5.3 实际问题与一元一次方程 课件　2024—2025学年人教版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 5.3.5 方案决策问题 学习目标 1.通过旅游、购物、用电、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决方案选择问题和分段计费问题. 2.从现实生活中抽象出数学问题，建立方程，求出结果并讨论结果的意义. 会列一元一次方程解决方案选择问题和分段计费问题. 重点： 能分析实际问题中的等量关系，列出方程，确定最优方案. 难点： 问题探究 不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 3级 2600 800 1.5 1级 3000 640 问题探究 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 3级 2600 800 1.5 1级 3000 640 分析：在这个问题中，综合费用=空调的售价+电费，当选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关. 设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用为： 3000 + 0.5×640t 即： 3000 + 320t 3级能效空调的综合费用为： 2600 + 0.5×800t 即：2600 + 400t 怎么比较1级空调和3级空调的综合费用大小呢？ 问题探究 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 3级 2600 800 1.5 1级 3000 640 先来看t取什么值时，两款空调的综合费用相等, 根据题意，列方程得： 3000 + 320t=2600 + 400t 解得： t=5 当t=5时，两款空调的综合费用相等. 想一想：当t取其它值时，怎么比较1级空调和3级空调的综合费用大小呢？ 问题探究 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即： 2600 + 400t 1 级空调：3000 + 320t ； 3级空调：2600 + 400t =(3000 + 320t)+(80t-400) =3000+320t+80(t-5) 当0<t<5时，80(t-5)是负数，即：3000+320t+80(t-5)＜3000+320t，这表明3级能效空调的综合费用较低; 当t＞5时，80(t-5)是正数，即：3000+320t+80(t-5)＞3000+320t，这表明1级能效空调的综合费用较低; 问题探究 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 3级 2600 800 1.5 1级 3000 640 综合以上的分析，可以发现： （1）_______时，选择3级能效空调省钱； （2）_______时，选择1级能效空调省钱； （3）_______时，选择1级、3级能效空调均可. 0<t < 5 t > 5 t = 5 方案决策问题解题思路与步骤： 根据题意设未知数，列出各种方案的相关式子. 1.列代数式： 2.列方程： 3.作比较： 4.做决策： 把其中“一种方案的式子”写成“另一种方案的式子加上一个式子”的形式，然后以方程的解为界点进行分类讨论，得出相应的结果. 总结归纳 根据问题中的等量关系，列出有关方案的方程并解方程. 根据上面比较的结果，确定最优方案. 典例精析 例1. 在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案: 设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.请你分析该村采用哪种方案更省钱. 方案一:买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用为300元； 方案二:买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为600元. 典例精析 方案一:买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用为300元； 方案二:买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为600元. 分析：总费用 ＝ 购买费用 + 垃圾处理费用. 选定一种方案后，购买费用是确定的，垃圾处理费用与交费时间有关.用交费时间 x 分别表示两种方案的总费用，然后进行比较. 典例精析 方案一:M＝ 300x + 4000，方案二:N＝600x + 1000. 解：依题意得，列方程得： 为了比较两种方案的费用，把方案二的费用的式子600x + 1000 变形为方案一的费用与另外一个式子的和，即： 300x + 4000 = 600x + 1000 解得： x ＝ 10 ∴交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同. = (300x + 4000) + 300(x - 10). 600x + 1000 =(300x + 4000) + (300x - 3000) 当 0<x < 10 时，300(x - 10) 是负数，即：300x+4000+300(x-10)＜300x+4000，这表明方案二的费用较低，当 x > 10 时，300(x - 10) 是正数，即：300x+4000+300(x-10) >300x+4000这表明方案一的费用较低. 例2 移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费(元) 含上网流量(M) 流量超出部分(元/M) A种 30 320 0.2 B种 50 550 0.1 如何选择流量包更划算？ 典例精析 解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表： 当 320＜x＜550 时，据题意得： 使用流量 x(M) A种计费(元) B种计费(元) x≤320 30 50 320<x<550 30+0.2(x－320) 50 x=550 76 50 x>550 30+0.2(x－320) 50+0.1(x－550) 典例精析 30+0.2(x－320)=50 解得：x=420 ∴当月使用流量为420M时，两种流量包费用一样. 典例精析 为了比较A、B两种计费方式的费用，把A种计费制的式子0.2x-34 变形为B种计费制的费用与另外一个式子的和，即： =50+0.2x-84 0.2x-34 =50+0.2(x-420) 当0＜x＜420，0.2(x-420)是负数，即：50+0.2(x-420)＜50，此时，选择流量包A划算. 当x=420时，选择A、B两种流量包计费一样. 当x＞420时，0.2(x-420)是正数，即：50+0.2(x-420)＞50，此时，选择流量包B划算. 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5x+4(x+2)=44 B．5x+4(x-2)=44 C．9(x+2)=44 D．9(x+2)-4×2=44 A 当堂练习 2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过7m3，则按2元/m3 收费；若每户每月用水超过7m3，则超过的部分按3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了53元水费，那么这户居民去年12月的用水量为_______m3. 20 当堂练习 3. 在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费降为 0.09 元，在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1 元，复印页数为多少时，两店的收费相同？ 4. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 当堂练习 解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x; 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x. (2)由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 当 0 < x < 20 时，3(x-20)为负数，(60＋1.2x)+3(x-20)＜60＋1.2x，此时，采用计时制合算；当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，3(x-20)为正数，(60＋1.2x)+3(x-20)＞60＋1.2x，此时，采用包月制合算． 当堂练习 为了比较两种收费方式的费用，把计时制的式子4.2x 变形为包月制的费用与另外一个式子的和，即： 4.2x ＝ (60＋1.2x)+(3x-60) ＝ (60＋1.2x)+3(x-20) 5. 现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含 10次；第二种售价300元，每月包含20次. 两种月票超出每月包含次数后都需要另外购票，票价为25元/次，某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用？ 当堂练习 当堂练习 解：设他每月乘坐地铁机场线x次. 当10 < x < 20时，购买第一种月票需 [200 + 25(x - 10)] 元，购买第二种月票需300元.据题意，得： 200 + 25(x - 10) ＝ 300 解得 x ＝ 14. 为了比较两种月票的费用，把第一种月票的式子25x-50 变形为第二种月票的费用与另外一个式子的和，即： 25x-50 =300+25x-350 =300+25(x-14) 当 10 < x < 14 时，25(x-14)为负数，300+25(x-20)＜300，此时，采用第一种月票合算；当 x＝14 时，采用两种月票费用相同； 当 x > 14 时，25(x-14)为正数，300+25(x-20)＞300，此时，采用第二种月票合算． 课堂小结 解决方案决策问题，先要找出费用随哪个量的变化而变化. 若变化量已知，则直接对各个方案进行计算求值，通过比较大小来确定方案；若变化量未知，则根据费用的关系列方程求变化量. $$