2025年河北省中考数学专题特训解答17－21题特训（一）课件

解答17－21题特训（三） 2025年河北省中考数学专题特训 17. （本小题满分7分）（2024·衡水桃城区二模）如图，某数学活动小 组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的 顺序运算，可得计算结果，其中●表示一个有理数. 第17题 （1） 若●表示2，输入的数为－3，求计算结果. 解：（1） 由题意，得（－3）×（－4）÷2＋（－1）－2＝3　 （2） 若计算结果为8，且输入的数为4，则●表示的数是几？ 解：（2） 设●表示的数为x.根据题意，得4×（－4）÷2＋（－1）－ x＝8，解得x＝－17　 （3） 若输入的数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a 与b之间的数量关系. 解：（3） 由题意，得（－4a）÷2＋（－1）－b＝0.整理，得b＝－ 2a－1 18. （本小题满分8分）（2024·沧州模拟）某班组织开展课外体育活 动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制 成如下统计表和不完整的折线统计图（不含投篮命中个数为0的数据）. 第18题 投篮命中个数 1 2 3 4 5 6 学生人数 1 2 3 7 6 1 根据以上信息，解决下列问题： （1） 在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有 人，并求投篮命 中个数的众数和平均数； 20 由表格信息可知，投篮命中4个的有7人，人数最多，∴ 投篮命中个数 的众数为4.投篮命中个数的平均数为 ＝3.9 （3分）　 （2） 补全折线统计图； 补全折线统计图如图所示（5分）　 （3） 嘉淇在统计投篮命中个数的中位数时，把统计表中相邻两个投篮 命中的个数m，n错看成了n，m（m＜n）进行计算，结果错误数据 的中位数与原数据的中位数相比发生了改变，求m，n的值. 解：原投篮命中个数的中位数是 ＝4；（6分）当1和2互换时，中位 数为4，没有变化；当2和3互换时，中位数为4，没有变化；当3和4互换 时，中位数为 ＝3.5，发生变化，此时m＝3，n＝4；当4和5互换 时，中位数为4，没有变化；当5和6互换时，中位数为4，没有变化. ∴ m＝3，n＝4（8分） 19. （本小题满分8分）（2024·邯郸二模）数学活动课上，老师准备了 如图①所示的长为2a、宽为2b的长方形纸片，沿着长方形纸片内部的 虚线剪开得到4个面积相等的小长方形，按如图②所示的方法拼成一个 大正方形，其中涂色部分为一个小正方形. ①　 ②　 ③ 第19题 8 （1） 请你观察图形，写出（a－b）2，（a＋b）2，4ab之间的等量 关系； 解：（1） ∵ 小正方形的边长为a－b，面积为（a－b）2，大正方形 的面积为（a＋b）2，小长方形的面积为ab，∴ （a－b）2＝（a＋ b）2－4ab　 ①　 ②　 ③ 第19题 （2） 如图③所示为两个大小不同的正方形，面积分别是S1和S2（S1＞ S2），若面积之和为80，连接AF，与边AC， CF构成Rt△ACF，AB＝10，求S△ACF. 解：（2） 设AC＝x，则BC＝（10－x）.根据题意，得x2＋（10－ x）2＝80，解得x1＝5＋ ，x2＝5－ .∵ S1＞S2，∴ AC＝5＋ ，BC＝5－ .∵ 四边形BCFG为正方形，∴ BC＝CF＝ 5－ .∴ S△ACF＝ AC·CF＝ ×（5＋ ）×（5－ ）＝5 　 ③ 20. （本小题满分8分）（2024·石家庄新乐市一模）如图，在直角坐标 系中，点A（2，m）在直线y＝2x－ 上，过点A的直线交y轴于点B （0，3）. 第20题 （1） 求m的值和直线AB对应的函数解析式； 解： 把A（2，m）代入y＝2x－ ，得m＝ .∴ A（2， ）.（2分） 设直线AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.把A（2， ），B（0，3） 代入，得解得 ∴ 直线AB对应的函数解析式为 y＝－ x＋3（4分）　 第20题 （2） 若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t－1，y2）在直线y＝2x － 上，求y1－y2的最大值. 