专题01 集合（4大题型）--2024～2025学年高一数学上学期秋季期末重难点讲与练（人教A版·2019）

明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题01 集合 题型目录一览 集合的含义及其表示 集合间的基本关系 集合的交并补运算及图的应用 集合新定义问题 一、知识点梳理 1.集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 二、题型分类精讲 题型一 集合的含义与表示 策略方法 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 【典例1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，函数定义域为集合B． (1)若，求实数a的取值范围． (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且或 【分析】（1）由可得，解不等式可得所求范围； （2）由可得，根据转化为关于实数的不等式，解不等式可得所求范围. 【详解】（1）由题可得，得，即，     所以或. （2）；对函数，，由于， 当时，即，，函数无意义，所以，得， 由，知或，得且或. 【典例2】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知集合  . (1)判断元素，与集合的关系，并说明理由； (2)求. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由元素与集合的关系求解即可； （2）由结合诱导公式求出，再由交集的定义求解即可. 【详解】（1）令，解得：，故； 令，解得：，故； 故，. （2）因为，， 当为偶数，则， 当为奇数，则， 所以，所以. 【题型训练】 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命题中： ①若集合中只有一个元素，则； ②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是； ③已知函数的定义域为，则函数的定义域为； ④函数在上单调递增； ⑤方程的实根的个数是2. 所有正确命题的序号是 . 【答案】②③⑤ 【分析】利用判别式可判断①；利用特称命题的否定为全称命题可判断②；求出的定义域可判断③；分离常量后根据反比例函数的单调性可判断④；在同一坐标系中作出和的图象可判断⑤. 【详解】对于①：时，；时，，则，故或1， 故错误； 对于②：p：，为假命题，则，为真命题， 故即，故正确； 对于③：，则，即的定义域为，故正确； 对于④：，其在上单调递减，故错误； 对于⑤：在同一坐标系中作出和的图象，观察两图象有2个交点， 则方程的实根的个数是2，故正确. 故答案为：②③⑤. 4．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解. 【详解】由题意得，， 因为且，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由判别式为0可得； （2）由得，然后对分类讨论可得； 【详解】（1）集合B元素个数为1．， 即，解得：； （2）∵，∴ 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围. （2）解不等式求得集合，根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）， 解得：. 实数的取值范围为. （2）由解得， 所以， “”是“”的充分条件，. ，解得：， 实数的取值范围为. 题型二 集合间的基本关系 策略方法 判断集合关系的三种方法 【典例3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解. （2）由包含关系分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以，因此，. （2）当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由，可得，解得，此时． 综上，，即实数的取值范围是. 【典例4】（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； （3）先得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）若，则， 又， 所以， 解得； （2）因为， 所以或或， 解得或或， 所以； （3）若，， 对，都有，则， 所以，该不等式无解，故命题：“，都有”为真命题不可能 【题型训练】 1．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称， 因为，且，则， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）集合，则的子集的个数为（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】分别对集合和集合化简，然后求出，从而确定子集个数. 【详解】因为， 所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 5．（23-24高一下·河北保定·期末）下列选项中正确的有（    ） A．若，则 B．若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是． C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D．已知函数的定义域是，则的定义域是． 【答案】CD 【分析】利用不等式的性质判断A，讨论集合为空集或非空集两种情况，求的取值，判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，利用不等式的解法，即可求解，判断C，利用抽象函数定义域的求解方法，即可判断D. 【详解】对于A，当时，若，有，不满足，故A错误； 对于B，当时，方程无解，则； 当时，由方程，解得，可得或，解得或， 综上所述，a的解集为，故B错误； 对于C，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，则，解得， 则不等式为， 由，则不等式变为，解得或，故C正确； 对于D，由题意，则，所以函数的定义域为， 对于函数，则，解得，所以其定义域为，故D正确； 故选：CD． 6．（21-22高一上·江苏·课后作业）（多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】，分不为空集、为空集，分别求的范围可得答案. 【详解】， ①若不为空集，则，解得， ，且， 解得，此时； ②若为空集，则，解得，符合题意， 综上实数满足即可， 故选：ACD. 7．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 在区间.上单调递增，则实数 a 的最大值为 【答案】/ 【分析】利用诱导公式以及三角恒等变换化简的表达式，结合余弦函数的单调性求出其单调递增区间，可得，由此列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得 令， 解得． 又函数在区间上单调递增，， ，解得， 实数的最大值为， 故答案为： 8．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在(1)条件下，若，求； (3)在(1)条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的性质，求得集合或，结合补集的运算，即可求解； （2）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解； （3）根据题意，得到是的真子集，分类讨论，集合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，可得， 即，解得或，所以集合或， 所以. （2）解：当时，集合，可得或， 因为，所以. （3）解：若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 10．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 11．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 题型三 集合的基本运算 策略方法 集合运算三步骤 【典例5】（23-24高一上·广东深圳·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】确定，根据可推得函数与函数的图象没有交点，即无解，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由得，， 所以集合，集合. 等价于函数与函数没有交点，即无解， ，当且仅当时等号成立， 所以，又因为，所以且， 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解； （2）先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 【题型训练】 1．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，根据交集运算求解. 【详解】由，， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，， 故． 故选：D． 3．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由交集的结果，计算元素的值并检验. 【详解】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 5．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，集合，集合，则A， 若，则实数的取值范围是； 若，则实数的取值范围是， 故选：AD. 6．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，，下列说法正确的有（    ） A．