3.1.1椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版2019 选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？ 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conicsections）． 自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察,你画出的是一个什么样的图形呢? 椭圆的定义 怎样画椭圆呢？ F1 F2 M 绘图纸上的三个问题: 1.视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件，其轨迹是椭圆？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 结论： (1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|, M点轨迹为椭圆. (2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|, M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|, M点轨迹不存在. (1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么? (2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么? (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么? 椭圆 线段AB 不存在 这两个定点叫做椭圆的焦点（focus）， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focusdistance）， 焦距的一半称为半焦距． 由椭圆的定义可知， 上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆． M F1 F2 M F 2 F 1 注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方 （1） 必须在平面内; （2）两个定点---两点间距离确定; （3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定； (4）|MF1|+|MF2|>|F1F2|. 我们把平面内与两个定点 的距离的课等于常数（大于 ） 的点的轨迹叫做椭圆（ellipse） 如何建立适当平面直角坐标系？ 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 O x y 方案二 F1 F2 M O x y 求椭圆的方程： 基本步骤： （1）建系 （2）设点 （3）限式 （4）代换 （5）化简、证明 求轨迹方程的流程 ---------建设现代化 F1 F2 M x F1 F2 M 0 y 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ， 则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义得： （问题：下面怎样化简？） 代入坐标 由椭圆定义可知 ). 0 ( 1 2 2 2 2 > > = + b a b y a x 椭圆的标准方程 移项，再平方 两边再平方，得 椭圆的标准方程⑴ F1 F2 M 0 x y 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢 椭圆的标准方程⑵ x M F1 F2 y O 它表示: ① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ a2 = b2 + c2 它表示： ① 椭圆的焦点在x轴 ② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0） ③ a2 = b2 +c2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 根据所学知识完成下表: x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O a2-c2=b2 椭圆方程有特点、系数为正加相连、 分母较大焦点定、右边数“1”记心间 答：在x轴。（-3，0）和（3，0） 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 答：在y轴。（0，-1）和（0，1） 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上 1、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。 典例展示 下面从两个角度巩固椭圆定义与标准方程： （一）已知椭圆方程求未知；（二）求椭圆方程 1.如果椭圆 上的一点P与焦点 的距离等于6，那么点P与另一个焦点 的距离是 . 2.如果椭 圆 的右焦点 作垂直于 轴的直线AB,交椭圆与A，B两点， 是椭圆的左焦点. (1)求 的周长；(2)如果AB不垂直于 轴， 的周长有变化吗？为什么？ 下面从两个角度巩固椭圆定义与标准方程： （一）已知椭圆方程求未知；（二）求椭圆方程 跟踪训练 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点分别是（-3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0）； （2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，-5），椭圆上一点P到两个焦点的距离和为26. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） （2） （3） 作业： 一、已知椭圆方程求未知： 1、 《全优》 P211 T9、4、7 2、《全优》 P121 T2、 P126 T4、 P211 T2 3、 《全优》 P211 T5 4、 《全优》 P124 例4错题警示、P211T6、8 二、求椭圆方程： 1、 《全优》 P122 例1、 P125 T2 2、 《全优》 P211 T1、3、 P125 T1 一个定义 椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数2a (大于│ F1F2│,)的点的轨迹，叫做椭圆. 两个方程 椭圆标准方程： (1). 椭圆焦点在x轴上 (2). 椭圆焦点在y轴上 两种方法 待定系数法、数形结合思想方法 $$