第四章 提分微专题 全等三角形的四大常考模型-2025年中考数学一轮复习（江西）

提分微专题　全等三角形的四大常考模型 类型1 平移型 模型分析　把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形.图1,图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型全等的试题中,常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1,若BE=CF,则BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如图2,若BE=CF,则BE-CE=CF-CE,即BC=EF. 1.如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:BC=EF. 类型2 轴对称型 模型分析　将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称为翻折型全等三角形(如图).此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等. 2.如图,在五边形ABCDE中,F为CD上一点,连接AF. (1)若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD,求证:F为CD的中点. (2)若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD,求证:F为CD的中点. 类型3 旋转型 模型分析　将三角形绕公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时,如图1,涉及对顶角相等;如图2,涉及等角加(减)等角的条件. 条件:如图3,△OAB,△OCD均为等腰三角形,∠AOB=∠COD. 结论:①△OAC≌△OBD;②AC=BD. 3.如图,已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°. (1)求证:AD=CE. (2)猜想:AD和CE是否垂直?若垂直,请说明理由;若不垂直,则只要写出结论,不用写理由. 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形. (1)将△ADE绕点A旋转到图1的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立,请证明. (2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系,并加以证明. (3)将△ADE绕点A旋转到图3的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系.直接写出结论,不需要证明. 类型4 一线三等角型 模型分析　如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC,则△ADB≌△CEA. 如图2,∠BAC=∠BDF=∠CEF,AB=AC,则△ADB≌△CEA. 特殊的三垂直情况: 如图3,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥AC,则△ADB≌△CEA. 5.如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别为AB,BC,AC上的点,∠DEF=60°,BD=CE,求证:BE=CF. 6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE,AD,BE有怎样的数量关系?请说明理由. (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE有怎样的数量关系?请说明理由. 参考答案 1.略　2.略　3.(1)略　(2)垂直,理由略 4.(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC. ∵点P与点A重合, ∴PB=AB,PC=AC,PA=0, ∴PA+PB=PC或PA+PC=PB. (2)结论:PB=PA+PC. 证明:如图1,在BP上截取BF=CP,连接AF. ∵△ABC和△ADE都是等边三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE. ∵AC=AB,CP=BF, ∴△CAP≌△BAF(SAS), ∴∠CAP=∠BAF,AF=AP, ∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF, ∴∠FAP=∠BAC=60°, ∴△AFP是等边三角形, ∴PF=PA, ∴PA+PC=PF+BF=PB. (3)结论:PA+PB=PC. 理由:如图2,在CP上截取CF=BP,连接AF. ∵△ABC和△ADE都是等边三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE. ∵AB=AC,BP=CF, ∴△BAP≌△CAF(SAS), ∴∠CAF=∠BAP,AP=AF, ∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF, ∴∠FAP=∠BAC=60°, ∴△AFP是等边三角形, ∴PF=PA, ∴PA+PB=PF+CF=PC, 即PA+PB=PC. 5.略　6.(1)略　(2)DE=AD-BE.理由略　(3)DE=BE-AD.理由略 学科网（北京）股份有限公司 $$