专题02 常用逻辑用语（4大题型）--2024～2025学年高一数学上秋季期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题02 常用逻辑用语（精讲） 题型目录一览 充分、必要条件的判断 根据充分必要条件求参数的取值范围 全称量词命题与存在量词命题的否定 根据命题的真假求参数的取值范围 一、知识点梳理 1.充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 2.全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【常用结论】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 二、题型分类精讲 题型一 充分、必要条件的判断 策略方法 判断充分、必要条件的几种方法 【典例1】（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【典例2】（23-24高一上·河南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）下列命题正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．若，则 C．在中，“”是“”的充要条件 D．若，则 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．设角为锐角（单位为弧度），则 C．命题“，使得”的否定是：“，均有” D．若，，则“”是“”的充分不必要条件 三、解答题 8．（20-21高一上·山东济宁·期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 9．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 10．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 11．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 题型二 根据充分必要条件求参数的取值范围 策略方法 1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关) 先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 2．利用充要条件求参数的两个关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例3】如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例4】（23-24高一上·四川南充·期末）设集合，. (1)若时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北咸宁·期末）函数在区间单调递减的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）已知p：实数x满足；q：．若p是q的必要不充分条件，则m的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）条件：，条件：，若是的充分而不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东汕头·期末）若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 三、解答题 6．（23-24高一上·河南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 7．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，设集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·湖南·期末）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 题型三 全称量词命题与存在量命题的否定 策略方法 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否结论：对原命题的结论进行否定． 【典例5】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 【典例6】（多选）（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列说法错误的是（    ） A．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” B．“菱形是正方形”是全称命题 C．式子化简后为 D．“”是“，有为真命题”的充分不必要条件 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 2．（23-24高一上·广西玉林·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，且，则 B．函数的图象是一条直线 C．命题“，”的否定是“，” D．函数的最小值为4 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“幂函数在上单调递减”的充要条件为“” C．命题的否定为： D．已知一扇形的圆心角，且其所在圆的半径，则扇形的弧长为 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列说法，正确的有（ ） A．函数单调递增区间 B．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 C．命题“，”的否定形式是“，” D．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）下列说法不正确的是（    ） A．命题：使得，则：， B．若是奇函数，则一定有 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若的定义域为，则的定义域为 6．（23-24高一上·山东聊城·期末）以下说法正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D．“，”是真命题，则 三、填空题 7．若命题，则命题的否定是 8．下列说法中错误的是 （填序号） ①命题“，有”的否定是“”，有”； ②已知，，，则的最小值为； ③设，命题“若，则”的否命题是真命题； ④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是. 题型四 根据命题的真假求参数的取值范围 策略方法 1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可. 2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 【典例7】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例8】已知命题：，成立；命题：有两个负根. (1)若命题为真命题，求的取值范围. (2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·山东·模拟预测）若“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知命题“，使得”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）下列说法正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是真命题 C．命题“”的否定是“” D．“，使”是假命题，则 三、解答题 10．（22-23高一上·重庆北碚·期末）集合，. (1)求 (2)若“则”是假命题，求实数a的取值范围； 11．已知命题：“，不等式成立”是真命题． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 12．（23-24高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题02 常用逻辑用语（精讲） 题型目录一览 充分、必要条件的判断 根据充分必要条件求参数的取值范围 全称量词命题与存在量词命题的否定 根据命题的真假求参数的取值范围 一、知识点梳理 1.充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义 如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 2.全称量词与存在童词 （1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”. （2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，. （2）存在量词命题的否定为. 