解： ∵ 点P（t，y1）在线段AB上，∴ y1＝－ t＋3（0≤t≤2）.∵ 点Q（t－1，y2）在直线y＝2x－ 上，∴ y2＝2（t－1）－ ＝2t－ .∴ y1－y2＝－ t＋3－ ＝－ t＋ .（6分）∵ － ＜0， ∴ y1－y2随t的增大而减小.∴ 当t＝0时，y1－y2有最大值，最大值为 （8分） 第20题 21. （本小题满分9分）（2024·张家口阳原县模拟）一款手动铡切刀的 圆弧形刀刃 和手柄PM构成刀身，点M，P，Q总在一条直线上， PQ与切割槽AB在转轴（点Q）处连接.延长支撑杆PN交切割槽AB于 点K，当铡切刀绕点Q旋转时， 与AB的另一个交点为T（如图 ②），已知∠MPN＝110°. 　 第21题 （1） 如图①，当 与AB相切时，PK＝60cm，∠PQA＝30°，求弦 PQ和 的长. 如图①.∵ 所在圆与AB相切于点Q，∴ 过点P作PF⊥AB，垂足为F，过点Q作HQ⊥AB，作PQ的垂直平分线RG，交HQ于点O，连接OP. ∴ OQ＝OP.∴ 所在圆的圆心为点O.∵ ∠MPK＝110°，∠PQA＝30°，∴ ∠QKP＝∠MPK－∠PQA＝110°－30°＝80°.在Rt△PKF中，PK＝60cm，∴ PF＝PK·sin80°≈60×0.98＝58.8（cm）.在Rt△PQF中，∠PQA＝30°，∴ PQ＝2PF＝2×58.8＝117.6（cm）. ∵ OQ⊥AB，∴ ∠OQA＝90°.∴ ∠OQP＝∠OQA－∠PQA＝60°.又∵ OP＝OQ，∴ △OPQ为等边三角形.∴ OQ＝PQ＝117.6cm，∠POQ＝60°.∴ 的长为≈123.1（cm） 　 （2） 如图②，在铡切刀从与AB相切的位置开始下降的过程中（点P未 经过AB），判断∠ATP的度数是否改变.若改变，请说明理由；若不改 变，请求出∠ATP的度数（结果精确到0.1cm，π≈3.14， sin 70°≈0.94， sin 80°≈0.98，tan70°≈2.75）. 解： ∠ATP的度数不改变（6分）　如图②，设所在圆的圆心为O，连接OP，OQ.由（1）可知，在铡切刀从与AB相切的位置开始下降的过程中，△OPQ为等边三角形，∴ ∠QOP＝60°.（7分）∴ ∠QTP＝180°－∠QOP＝150°.∴ ∠ATP＝180°－∠QTP＝30°（9分） $$解答17－21题特训（四） 2025年河北省中考数学专题特训 17. （本小题满分7分）（2024·邯郸邱县二模）老师在黑板上列出了如 下算式，其中的一个数字被磁性板擦“ ”遮盖了. （1） 若磁性板擦“ ”遮盖的数为－3，求该算式的结果. 解：（1） 由题意，得－14－ × ＝－1－ ×（－3－9）＝－1－ ×（－12）＝－1＋2 ＝1　 第17题 （2） 老师说：“这个算式的正确结果为0.”通过计算说明原题中被磁 性板擦“ ”遮盖的数. 解：（2） 设被磁性板擦遮盖的数为x.由题意， 得－14－ × ＝0.整理，得－1－ （x－9）＝0， 解得x＝3.∴ 被磁性板擦遮盖的数为3 第17题 18. （本小题满分8分）（2024·唐山三模）已知A，B，C均为整式，A ＝a－3b，B＝3a－b，C＝ （A＋B）. （1） 求整式C. 解：（1） C＝ （A＋B）＝ （a－3b＋3a－b）＝ （4a－4b）＝ 2a－2b　 （2） 当a＝2，b＝－2时，请通过计算判断C2与A·B的大小关系. 解：（2） 当a＝2，b＝－2时，C2＝（2a－2b）2＝（4＋4）2＝64， A·B＝（a－3b）（3a－b）＝（2＋6）×（6＋2）＝64， ∴ C2＝A·B　 （3） 当a，b为任意实数时，（2）中C2与A·B的大小关系是否仍成 立？请说明理由. 解：（3） 不成立　 理由：C2－A·B＝（2a－2b）2－（a－3b）（3a－b）＝4a2－8ab ＋4b2－（3a2－10ab＋3b2）＝4a2－8ab＋4b2－3a2＋10ab－3b2＝a2 ＋2ab＋b2＝（a＋b）2≥0，∴ C2≥A·B. ∴ 当a，b为任意实数时， （2）中C2 与A·B的大小关系不成立. 19. （本小题满分8分）（2024·石家庄正定县模拟）如图，平行于y轴 的直尺（一部分）与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，C， 与x轴交于点B，D，连接AC. 