专题：二次函数图像及性质 讲义2024-2025学年人教版数学九年级上册

专题：二次函数图像及其性质 【课前快练】 1. 抛物线的顶点坐标是 . 2．将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 　 ． 3. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 ．第6题图 第3题图 4.二次函数的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.1 5. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 . 6.已知二次函数的部分图象如右图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 7.已知函数y=x2-2x-2的图象如右下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ） A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3 8. 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论： ①＞0； ②＞0； ③ b2-4＞0，其中正确的个数是( ) A.　0个 B.　1个 C.　2个 　D.　3个第7题图 第8题图 9. 已知二次函数的图象经过点（－1，8）. （1）求此二次函数的解析式； （2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象； x 0 1 2 3 4 y （3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？ 【回顾旧知】 1. 二次函数的图像和性质 ＞0 ＜0y x O 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最 值 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而　 y 随x的增大而　 在对称轴右侧 y随x的增大而　 y随x的增大而　 2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中 ＝ ， ＝ . 3. 二次函数的图像和图像的关系. 4. 二次函数中的符号的确定. 【重、难、考点】 重点：二次函数图像平移 难点：二次函数图像的性质 考点一：二次函数平移问题： 【典型例题】 例1.y=－8x沿y轴向上平移4个单位得y=________，其对称轴为________，顶点坐标为___________。 例2.与抛物线y=－形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线y=－的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是：_________________。 例3. 由函数y=－12x的图像平移得到函数y=－12(x－4)+5的图像，则这个平移是（　　） A．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 总结： 【变式训练】 1.已知函数y=ax与函数y=－+c的图象形状相同，且将抛物线y=ax沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－+c完全重合，则a=___________，c=___________。 2.函数的图象，可由函数的图象向_________平移_________个单位。 3.将二次函数y＝5x－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为________________。 考点二：二次函数与一次函数图像共存问题：（假设法） 【典型例题】 例1.如图，一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象是（ ）. C D B A 总结： 【变式训练】 1、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图像是（ ） 2.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为（ ） x A x x x y y y y B C D o o o o 3.已知直线y=bx-c与抛物线y=ax+bx+c在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） 考点三：二次函数图像性质： 【典型例题】 例1.已知二次函数y＝ax＋bx＋c的部分图像如图，由图像可知，关于x的一元二次方程 ax＋bx＋c＝0的两个根分别为x＝1．1，x＝_________________． 点评： 例2.已知二次函数的图象如图所示对称轴为x=-1/2。 下列结论中:①.abc>0 ②.a+b=0 ③.2b+c>0 ④.4a十c<2b正确的有 （只要求填写正确命题的序号） 点评：二次函数图像秒杀口诀：（八句真言） 1、 a：a的符号决定抛物线的开口方向，开口向上a为正，开口向下a为负；a的绝对值决定抛物线的开口大小，a的绝对值大，开口小，a的绝对值小，开口大。 2、 b：“左同右异”：抛物线对称轴在y轴左侧a、b同号；抛物线对称轴在y轴右侧a、b异号； 3、 c：抛物线与y轴的交点定，在y轴正半轴c为正；过原点c为0；在y轴负半轴c为负； 4、 a与b的关系式：看对称轴：x对=-b/2a； 5、 a、b与c的关系式：赋值法可以试，赋b的系数； 6、 b、c关系式：分b为a，再赋值；a、c关系式：分a为b，再赋值； 7、 到抛物线对称轴左右两边距离相等的x对用的y值必定相等。 8、 抛物线解析式加绝对值，把抛物线在x轴下方的图像翻折到x轴上方； 例3.如图，平行于y轴的直线L被抛物线y＝、y＝所截．当直线L向右平移2个单位时，直线L被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 __ 平方单位。 点评： 【变式训练】 1.已知关于的函数关系式为（为正常数，为时间），则函数图象为（ ）. A D C B 2.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（的单位：秒，的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　） A.0.71s　　B.0.70s　　　C.0.63s　　　D.0.36s 3.二次函数＝（≠0）图象如图所示，下列结论：①＞0；②＝0；③当≠1时，＞；④＞0；⑤若＝，且≠，则＝2．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 【过手训练】 1.抛物线y＝－x－2可由抛物线y＝－x＋3向___________平移_________个单位得到的． 2.抛物线的顶点坐标是___________，对称轴是__________，开口向____________。 3.与抛物线y=－形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线y=－的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是：_____________________. 4.在下列四个函数①；②；③；④中，函数值变化速度最快的是__________。 5.已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，对称轴是直线x＝，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜-1 C．a-b+c＜0 D．2a+3b=0 6.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b-4ac＞0 第5题 第6题 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$