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 【常用结论】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 二、题型分类精讲 题型一 充分、必要条件的判断 策略方法 判断充分、必要条件的几种方法 【典例1】（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 【典例2】（23-24高一上·河南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解. （2）由题意，即问题转化为恒成立，由此即可得解. 【详解】（1）， 由解得， 所以时，， 所以. （2）若“”是“”的必要条件，则， 由（1）知， 所以对任意，有， 所以问题转化为恒成立， 所以，即的取值范围为. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 2．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性. 【详解】因为， 由正弦定理得，且， 所以， 化简得 又， 所以， 又，即；充分性得证. 若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立. 故选：A. 3．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 5．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性，结合充要条件定义判断即可. 【详解】设，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以内层函数在上单调递减，则， 且对任意的，恒成立，即恒成立，则，所以. 即“函数在区间上单调递增”的充要条件是. 故选：D 二、多选题 6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）下列命题正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．若，则 C．在中，“”是“”的充要条件 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A，根据完全平方数的非负性判断B，利用特殊值判断C，根据对数的运算及对数函数的性质判断D. 【详解】对于A：命题“，使得”的否定是“，都有”故A正确； 对于B：因为，则， 即， 所以，即，故B正确； 对于C：在中若，，则，， 满足，但是，故C错误； 对于D：因为，则，，所以， 即，整理得，所以，故D正确. 故选：ABD 7．（23-24高一上·浙江湖州·期末）给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ） A．若角的终边过点且，则 B．设角为锐角（单位为弧度），则 C．命题“，使得”的否定是：“，均有” D．若，，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据与的推出关系判断. 【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于选项B：设角的终边与单位圆的交点为，单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴， 角为锐角，可知：等于的长，，则，故B正确； 对于选项C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C错误； 对于选项D：由可得，故充分性成立， 若成立，则不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：ABD. 三、解答题 8．（20-21高一上·山东济宁·期末）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合，. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出后利用并集的定义可求. （2）若选择①②，则根据条件得到两个集合的包含关系，从而可求参数的取值范围；若选择③，则就是否为空集分类讨论后可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，， 所以. （2）若选择①，则是的子集， 因为，所以， 又，所以解得， 所以实数的取值范围是. 若选择②“”是“”的充分不必要条件，则是真子集， 因为，所以， 又，所以（等号不同时成立）， 解得，所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或，解得或. 9．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 10．（9-10高三·江西宜春·阶段练习）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 11．（23-24高一下·河北保定·期末）（1）已知集合．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． （2）若命题“”为假命题，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）若是的必要不充分条件，转化为B是A的真子集．然后用集合的知识来解题即可； （2）“”为假命题转化为命题的否定为真命题，即“”为真命题，运用关于的一次函数来解题即可. 【详解】解：（1）由是的必要不充分条件，得B是A的真子集， 或 则当时，，解得， 当时，，或，解得或， 综上所述，． （2）由题意知“”为真命题． 令， 则，即，解得 所以x的取值范围为． 题型二 根据充分必要条件求参数的取值范围 策略方法 1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关) 先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 2．利用充要条件求参数的两个关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 【典例3】如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先用去绝对值法解出不等式的解集，说明包含在不等式的解集中，找出边界的大小关系可得答案. 【详解】 不等式成立的充分不必要条件是，说明 不等号不能同时取到，解之：，检验一下左右等号命题成立. 故选：B 【典例4】（23-24高一上·四川南充·期末）设集合，. (1)若时，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将集合A化简，利用并集运算得解； （2）根据题意可得，列式运算可求解. 【详解】（1）由，所以，解得， ，当时，， . （2）由题是的充分不必要条件，即， 则（等号不同时取），解得， 所以实数的取值范围为. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖北咸宁·期末）函数在区间单调递减的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求得a的范围，再利用充分不必要条件的定义求解. 【详解】令，则， 所以在区间内为减函数， 即，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 3．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）已知p：实数x满足；q：．若p是q的必要不充分条件，则m的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由p是q的必要不充分条件，则. 【详解】由实数x满足，则. 又由p是q的必要不充分条件，则， 故，则m的最大值为. 故选：B 4．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）条件：，条件：，若是的充分而不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设满足条件与的元素组成集合与，根据充分与必要条件和集合的关系可得，再根据对数不等式的求解与不等式区间端点满足的关系列式求解即可. 【详解】设满足条件与的元素组成集合与， ∵是的充分而不必要条件， ∴，易得且， 当，即时，，与矛盾！ 当，即时，，由得，即， 当，即时，，与矛盾！ 综合上述，得． 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高一上·广东汕头·期末）若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可转化为二次不等式的解集为的子集，据此列出不等式求解. 【详解】由可得， 由可得， 因为是关于的不等式成立的必要条件， 所以二次不等式的解为集合的子集， 所以即可，解得， 故选：BCD 三、解答题 6．（23-24高一上·河南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得化简集合，结合交集的概念即可得解. （2）由题意，即问题转化为恒成立，由此即可得解. 