点A，B对应的刻度分别为5，2，直尺 的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b. （1） 请结合图象直接写出不等式kx＋b＞ 的解集； 解：（1） 2＜x＜4　 第19题 （2） 求直线AC对应的函数解析式； 解：（2） 由题意，得A（2，3）.将A（2，3）代 入y＝ ，得m＝6.∴ y＝ .∵ OD＝OB＋BD＝ 4，∴ 当x＝4时，y＝ ＝1.5.∴ C（4，1.5）.将 A（2，3），C（4，1.5）代入y＝kx＋b，得 解得∴ 直线AC对应 的函数解析式为y＝－ x＋ 　 第19题 （3） 平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与线段AC交于点E，与反比 例函数的图象交于点F，当线段EF的长为 时，求n的值. 解：（3） 当x＝n时，点E的纵坐标为－ n＋ ， 点F的纵坐标为 .由题意，得－ n＋ － ＝ ，解 得n1＝ ，n2＝3 第19题 20. （本小题满分8分）（2024·保定竞秀区二模）开学后李老师为了解 某班学生寒假语文阅读情况，对全班35名学生进行了阅读专项测试，并 对全班成绩a（单位：分）进行了整理，绘制了如下不完整的统计图①. 第20题 根据信息，解答下列问题： ① （1） 统计图①中成绩在70～80分的人数 为 ，请补全频数分布直方图. 8 （2） 全班阅读成绩的中位数所在的分数段为 （填序号）. ① 50≤a＜60；② 60≤a＜70；③ 70≤a＜80； ④ 80≤a＜90；⑤ 90≤a≤100. （3） 李老师进一步调查了全班学生寒假阅读时间情况，并进行整理， 绘制了统计图②，有下面两个说法：① 寒假阅读时间在400分钟以上， 且阅读成绩取得90分以上的学生恰有3人； ② 小颖推断阅读成绩分布在80≤a＜90的学生 阅读时间主要分布在200≤t＜300的时间段.其中， 合理的是 （填序号）. ③ ① ② （4） 李老师准备从阅读成绩最高且阅读时间最长的3名学生（1名男生 2名女生）中随机选取2名在班里进行经验介绍，用列表或画树状图的方 法求选中的2名学生恰好是一男一女的概率. 解：将1名男生用A表示，2名女生分别用B1，B2表示，列表如下： A B1 B2 A （B1，A） （B2，A） B1 （A，B1） （B2，B1） B2 （A，B2） （B1，B2） 由表可知，共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好是一男一女的 结果有4种，∴ 选中的2名学生恰好是一男一女的概率为 ＝ （8分） 11 21. （本小题满分9分）（2024·衡水冀州区模拟）在△ABC中，∠ACB ＝45°，D为射线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，以 AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF. （1） 如图①，若AB＝AC，点D在线段BC上运动，试判断线段CF与 BD之间的位置关系，并证明你的结论. ①　　 ② 第21题 解：CF⊥BD（1分）　 证明：∵ AB＝AC，∠ACB＝45°，∴ ∠ABC＝45°.∴ ∠BAC＝ 90°.∵ 四边形ADEF是正方形，∴ AD＝AF，∠DAF＝90°. ∴ ∠BAC＝∠DAF. ∴ ∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，即 ∠DAB＝∠FAC. ∵ AB＝AC，AD＝AF， ∴ △DAB≌△FAC. ∴ ∠ACF＝∠ABD＝45°. ∴ ∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°. ∴ CF⊥BC，即CF⊥BD（2分）　 ① （2） 如图②，若AB＞AC，点D在线段BC上运动，则（1）中的结论 是否成立？为什么？ 解：（1）中的结论成立（3分）　 过点A作GA⊥AC交BC于点G. ∴ ∠GAC＝90°.∵ ∠ACB＝45°， ∴ ∠AGD＝45°.∴ AC＝AG. 同理（1）可证，△GAD≌△CAF， ∴ ∠ACF＝∠AGD＝45°.