． [答案] . ， . 59 数轴背景 例 已知在纸面上有一数轴（如图所示）. （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数 的点重合，则此时表示数4的 点与表示数____的点重合. 【解答】折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为 ， 则表示4的点与表示 的点重合. 60 （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数 的点重合，回答下列问题： [解析] 折叠纸面，使表示数6的点与表示数 的点重合，折叠点对应的数为 . ①表示数9的点与表示数____的点重合； [解析] 设表示9的点与表示的点重合，于是有，解得 ， 即表示9的点与表示 的点重合. 61 ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且， 两点之间的距离为10 （点在点的左侧），求， 两点所表示的数分别是多少; [答案] 点表示的数为 ， 点表示的数为 ， 即点表示的数是，点 表示的数是7. 62 ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为,当 时，写 出 的值. [答案] ， ， 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得 ； 当时， ， 解得 . 综上所述，的值为 或8. 63 【方法技巧】本题考查数轴表示数的意义和方法，知道数轴上两个数的中点所表示 数的计算方法是解决问题的关键. 64 变式训练 1.如图,在一条不完整的数轴上一动点向左移动4个单位长度到达点 ，再向右移动7 个单位长度到达点 . （1）若点表示的数为0，求点， 表示的数； 【解答】若点 表示的数为0, ， 点表示的数为 . ， 点 表示的数为3. 65 （2）若点表示的数为5，求点， 表示的数； [答案] 若点 表示的数为5， ， 点表示的数为 . ， 点 表示的数为2. 66 （3）如果点，表示的数互为相反数，求点 表示的数. [答案] 若点， 表示的数互为相反数， ， 点表示的数为 . ， 点表示的数为 . 67 2.如图，数轴上的点表示的数为，点 表示的数为2，几名学生使用这个数轴玩 算数游戏，游戏规则：一个学生在数轴上再选一个点（不是原点），对该点表示的 数和 ，2三个数中的负数都除以2，正数都乘4，将所得的新数相加，所得结果记 作 . （1）若甲同学选的点对应的数是，求 的值； 【解答】当甲同学选的数为时，三个数分别为， ，2， 根据题意，得 . 68 （2）若乙同学选的点对应的数为，且,判断是正数还是负数,并求 的值． [答案] 是负数. ,且 , ，是负数． ． 解得 . 69 3.如图，数轴上点,分别对应数,，其中， . （1）当，时，线段 的中点对应的数是___.（直接填结果） 2 （2）若该数轴上另有一点对应着数 . ①当，，且时，求代数式 的值； 【解答】由，，且，可得，整理得 . . 70 ②当，且时,学生小朋通过演算发现代数式 是一个定值. 老师点评：小朋同学的演算发现还不完整！ 请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的. [答案] 当，且 时，需要分两种情形. 当时，，整理得 ； 当时，，整理得 . 综上所述，小朋的演算发现并不完整. 71 4.如图，数轴上有三点，，，点表示的数，点 向左平移2个单位长度到 达点，向右平移3个单位长度到达点 . （1）直接写出点，对应的数， 的值； 【解答】， ， 的值为， 的值为4. （2）计算 的值； [答案] 把，， 代入，得 ， 的值是 . 72 （3）已知是关于的一元二次方程 的根，求代数式 的值. [答案] ，， ， 一元二次方程为 . 是关于 的一元二次方程的根， ， , . 73 $$