【详解】（1）， 由解得， 所以时，， 所以. （2）若“”是“”的必要条件，则， 由（1）知， 所以对任意，有， 所以问题转化为恒成立， 所以，即的取值范围为. 7．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设集合． (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式再应用交集计算即可； （2）根据必要不充分得出集合间关系再列不等式组求解即可. 【详解】（1）根据题意，可得或， ， 所以． （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，又或， 可得（等号不同时取到），解得， 即实数的取值范围是． 8．（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由是方程的根得，再结合已知条件解一元二次不等式得. （2）由充分不必要条件得集合的包含关系，进一步分类讨论列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，或， 所以是方程的根， 所以． 由可得或，所以或， 又因为，或， 所以，． （2）因为或，， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时满足题意，此时，即， 当时，此时或，则， 综上所述，实数的取值范围是． 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求解A，解绝对值不等式求解B，进而根据交集的运算求解； （2）根据已知可推得A是C的真子集，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】（1）由题意得，， ,所以. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合A是集合C的真子集， 所以，解得，所以实数m的取值范围是. 10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，设集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得恒成立，即求解； （2）化简，由题意得求得答案. 【详解】（1）由，即恒成立， ，解得. 所以实数的取值范围为. （2）由，是的充分条件， 所以，得，即，解得. 所以实数的取值范围为. 11．（23-24高一上·湖南·期末）已知集合. (1)若，求实数的值； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据指数函数求得，结合交集运算求解； （2）由题意可得：，根据包含关系分析求解. 【详解】（1）由可得，即， 若，则，解得. （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可知，则有： ①，解得； ②当时，即时，，不符合题意； ③当时，即时，，符合题意； 综上所述：实数的取值范围. 12．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解； （2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 所以，，得，， 则不等式即， 解得，故解集； （2）由（1）知，，而是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型三 全称量词命题与存在量命题的否定 策略方法 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否结论：对原命题的结论进行否定． 【典例5】（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 【答案】AB 【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解. 【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确； 对于B，命题（1）的否定为：存在，故B正确； 对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误； 对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误. 故选：AB. 【典例6】（多选）（23-24高一上·江西萍乡·期末）下列说法错误的是（    ） A．命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” B．“菱形是正方形”是全称命题 C．式子化简后为 D．“”是“，有为真命题”的充分不必要条件 【答案】AD 【分析】对于A，由命题否定的定义即可判断；对于B，由全称量词命题的定义即可判断；对于C，首先，由此即可进一步化简验算；对于D，首先得“，有为真命题”的充要条件，由此即可求解. 【详解】对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，故A符合题意； 对于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全称命题，故B不符合题意； 对于C，若式子有意义，则，即， 所以，故C不符合题意； 对于D，，有，等价于，有，等价于， 所以“”是“，有为真命题”的必要不充分条件，故D符合题意. 故选：AD. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分性和必要性判断即可. 【详解】若，则，而若，则或，所以是的充分不必要条件，故A错； 命题若，则的否定为存在，则，故B错； 若，则，而时，可以，，所以，是的充分不必要条件，故C错； 若，时，，若，则，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·广西玉林·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，且，则 B．函数的图象是一条直线 C．命题“，”的否定是“，” D．函数的最小值为4 【答案】C 【分析】利用作差法可得，即A错误；根据函数图象可知的图象是一系列的散点，即B错误；由含有一个量词命题的否定形式可知C正确；利用基本不等式可得等号不成立，所以D错误. 【详解】对于A，利用作差法可得， 由，且可得，所以，可知A错误； 对于B，函数的图象是不连续的散点，并不是直线，即B错误； 对于C，由含有一个量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，即C正确； 对于D，当时，， 则，当且仅当，即时等号成立， 显然等号取不到，所以D错误； 故选：C 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“幂函数在上单调递减”的充要条件为“” C．命题的否定为： D．已知一扇形的圆心角，且其所在圆的半径，则扇形的弧长为 【答案】AD 【分析】 由充分必要条件举例可得到A正确；由幂函数的单调性可得到B错误；由全称与特称命题的性质可得到C错误；由弧长公式可得到D正确. 【详解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，则恒成立，所以必要性成立，故A正确； B：由题意可知，又幂函数在上单调递减，则，故B错误； C：命题的否定为：，故C错误； D：扇形的圆心角，所以由弧长公式可知弧长为，故D正确. 故选：AD 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）给出下列说法，正确的有（ ） A．函数单调递增区间 B．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 C．命题“，”的否定形式是“，” D．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】由复合函数的单调性可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用存在量词命题的否定可判断C选项；利用二次不等式恒成立可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数，有， 即，即，解得， 所以，函数的定义域为， 内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为上的减函数， 由复合函数的单调性可知，函数函数单调递增区间为，A错； 对于B选项，若一扇形弧长为，圆心角为，其弧度为， 扇形的半径为，故该扇形的面积为，B对； 对于C选项，由存在量词命题的否定可知， 命题“，”的否定形式是“，”，C对； 对于D选项，若命题“，”为真命题，则，解得，D对. 故选：BCD. 5．（23-24高一上·安徽安庆·期末）下列说法不正确的是（    ） A．命题：使得，则：， B．