湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期11月19日数学周测试卷

2024-12-16
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答案第 1页，共 6页 11.19 周考答案（详） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D D B ACD CD 1．B 【解析】分别将集合�和集合�求出来，再求∁�A，最后求 ∁�A ∩ �即可. 【详解】� = {�|� ≥ 2或� ≤− 1}，� = {�|� > 1}，∁�� = {�| − 1 < � < 2}， 故 ∁�A ∩ B = {�|1 < � < 2}. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算，属于基础题. 2．D 【分析】分 0 < � < 1、� > 1讨论，结合图象可得答案. 【详解】当 0 < � < 1时，� = �−�是单调递增函数，图象恒过 0,1 点， � = log� � + 1 2 是单调递减函数，图象恒过 1 2 , 0 点； 当� > 1时，� = �−�是单调递减函数，图象恒过 0,1 点， � = log� � + 1 2 是单调递增函数，图象恒过 1 2 , 0 点； 所以满足条件的图象为 D. 故选：D. 3．C 【分析】由真数等于 1，求出定点�的坐标，设幂函数� � = ��，将点�的坐标代入幂函数 � � = ��，求出�的值，可得出幂函数� � 的解析式，由此可计算出� 9 的值. 【详解】令 3� − 5 = 1，得� = 2，当� = 2时，� = log� 3 × 2 − 5 + 2 = 2，所以点� 的坐标为 2, 2 ， 由于函数� � 为幂函数，设� � = ��， 将点�的坐标代入� � = ��，得� 2 = 2� = 2，则� = 1 2 ， ∴ � � = � 1 2 = �，因此，� 9 = 9 = 3. 故选：C. 4．D 答案第 2页，共 6页 【分析】根据中间量“0”确定�最大，再对�, �取倒数，结合对数函数单调性即可得到�, �大小 关系，则得到三者大小关系. 【详解】� = log0.3 3 2 < log0.31 = 0，1 = 20 > � = 2 −32 > 0，� = log0.2 3 2 < log0.21 = 0， 1 � = log3 2 0.3 < 0，1 � = log3 2 0.2 < 0，因为对数函数� = log3 2 �在 0, + ∞ 上单调递增， 则 0 > 1 � > 1 � ，所以� < �，所以� > � > �. 故选：D. 5．D 【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间 −3, − 2 上单 调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得�的取值范围. 【详解】令� = �2 + �� + � − 1， 则� = log1 2 �，∵0 < 1 2 < 1，∴�在 0, + ∞ 上单调递减， 由复合函数的单调性可知，�在 −3, − 2 单调递减， ∴ − � 2 ≥− 2 −2 2 + −2 � + � − 1 > 0 ，则 � ≤ 4 3 > �， ∴� < 3 故选：D 6．B 【分析】先构造函数� � ，用导数求单调性，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由e� + e�−1 ≥ 1 e� + 1 e�−1 得e� − e−� ≥ e1−� − e−(1−�)， 因为函数�(�) = e� − e−�满足�'(�) = e�+e−� > 0， 所以� � 在�上单调递增， 由�(�) ≥ �(1 − �)，则� ≥ 1 − �，即� + � ≥ 1； 因为� > 0，� > 0，所以�2 + �2 = (� + �)2 − 2�� ≥ (� + �)2 − 2( �+� 2 )2 = 1 2 (� + �)2 ≥ 1 2 ， 当且仅当� = � = 1 2 时，�2 + �2取的最小值为1 2 ， 故选：B． 7．ACD 【分析】由函数定义判断 A，求出函数值域判断 B，根据命题的否定的定义判断 C，由复合 答案第 3页，共 6页 函数的定义域判断 D． 【详解】选项 A，�(�)的定义域是 1 + � ≥ 01 − � ≥ 0，−1 ≤ � ≤ 1，且�(�) = 1 + � ⋅ 1 − � = (1 + �)(1 − �) = 1 − �2， �(�)的定义域是 1 − �2 ≥ 0，−1 ≤ � ≤ 1，两者定义域相同，对应法则也相同，是同一函数， 正确； 选项 B，− �2 − 2� + 3 =− (� + 1)2 = 4 ∈ [0,4]，即� ∈ [0,2]，错误； 选项 C，全称命题的否定是特称命题，¬�是∃� ≤ 0，使得�2 ≤ 0，正确； 选项 D，函数� � + 1 中，1 ≤ � ≤ 4，则 2 ≤ � + 1 ≤ 5，所以�(�)中 2 ≤ � ≤ 5，正确． 故选：ACD． 8．