∴ ∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，即 CF⊥BD（5分）　 ② （3） 若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点 P，若AC＝4 ，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长（用含x的代数式 表示）. ①　　 ② 第21题 解：由（2），得CF⊥BD. 过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q. ① 当点D在线段BC上运动时，如图①.∵ ∠BCA＝45°，AC＝ 4 ，∴ 易得AQ＝CQ＝4.∴ DQ＝4－x.∵ AQ⊥BC，∴ ∠QAD＋ ∠ADQ＝90°.∵ 四边形ADEF为正方形，∴ ∠ADE＝90°. ∴ ∠ADQ＋∠CDP＝90°.∴ ∠QAD＝∠CDP. ∵ CF⊥BD，∴ ∠AQD＝∠DCP＝90°. ∴ △AQD∽△DCP. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ CP＝－ ＋x.② 当点D在线段BC的延长线 上运动时，如图②.DQ＝4＋x.∵ CF⊥BD，∴ ∠PCD＝90°， ∠P＋∠PDC＝90°.∵ ∠ADE＝90°，∴ ∠PDC＋∠ADQ＝90°. ∴ ∠ADQ＝∠P. ∵ ∠Q＝∠PCD＝90°，∴ △AQD∽△DCP. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ CP＝ ＋x. 综上所述，线段CP的长为－ ＋x或 ＋x $$解答17－21题特训（二） 2025年河北省中考数学专题特训 17. （本小题满分7分）（2024·石家庄模拟）已知有四个有理数：－9， －3，2，6. （1） 计算：－9＋（－3）－6÷2； 解：（1） 原式＝－9－3－3＝－15　 （2） 若（－9）÷（－3）×2□6＝12，请推算“□”内的运算符号； 解：（2） ∵ （－9）÷（－3）×2＝3×2＝6，6□6＝12，∴ “□”内 的运算符号是＋　 （3） 请再添加一个有理数m，使－9，－3，2，6与m这五个数的平均 数为－2，求m的值. 解：（3） 根据题意，得－9－3＋2＋6＋m＝－2×5.整理，得－4＋m ＝－10，解得m＝－6 18. （本小题满分8分）（2024·石家庄外国语学校二模）如图，在纸面 上有一数轴. 第18题 （1） 操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1的点重合，则此 时表示数4的点与表示数 的点重合. 【解析】 ∵ 折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1的点重合，∴ 折叠 点表示的数为 ＝0.∴ 表示数4的点与表示数－4的点重合. －4 （2） 操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，解答 下列问题： ① 表示数9的点与表示数 的点重合. 【解析】 ∵ 折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，∴ 折叠 点表示的数为 ＝2.设表示数9的点与表示数y的点重合.由题意，得 ＝2，解得y＝－5，即表示数9的点与表示数－5的点重合. －5 第18题 ② 若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距 离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数. 解：∵ 折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，∴ 折叠点表 示的数为 ＝2.（5分）∴ 点A表示的数为2－ ＝－3，点B表示的 数为2＋ ＝7（6分） ③ 在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x.当PA＋ PB＝12时，直接写出x的值. 