3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论2，3课件　2024-2025学年北师大版九年级数学下册

北师版·九年级下册 第2课时 圆周角定理的推论2，3 1 问题 1 什么是圆周角？ 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 问题 2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 即 ∠ABC = ∠AOC. 一半 C A B O C A B O C A B O 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 70° x x =_____ C · O A B C D 120° x x =_____ 35° 120° 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 复习导入 求图中角x的度数 复习导入 求图中角x的度数 · A O B 60° x x =_____ C · O A B C D 20° x x =_____ D 60° E F 30° 50° 复习导入 求图中角x的度数 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 探究新知 如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ · O A B C 解：（猜想）直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 证明：∵BC为直径， ∴∠BOC＝180°， ∴ 如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 解：弦 BC 是直径. 连接 OC、OB， 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. ∴ BC 是⊙O 的一条直径. ∴ B、O、C 三点在同一直线上. ∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°. ∵圆周角∠A＝90°， A B O C 归纳总结 ∵ BC 为直径， ∴∠BAC = 90°. 几何语句： ∵∠BAC = 90°， ∴ BC 为直径 . 几何语句： 推论 直径所对的圆周角是直角. A B O C A B O C 推论 90° 的圆周角所对的弦是直径. AB 为直径 ∠ADB = 90° 1. 如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径和弦，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. ∠ACD = 25° ∠B = 25° ∠BAD = 90°-∠B = 65° 链接中考 解：∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ADB = 90°. ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°， ∴∠B = 25°. ∴∠BAD = 90°-∠B = 65°. 1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD 是 ⊙O 的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°. 故选 C. C A B O C 练一练 (1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ 2 圆内接四边形及其性质 A B O C D 解：∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°， ∵AC 为直径， ∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°. (2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？ A B O C D 解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立. ∴∠BAD 与∠BCD 互补. ∴∠BAD +∠BCD = 180°. ∵∠1 +∠2 = 360°， 连接 OB，OD， 则 1 2 · O D B C A · O D B C A 这两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 归纳总结 四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. A B O C D A B O C D 归纳总结 A B O C D A B O C D 推论 圆内接四边形的对角互补. 根据以上讨论你能发现什么结论？ 几何语句： ∵四边形 ABCD 为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD = 180° （圆内接四边形的对角互补）. 想一想 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？ · O D B C A E 解：∠A =∠DCE ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD = 180°. ∵∠BCD+∠DCE = 180°， ∴∠A =∠DCE. 链接中考 2.如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° C 随堂练习 1. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？ （1） （2） （3） （4） 2. 如图，⊙O的直径AB =10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. · O B C A 解：∵AB为直径， ∴∠BCA = 90°. 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10， ∴ . 3. 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C的度数. · O D B C A 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C = 180°. ∵∠A∶∠C = 4∶5， ∴ . 即∠C的度数为100°. 基础练习 1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 解：连接 BC. ∵AB 是 ⊙O 直径， ∴∠ACB = 90°. ∴∠B = ∠D = 26°. ∴∠CAB = 90° - 26° = 64°. 3. 如图，四边形 ABCD 内接⊙O ， ∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( ) A. 4 B. C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°， 求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° C B 4. 如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 能力提升 解：△BDE 为等腰直角三角形. 证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC. ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC. ∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE， ∠DBE =∠DBC +∠CBE， ∴ ∠BED =∠DBE. ∴ BD = ED. ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB = 90°. ∴ △BDE 是等腰直角三角形. 圆周角定理 推论2 推论3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 课后作业 P83-84 1、2、3、4 【教材P83 第1题】 知识技能 1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数. 解：在⊙O中，∵∠BOD=80°， ∴ （圆周角定理）. 又∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°. 2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数. 【教材P84 第2题】 解：如图所示，连接BD. ∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15° ∴∠ABD=15°. 又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中， ∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°. 3.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数. 【教材P84 第3题】 解：如图所示，∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A， ∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC =360°-180°=180° ∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°， ∴2∠A+∠E+∠F=180°. 又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°. 4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，且点O2在⊙O1上.点C是 上的一点（点C不与A，B重合)，AC的延长线交⊙O2于点P，连接 AB，BC，BP. (1)根据题意将图形补充完整; (2）当点C在 上运动时， 图中大小不变的角有哪些? （将符合要求的角都写出来） 【教材P84 第4题】 数学理解 解:(1)由题意可画图. (2)大小不变的角有 ∠APB, ∠ ACB, ∠ BCP, ∠ CBP共四个. $$