若是奇函数，则一定有 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若的定义域为，则的定义域为 【答案】ABC 【分析】对于A，得出命题的否定判断即可；对于B，取即可说明B；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于A，命题：使得，则：，，故A不正确，符合题意； 对于B，若奇函数，时，无意义，故B不正确，符合题意； 对于C，已知函数 在 上是增函数， 首先当时，单调递增，则， 其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即， 但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即， 所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意； 对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·山东聊城·期末）以下说法正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D．“，”是真命题，则 【答案】ACD 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．（21-22高一上·江苏镇江·阶段练习）若命题，则命题的否定是 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是：. 故答案为：. 8．（2017·江西·一模）下列说法中错误的是 （填序号） ①命题“，有”的否定是“”，有”； ②已知，，，则的最小值为； ③设，命题“若，则”的否命题是真命题； ④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是. 【答案】①④ 【详解】①命题“，有”的否定是“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确； ②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值为，正确； ③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠0”，是真命题，正确； ④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即， 则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确． 故答案为①④． 题型四 根据命题的真假求参数的取值范围 策略方法 1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可. 2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 【典例7】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 【典例8】已知命题：，成立；命题：有两个负根. (1)若命题为真命题，求的取值范围. (2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次不等式有解问题，借助二次函数的性质即可解得； （2）根据已知条件，判断命题和命题一真一假，分类讨论即可得到. 【详解】（1）若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，， 解得，故a的取值范围为； （2）若命题为真，即一元二次方程有两个负根，设为 则，解得 若命题p和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真 当真假时， 有，解得； 当假真时， 命题假，则或；命题为真，则 因此假真，. 综上，的取值范围为. 【题型训练】 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知，若命题“，或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】当时，，无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件可得，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需满足，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 3．（23-24高一上·广东江门·期末）已知命题，是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题p的否定“，”为真命题，分离参数可得对恒成立，由基本不等式求出的最小值即可得出答案． 【详解】解：由题意，命题p的否定“，”为真命题． 即对恒成立， 因为，， 当且仅当，即时取等， 所以. 故选：C． 4．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解. 【详解】命题“，”为假命题， 即命题“，”为真命题， 则，解得， 对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误； 对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确； 对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误. 故选：C. 5．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据命题的真假关系得到原命题的否定为真命题，即，恒成立，从而求解. 【详解】由命题“，使得”为假命题， 则命题“，使得”为真命题， ，则， 所以， 则，可得. 故选：A 6．（2021·山东·模拟预测）若“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定对于恒成立，变换，根据三角函数的值域得到答案. 【详解】“，”是假命题， 即对于恒成立，即， ，，故. 故选：B 7．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知命题“，使得”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的最小值，进而求出的取值范围即可. 【详解】当时，，， 则 ，当且仅当时取等号， 因此当时，取得最小值， 由，使得，得， 又命题“，使得”为假命题，则， 所以的取值范围为. 故选：A 8．（22-23高一上·江苏盐城·期末）若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题，即在上有解， 即在上有解，记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小整数值是. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）下列说法正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是真命题 C．命题“”的否定是“” D．“，使”是假命题，则 【答案】AC 【分析】求得方程的解，结合充分、必要条件的判定，可判定A正确；结合三角函数的性质，可判定B错误；根据由全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据题意得出，使”是真命题，结合二次函数的性质，可判定D错误. 【详解】对于A中，由方程，解得或， 所以是的充分不必要条件，所以A正确； 对于B中，由， 所以不存在，使得，所以为假命题，所以B不正确； 对于C中，由全称命题与存在性命题互为否定关系， 可得：命题的否定为，所以C正确； 对于D中，由，使”是假命题， 可得，使”是真命题，则满足， 解得，所以D错误. 故选：AC. 三、解答题 10．（22-23高一上·重庆北碚·期末）集合，. (1)求 (2)若“则”是假命题，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解三角不等式求得集合，由此求得. （2）根据全称量词命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）对于，在上单调递减， 所以，所以. 所以. （2）由（1）得，而， 由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集， 则集合不是空集，所以，则， 此时集合不是集合的子集， 所以的取值范围是. 11．（19-20高三·山东·阶段练习）已知命题：“，不等式成立”是真命题． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）m>5；（2）a≥9. 【分析】（1）进行参变分离，进而通过求函数的最值解得答案； （2）根据充分不必要条件的定义即可得到答案. 【详解】（1）由题意恒成立，设 因为，所以，所以. （2）因为是的充分不必要条件， 所以. 12．（23-24高一上·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意可推出“，”为真命题，结合判别式列不等式，即可求得答案； （2）由题意可得的表达式，判断其单调性，利用函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）在区间上单调递减.证明如下： ，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$