CD 【分析】赋值法可以求出�(0) = 0，�(�) + �( − �) = 0，判断出 B选项；利用赋值法和题干 中的条件可以得出� = �(�)的单调性，从而判断 AC；利用函数的单调性进行解不等式，判 断 D. 【详解】∵定义在 R上的函数�(�)满足�(� + �) = �(�) + �(�)， 令� = � = 0得：�(0) = �(0) + �(0)，解得：�(0) = 0， 令� =− �得：�(0) = �(�) + �( − �)，因为�(0) = 0，所以�(�) + �( − �) = 0， 故� = �(�)是奇函数，B错误； 任取�1，�2 ∈ R，且�1 < �2，则令� = �1，� =− �2，代入得：�(�1 − �2) = �(�1) + �( − �2) = �(�1) − �(�2)， 因为当� < 0时，�(�) > 0，而�1 − �2 < 0，所以�(�1 − �2) > 0， 故�(�1) − �(�2) > 0，即�(�1) > �(�2)，从而� = �(�)在 R上单调递减， 所以� 1 < � 0 = 0，A错误； 所以函数�(�)在[�, �]上有最大值为�(�)，C正确； 由�(� − 1) > 0 = � 0 ，� = �(�)在 R上单调递减，故� − 1 < 0，解得� < 1，故� � − 1 > 0 的解集为( − ∞,1)，D正确. 故选：CD. 9．（1）− 1 4 ；（2） −1,0 （1）【分析】利用指数幂，对数运算法则直接计算得到答案. 【详解】log3 4 27 3 ⋅ log5 4 1 2log210 − (3 3) 2 3 − 7log72 =− 1 4 ⋅ log5 10 − 3 − 2 =− 1 4 . 答案第 4页，共 6页 【点睛】本题考查了指数对数的计算，意在考查学生的计算能力. （2）【分析】根据图象分析可得�1�2 = 1，�3 + �4 = 10, �3 ∈ 3,4 , �4 ∈ 6,7 ，整理得 (�3−4)(�4−4) �1�2�3 =− �3 + 24 �3 + 10，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为�(�) = 3 log3� , 0 < � ≤ 3 �2 − 10� + 24, � > 3 ， 当� > 3时�(�) = �2 − 10� + 24 = � − 5 2 − 1，可知其对称轴为� = 5， 令�2 − 10� + 24 = 0，解得� = 4或� = 6； 令�2 − 10� + 24 = 3，解得� = 3或� = 7； 当 0 < � ≤ 3时�(�) = 3 log3� ，令 3 log3� = 3，解得� = 1 3 或� = 3， 作出函数� = � � 的图象，如图所示， 若方程�(�) = �有四个不同的实根�1, �2, �3, �4(�1 < �2 < �3 < �4)， 即� = �(�)与� = �有四个不同的交点，交点横坐标依次为�1, �2, �3, �4(�1 < �2 < �3 < �4)， 则 1 3 < �1 < 1 < �2 < 3 < �3 < 4 < 6 < �4 < 7， 对于�1, �2，则 log3�1 = log3�2 ， 可得log3�1 + log3�2 = log3�1�2 = 0，所以�1�2 = 1； 对于�3, �4，则�3 + �4 = 10, �3 ∈ 3,4 , �4 ∈ 6,7 ，可得�4 = 10 − �3； 所以 (�3−4)(�4−4) �1�2�3 = �3�4−4 �3+�4 +16 �3 = �3 10−�3 −24 �3 =− �3 + 24 �3 + 10， 由对勾函数可知� =− �3 + 24 �3 + 10在 3,4 上单调递增，得− �3 + 24 �3 + 10 ∈ −1,0 ， 所以 (�3−4)(�4−4) �1�2�3 的取值范围是 −1,0 . 故选： −1,0 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出�1�2 = 1，�3 + �4 = 10, �3 ∈ 3,4 , �4 ∈ 6,7 ，从而转化为关于�3的函数； 答案第 5页，共 6页 10．（1）1 3 （2） − 33 16 , − 3 2 【分析】（1）由已知可得 0 < � < 1，�(�)单调递减，求出最大值和最小值，得到�的方程， 求解即可； （2）令log1 3 � = �，则� ∈ −1,0 ，所求函数为� = �2 + 1 2 � − 2，由二次函数的性质求出值域. 【详解】（1）∵ log�3 < log�2，∴ 0 < � < 1； 又∵ � = log��在 �, 3� 上为减函数， ∴ log�� − log�3� = 1，即log� 1 3 = 1，∴ � = 1 3 . （2）∵ 1 ≤ � ≤ 3, ∴− 1 ≤ log1 3 � ≤ 0，∴ � = log�� 2 + log� � − 2 = log1 3 � 2 + 1 2 log1 3 � − 2， 令log1 3 � = �，则� ∈ −1,0 ， 故� = �2 + 1 2 � − 2 = � + 1 4 2 − 33 16 ，其值域为 − 33 16 , − 3 2 . 【点睛】本题考查对数函数的单调性和值域，二次函数的性质的应用，属于中档题. 