微专题二 二次函数最值专题训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

微专题二 二次函数最值 1．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 4．设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 5．已知二次函数，若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)当时，求的值域： (3)当时，求的最小值. 6．已知二次函数，. (1)若在的最大值为，求实数的值； (2)若，当时，对，，使得，求正实数的取值范围. 7．已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 8．已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 9．已知函数，对于任意，有． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求的值； 10．已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当，时，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题 二次函数最值（解析版） 1．已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法可得答案. 【详解】， 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，有最小值，为， 当时，有最大值，为， 则的取值范围为. 故选：C. 2．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围. 【详解】因为，且， 令，解得或，作出图象如下图所示， 由图象可知，当时，若的值域为，则， 故选：C. 3．若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 4．设函数，. (1)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； (2)若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【详解】（1）法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则， 令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. （2）①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 5．已知二次函数，若不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)当时，求的值域： (3)当时，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据解集可求得结果； （2）根据对称轴和单调性确定值域； （3）根据对称轴和区间的位置关系分情况讨论确定最小值. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，解得， 所以的值为1； （2）由（1）可得，所以， 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为； （3）因为，二次函数的图像开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在单调递增， 所以， 所以的最小值. 6．已知二次函数，. (1)若在的最大值为，求实数的值； (2)若，当时，对，，使得，求正实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由已知结合二次函数的性质对对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论即可求解； （2）结合二次函数及一次函数的单调性先求出及的值域，结合恒成立与存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】（1），，图象开口向下，对称轴为， ①当，即时，在区间上单调递减， 则时，有最大值，得到， ②当时，即时，则时，有最大值，解得， 又，所以都不符合题意， ③当，即时，在区间上单调递增， 则时，有最大值，得到， 综上所述：或. （2）当时，，对称轴为，且，， 对任意的，， 当时，在上单调递增， 又，，则， 若对任意的，总存在，使成立， 所以， 所以，解得， 所以正实数的取值范围是. 7．已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，先设出函数解析式，再列方程解系数即可； （2）根据对称轴与区间在数轴上的位置关系分类讨论即可. 【详解】（1）∵是二次函数，且， ∴图象的对称轴为． 又的最小值为1， ∴设． 又，∴． ∴． （2）由（1）知，函数的图象的对称轴为． ①若，则在上是增函数，； ②若，即，则在上是减函数，； ③若，即，则． 综上所述，函数的最小值． 8．已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可得，即关于的不等式，求解即可； （2）得二次函数的对称轴，然后分，，三种情况分类讨论即可； （3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，解得； 故实数取值范围为. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上所述； （3）由（2）可知 当时，在上单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为； 综上所述的最大值为. 9．已知函数，对于任意，有． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求的值； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得的图象关于直线对称，，列方程求可得函数解析式； （2）讨论，求函数在上的最小值表达式，列方程求的值； 【详解】（1）因为， 所以的图象关于直线对称， 即， 又，所以， 所以， 所以； （2）当，即时，， 所以，解得或（舍去）； 当，即时．，不符合题意； 当时，，解得（舍去）或， 综上，或． 10．已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当，时，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （2）当，对称轴为， 区间中点为，比较与的关系， ①当，即时，； ②当，即时，； 综上可得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$