当，若中恰有一个整数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，有 【答案】ABD 【分析】由或，，利用集合的交集和并集运算求解. 【详解】解：或，； 当，若中恰有一个整数，则 ，解得，故A正确； 若，则 ，解得 ，故B正确； 若，则 ，即无解，故C 错误； 由或知，，，故D正确， 故选：ABD 7．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，则 【答案】 【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·北京丰台·期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值. 【详解】若不等式在上恒成立，则， 解得， 所以该命题为假命题时实数的取值范围是， 所以实数的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）. 9．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，，若，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次不等式求解集合的元素，根据集合的运算，建立不等式，可得答案. 【详解】由不等式，分解因式可得，解得或，即或， ，由，. 故答案为：. 10．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解即得； （2）由（1）的信息，利用充分不必要条件的定义列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，于是，或， 当时，， 所以或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围是. 题型四 集合的新定义 策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路 1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化。 2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 【典例1】（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由题意先求，进而求出 【详解】由于，， 所以， 所以或， 故选：C． 2．（22-23高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求出集合的的所有非空子集的个数为，再求出具有“伙伴关系集合”的个数为，利用古典概率从而可求解. 【详解】，集合的所有非空子集的个数为， 若，则； 若，则； 若，则与成对出现； 若，则与成对出现， 集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）． 在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为． 故答案为：． 4．（22-23高一上·北京·阶段练习）定义集合运算“”：，称为，的两个集合的“卡氏积”．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据新概念的定义，写出与，再根据交集的定义进行计算即可． 【详解】集合， ，2，， 所以，，，，，，，，， ，，，，，，，，； 所以, 故答案为： 5．（22-23高一上·河北沧州·阶段练习）设集合，，，，若. (1)求集合A，B； (2)定义集合A、B的一种运算：，求. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据题意可得，得到参数值，逐一验证即可； （2）根据新定义即可得到结果. 【详解】（1）由，可得或，解得或5. ①当时，，，B中元素重复，故舍去； ②当时，，，，满足题意， ③当时，，此时与矛盾，故舍去. 综上所述，，； （2）∵， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明天成功的您定会感谢今天辛苦奋斗的自己！ 专题01 集合 题型目录一览 集合的含义及其表示 集合间的基本关系 集合的交并补运算及图的应用 集合新定义问题 一、知识点梳理 1.集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A} 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 二、题型分类精讲 题型一 集合的含义与表示 策略方法 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 【典例1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，函数定义域为集合B． (1)若，求实数a的取值范围． (2)若，求实数a的取值范围． 【典例2】（23-24高一上·江苏常州·期末）已知集合  . (1)判断元素，与集合的关系，并说明理由； (2)求. 【题型训练】 1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命题中： ①若集合中只有一个元素，则； ②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是； ③已知函数的定义域为，则函数的定义域为； ④函数在上单调递增； ⑤方程的实根的个数是2. 所有正确命题的序号是 . 4．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 6．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 题型二 集合间的基本关系 策略方法 判断集合关系的三种方法 【典例3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【典例4】（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由. 【题型训练】 1．（23-24高一下·北京西城·期末）已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）集合，则的子集的个数为（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 5．（23-24高一下·河北保定·期末）下列选项中正确的有（    ） A．若，则 B．若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是． C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D．已知函数的定义域是，则的定义域是． 6．（21-22高一上·江苏·课后作业）（多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 在区间.上单调递增，则实数 a 的最大值为 8．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，函数的定义域为. (1)若集合，求集合； (2)在(1)条件下，若，求； (3)在(1)条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 11．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 题型三 集合的基本运算 策略方法 集合运算三步骤 【典例5】（23-24高一上·广东深圳·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【题型训练】 1．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（    ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 6．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，，下列说法正确的有（    ） A．当，若中恰有一个整数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，有 7．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，则 8．（23-24高一上·北京丰台·期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为 . 9．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知集合，，若，则实数k的取值范围为 . 10．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型四 集合的新定义 策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路 1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化。 2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。 【典例1】（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型训练】 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（22-23高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（23-24高一上·江西抚州·期末）若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 ． 4．（22-23高一上·北京·阶段练习）定义集合运算“”：，称为，的两个集合的“卡氏积”．若，，则 ． 5．（22-23高一上·河北沧州·阶段练习）设集合，，，，若. (1)求集合A，B； (2)定义集合A、B的一种运算：，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$