解：x的值为－4或8（8分）　 第18题 【解析】 ∵ PA＋PB＝12，∴ ｜x＋3｜＋｜x－7｜＝12.当－ 3≤x≤7时，x＋3－x＋7＝10≠12，不符合题意；当x＜－3时，－x －3－x＋7＝12，解得x＝－4；当x＞7时，x＋3＋x－7＝12，解得x ＝8.综上所述，x的值为－4或8. 方法指导 解决数轴折叠问题的方法 针对数轴问题，最近几年往往会出现数轴上的原点和单位长度的变 化问题，比如本题中的数轴折叠问题，其实是变化了数轴的原点，对应 点到某一个点的距离相等，其实就是分析变化后的“原点”与数据的对 应关系，从而解决问题. 19. （本小题满分8分）（2024·石家庄第四十中学二模）某中学为了解 学生对航天知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将 调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下 列问题： 第19题 （1） 本次一共调查了 名学生， 扇形统计图中“比较了解”所对 应的扇形的圆心角的度数是 ⁠. 50 144° （2） 请将条形统计图补充完整. 解：“了解”的学生有50－16－20－10＝4（人），（3分）补全条形统 计图如图①所示（4分） （3） 若该学校共有1200名学生，根据抽样调查的结果，估计该校“不 了解”的学生人数. 解：1200× ＝240（人），∴ 估计该校“不了解”的学生有240 人（6分）　 （4） 在本次调查后，张老师随机抽取了4名学生进行感悟交流，其中 “非常了解”的有1名学生，“比较了解”的有2名学生，“了解”的有 1名学生.若从这4名学生中随机抽取2名学生，请用画树状图或列表的方 法求抽取的2名学生全是“比较了解”的概率. 解：将“非常了解”的1名学生记为A，“比较了解”的2名学生分别记 为B，C，“了解”的1名学生记为D，画树状图如图②所示.（7分）由 图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生全是“比较了 解”的结果有BC，CB，共2种，∴ 抽取的2名学生全是“比较了解”的 概率为 ＝ （8分） 20. （本小题满分8分）（2024·邯郸峰峰矿区模拟）如图所示为某游乐 场摩天轮简化示意图.周日，小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮 游玩，摩天轮的直径为80m，小明乘坐座舱A，小刚乘坐座舱B， ∠AOB＝90°，妈妈站在摩天轮正下方点P处（人身高不计），即 OP⊥CD于点P. （1） 摩天轮转动后到达如图①所示的位置，妈妈仰望两人时发现，座 舱A，B刚好在同一视线上，且此时仰角∠CPA＝60°，求证：OP＝ OB； 　　 第20题 ① ② 13 证明：过点O作OM⊥AP，交AP于点M，则∠OMA＝∠OMP＝ 90°.∵ OP⊥CD，∴ ∠OPC＝90°.∵ ∠CPA＝60°，∴ ∠APO＝ ∠OPC－∠CPA＝30°.∴ 在Rt△OMP中，OP＝2OM. ∵ ∠AOB＝ 90°，OA＝OB，∴ △AOB是等腰直角三角形.∴ ∠OBM＝45°. ∵ ∠OMP＝90°，∴ OM＝OB· sin ∠OBM＝ OB. ∴ OP＝ OB　 ① （2） 当摩天轮转动到如图②所示的位置时，妈妈看小明的视线PA刚好 与☉O相切于点A，且PA平分∠OPD， 求此时小刚所在点B处到地面的距离. ② 解：延长BA交CD于点N. ∵ PA是☉O的切线，∴ ∠OAP＝90°. ∵ ∠AOB＝90°，∴ ∠OAP＝∠AOB. ∴ OB∥AP. ∵ PA平分 ∠OPD，OP⊥CD，即∠OPD＝90°，∴ ∠OPA＝∠DPA＝45°. ∴ 易得△OAP是等腰直角三角形.∴ OA＝AP. ∵ OA＝OB，∴ OB＝ PA. 又∵ OB∥AP，∴ 四边形ABOP是平行四边形.∴ OP∥AB. ∴ ∠ANP＝180°－∠OPD＝90°.∵ 摩天轮的直径为80m，∴ OA＝ OB＝40m.∴ 在Rt△OAB中，由勾股定理，得AB＝ ＝ 40 m.在Rt△APN中，AP＝OB＝40m，∴ AN＝AP· sin ∠APN＝ 40× ＝20 （m）.∴ BN＝AB＋AN＝60 m.