11．(1)� = 2；证明见解析； (2)� ≥ 9 2 ． 【分析】（1）利用奇函数的性质� 0 = 0求得�，再进行验验即可；利用函数单调性的定义， 结合作差法与指数函数的性质即可得证； （2）利用� � 的奇偶性与单调性，将问题转化为� ≥ 2� + 1 � 恒成立，再结合对勾函数的性质 即可得解. 【详解】（1）因为� � 是定义在 R上的奇函数， 所以� 0 = 1 − � − 1 = 0，� = 2， 当� = 2时，� � = 2� − 1 2� = 2� − 2−�，定义域为 R，又满足� −� =− � � ， 故� � 是奇函数，所以� = 2； 证明：设任意两个实数�1，�2满足�1 < �2， 则� �1 − � �2 = 2�1 − 1 2�1 − 2�2 + 1 2�2 = 2�1 − 2�2 1 + 1 2�1⋅2�2 ， 因为�1 < �2，所以2�1 < 2�2，1 + 1 2�1⋅2�2 > 0， 所以� �1 − � �2 < 0，即� �1 < � �2 ， 所以� � 在 R上为单调递增； 答案第 6页，共 6页 （2）因为� � 是奇函数， 所以原不等式可化为� �� − �2 ≥− � − �2 − 1 = � �2 + 1 ， 又� � 是 R上的增函数，所以�� − �2 ≥ �2 + 1， 所以问题转化为∀� ∈ 1,2 ，�� ≥ 2�2 + 1恒成立， 因为 1 ≤ � ≤ 2，则� ≥ 2� + 1 � 恒成立， 而对勾函数� = 2� + 1 � 在 1,2 上单调递增， 所以当� = 2时，2� + 1 � = 9 2 为最大值，故� ≥ 9 2 ． 试卷第 1页，共 2页 2024 年 11 月 19 日高一数学周测 时间：50 分钟 满分：100 分 一、单选题（每个 6分，共 36 分） 1．设集合� = {�|� = (� + 1)(� − 2)}，� = {�|� = ln(� − 1)}，则 ∁�A ∩ � =（ ） A．( − 1,2) B．(1,2) C．( − 1,2] D．(1,2] 2．在同一直角坐标系中，函数� = �−�, � = log� � + 1 2 , (� > 0且� ≠ 1)的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．函数� = log� 3� − 5 + 2的图象恒过定点�，点�在幂函数� � 的图象上，则� 9 =（ ） A．1 3 B． 3 C．3 D．9 4．设� = log0.3 3 2 , � = log0.2 3 2 , � = 2− 3 2，则（ ） A．� > � > � B．� > � > � C．� > � > � D．� > � > � 5．已知关于�的函数� = log1 2 �2 + �� + � − 1 在 −3, − 2 上单调递增，则实数�的取值范围是（ ） A．� ≤ 4 B．� < 4 C．� ≤ 3 D．� < 3 6．已知正实数 a，b，满足e� + e�−1 ≥ 1 e� + 1 e�−1 ，则�2 + �2的最小值为（ ） A．1 B．1 2 C．1 4 D．1 8 二、多选题（每个 6分，共 12 分） 7．下列命题正确的是（ ） A．函数 f（x）= 1 + � ⋅ 1 − �与� � = 1 − �2是同一个函数 B．函数� = − �2 − 2� + 3的值域为 −∞,2 C．命题�：∀� ≤ 0 ，均有�2 > 0，则�的否定：∃� ≤ 0，使得�2 ≤ 0 D．若函数� � + 1 的定义域为 1,4 ，则函数� � 的定义域为 2,5 8．定义在 R上的函数� � 满足� � + � = � � + � � ，当� < 0时，� � > 0，则� � 满足（ ） A．� 1 = 1 B．� = � � 是偶函数 C．� � 在 �, � 上有最大值� � D．� � − 1 > 0的解集为 −∞,1 试卷第 2页，共 2页 三、填空题（每题 6分，共 12 分） 9．（1）化简计算：log3 4 27 3 ⋅ log5 4 1 2log210 − (3 3) 2 3 − 7log72 = ． （2）已知函数�(�) = 3 log3� , 0 < � ≤ 3 �2 − 10� + 24, � > 3 ，若方程�(�) = �有四个不同的实根�1, �2, �3, � 4 �1 < �2 < �3 < �4 ，则 �3−4 �4−4 �1�2�3 的取值范围是 ． 四、解答题（共 40 分） 10．（20分）已知� > 0，� ≠ 1且log�3 < log�2，若函数� � = log��在区间 �, 3� 上的最大值与最小值之差 为 1. （1）求�的值； （2）若 1 ≤ � ≤ 3，求函数� = log�� 2 + log� � − 2的值域. 11．（20分）已知函数� � = 2� − �−1 2� � ∈ R 是定义在 R上的奇函数 (1)求 m 的值；并根据函数单调性的定义证明：� � 在 R上单调递增； (2)若对∀� ∈ 1,2 ，不等式� − �2 − 1 + � �� − �2 ≥ 0恒成立，求实数 k 的取值范围．

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