微专题3 二次函数模型的应用专题训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

微专题3 二次函数模型的应用 （利用二次函数模型求最值） 1．函数的最大值为 ． 2．函数的最小值为 . 3．函数，值域是 . 4．已知函数，则函数的值域为 . 5．求下列函数的值域. (1)； (2). 6． 求函数的最小值. 7．函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 8．已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 9．已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 10．求下列函数的值域： (1)； (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题3 二次函数模型的应用（解析版） 1．函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 2．函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 3．函数，值域是 . 【答案】 【分析】由题意可得，又，可求值域. 【详解】因为，所以， ， 所以函数，值域是. 故答案为： 4．已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 5．求下列函数的值域. (1)； (2). （1）令，， 则，. 当时，取最大值为； 当时，取最小值为. 故值域为. （2）令， 则， 即. 故，即，， 当时，取最小值为； 当时，取最大值为. 故值域为. 6．求函数的最小值. 【答案】 【分析】方法一，判断函数的单调性求解；方法二，令，换元转化为二次函数求最值. 【详解】解法一：利用函数单调性. 易知函数的定义域为. 由于函数和函数在上均为减函数， ∴函数在上是减函数. 故当时，有最小值. 解法二：换元法. 设，则，.设，则 ， 在上单调递增.故当时，有最小值， 即当时，有最小值. 7．函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； （2）由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. 8．已知函数，. (1)时，求的值域； (2)若的最小值为4，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得； （2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意得，，， 令，，， 当时，，，在上单调递增， 故， 故的值域为； （2）由（1）得，，对称轴， ①当时，在上单调递增， ，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 无解，舍去； ③当时，在上单调递减， ，解得，舍去； 综上所述，. 9．已知函数，且. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，试判断函数的单调性.并求使不等式在上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)奇函数； (2)单调递增，； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可. （2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求出最小值即得. （3）求出值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数是奇函数. （2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增， 因此函数是R上的增函数， 不等式， 则，，， 于是，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. （3）由，得，而，解得，则， ， 令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，， ，当时，函数在上单调递增， 当时，，解得与矛盾； 当时，时，，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键. 10．求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可得，即可根据对数函数的单调性求解， （2）根据对数的运算性质可得，即可利用换元法，结合二次函数的性质求解. 【详解】（1）由于的定义域满足，故， 进而可得，， 故 （2）， 由于，令，则， 故， 故当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$