∴ 此时小刚所在 点B处到地面的距离为60 m 21. （本小题满分9分）（2024·石家庄模拟）如图，直线l1：y＝－ x ＋16与直线l2：y＝kx＋b交于点M（m，12），直线l1与x轴交于点 P，直线l2经过点Q（－6，0），直线x＝n分别交x轴、直线l1，l2于 A，B，C三点. （1） 求m的值及直线l2对应的函数解析式； 第21题 解：（1） 将M（m，12）代入y＝－ x＋16，得 12＝－ m＋16，解得m＝3.∴ M（3，12）.将M （3，12），Q（－6，0）代入y＝kx＋b，得 解得∴ 直线l2对应的函数 解析式为y＝ x＋8　 第21题 （2） 当点A在线段PQ上（不与点P，Q重合）时，若AB＝2BC，求 n的值； 解：（2） 由题意，得点A，B，C的坐标分别为A （n，0），B ，C . ∵ AB＝2BC，∴ － n＋16＝2 ，解得n＝0或 第21题 （3） 设点D（5，6）关于直线x＝n对称的点为K，若点K在直线l1， 直线l2与x轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出n的取值 范围. 解：（3） ≤n≤ 　 第21题 【解析】 点D（5，6）关于直线x＝n对称的点为K（2n－5，6）.当 点K落在直线l2：y＝ x＋8上时，则6＝ （2n－5）＋8，解得n＝ ；当点K落在直线l1：y＝－ x＋16上时，则6＝－ （2n－5）＋ 16，解得n＝ .∴ ≤n≤ . 第21题 $$解答17－21题特训（一） 2025年河北省中考数学专题特训 17. （本小题满分7分）（2024·邯郸模拟）老师设计了一个有理数运算 的游戏.规则如图所示. 第17题 （1） 若黑板上的有理数为“－4”，求应写在纸条上的有理数； 解：（1） 由题意，得 1－[（－4）－2]× ＝1－（－3）＝4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最 大整数是多少？ 解：（2） 设老师在黑板上写的整数为m.由题意，得 1－ （m－2） ＞0，解得m＜4.∴ 老师在黑板上写的最大整数是3 18. （本小题满分8分）（2024·石家庄第四十二中学模拟）已知整式A ＝k－1，整式B＝2k＋3.如图，有一电脑AI程序，能处理整式的相关 运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小 有限，只显示了整式C的一部分：C＝2k2＋ . （1） 求程序自动呈现的整式C缺失的部分“ ”； 解：（1） ∵ A＝k－1，B＝2k＋3，∴ C＝A·B＝（k－ 1）（2k＋3）＝2k2＋k－3.∴ 程序自动呈现的整式C缺失 的部分“ ”为k－3　 第18题 （2） 嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式B2－2C的值大于5，求满 足条件的k的最小值. 解：（2） ∵ B2－2C＝（2k＋3）2－2（2k2＋k－3）＝4k2 ＋12k＋9－（4k2＋2k－6）＝10k＋15，∴ 10k＋15＞5， 解得k＞－1.∵ k为正整数，∴ 满足条件的k的最小值为1 第18题 19. （本小题满分8分）（2024·石家庄模拟）小亮想测量屋前池塘的宽 度，他结合所学的数学知识，设计了如图①所示的测量方案：先在池塘 外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，D，使 OB＝OA，OD＝OC，连接BD. （1） 求证：AC＝BD； 证明：在△OAC和△OBD中， ∴ △OAC≌△OBD. ∴ AC＝BD　 第19题 （2） 如图②，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以 下措施：延长CO至点D，使OC＝OD，过点D作AC的平行线DE，延 长AO至点F，连接EF，测得∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，DE＝ 5m，EF＝9m，求池塘的宽AC. 　 解：如图，延长DE，AF交于点B. ∵ DE∥AC，∴ ∠C＝∠D. 在 △OAC和△OBD中，∴ △OAC≌△OBD. ∴ AC＝ BD. ∵ ∠DEF＝120°，∠OFE＝90°，∴ ∠BFE＝90°，∠BEF ＝60°.∴ ∠B＝30°.∵ EF＝9m，∴ BE＝2EF＝18m.∵ DE＝5m， ∴ BD＝BE＋DE＝23m.∴ AC＝23m，即池塘的宽AC为23m 20. （本小题满分8分）（2024·衡水桃城区二模）某校组织“四品八 德”好少年评比活动，每班只有一个名额.现某班有甲、乙、丙三名候 选人参与竞选，第一轮根据“品行规范”“学习规范”进行量化考核， 甲、乙、丙三人的量化考核成绩分别用统计表（单位：分）和条形统计 图（如图①）进行了统计. 　 第20题 候选人 甲 乙 丙 品行规范 95 90 85 学习规范 80 85 90 85 （1） 请将表格和图①补充完整. 补全条形统计图如图所示（3分）　 （2） 竞选的第二轮是由本班的50名学生进行投票，每票计6分，甲、 乙、丙三人的得票情况如图②所示（没有弃权票，每名学生只能选一人）. ① 若将“品行规范”“学习规范”“得票”三项得分按4∶3∶3确定最 后成绩，通过计算说明谁将会被推选为“四品八德”好少年； 解：甲投票得分为50×30％×6＝90（分），乙投票得分为50×36％×6 ＝108（分），丙投票得分为50×34％×6＝102（分），（4分） ＝ ＝89（分）， ＝ ＝93.9（分）， ＝ ＝91.6（分），（5分）89＜91.6＜93.9，∴ 乙将被 推选为“四品八德”好少年（6分） ② 若规定“得票”占20％，要使候选人甲最后成绩不低于91分，则 “品行规范”成绩在总分中所占比例x的取值范围是 ⁠. 【解析】∵ 甲的“品行规范”成绩在总分中所占比例为x，则“学习规 范”成绩在总分中所占比例为0.8－x.由题意，得95x＋80（0.8－x） ＋90×0.2≥91，解得x≥0.6.又∵ 0.8－x＞0，即x＜0.8， ∴ 0.6≤x＜0.8. 0.6≤x＜0.8 21. （本小题满分9分）（2024·邯郸邯山区模拟）如图，某铁道桥桥长 AC＝1000米，现有一列火车QB以固定的速度过桥.小明在距桥头A处 100米的点O处固定激光测速仪，激光线OP与桥AC交于点P（400， 100）；小聪在点M（500，0）处设置可转动的另一台测速仪，射出的 激光线MQ追踪火车头Q，当火车头Q刚好在桥头时，车尾B的坐标为 （－300，100），并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒. 第21题 （1） 火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共 用 秒； 【解析】 ∵ Q（0，100），B（－300，100），0－（－300）＝300 （米），∴ 火车的长度为300米.∴ 火车行驶的速度为（1000－300） ÷14＝50（米/秒）.∴ 火车从开始上桥到完全过桥共用（1000＋300） ÷50＝26（秒）. 50 26 第21题 （2） 当车尾刚好经过点P时，求射线MQ所在直线对应的函数解析 式，并求出射线MQ，OP的交点坐标； 解：∵ 火车的长度为300米，P（400，100），∴ 当车尾刚好经过点P 时，火车头Q（700，100）.（5分）设射线MQ所在直线对应的函数解 析式为y＝k1x＋b1.将M（500，0），Q（700，100）代入y＝k1x＋ b1，得解得 第21题 解∴ 射线MQ所在直线对应的函数解析式为y＝0.5x－250.（6分）设射线OP所在直线对应的函数解析式为y＝k2x.将P（400，100）代入y＝k2x，得400k2＝100，解得k2＝0.25.∴ 射线OP所在直线对应的函数解析式为y＝0.25x.（7分）联立方程组，得解得∴ 射线MQ，OP的 交点坐标为（1000，250）（8分） 第21题 （3） 若火车头Q刚好在桥头时开始计时， 请直接写出激光线MQ与射线OP有交点的时长. 解：18秒（9分）　 【解析】 当MQ∥OP时，射线MQ与射线OP无交点，设此时Q（a， 100）.当MQ∥OP时，设射线MQ所在直线对应的函数解析式为y＝ 0.25x＋b.将M（500，0）代入y＝0.25x＋b，得0＝0.25×500＋ b，解得b＝－125.∴ y＝0.25x－125.将Q（a，100）代入y＝0.25x －125，得0.25a－125＝100，解得a＝900.∵ 900÷50＝18（秒）， ∴ 激光线MQ与射线OP有交点的时长为18秒. 第21题 $$