数列专题突破练-2025届高三数学二轮复习

2025新高考数学二轮复习专题突破练 等差数列、等比数列 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知数列{an}各项均为正数,首项a1=3,且数列{log3an}是以-2为公差的等差数列,则a3=(　　) A B C.1 D.9 2.等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=(　　) A B C.1 D.2 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=5a2+6a1,则公比q为(　　) A.1或5 B.5 C.1或-5 D.5或-1 4.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a1=-2,则a7的值为(　　) A.-2 B.- C D.1 5.一部中国古代数学名著中有一首诗,讲述了“竹筒容米”问题.诗云:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,惟有中间二节竹,要将米数次递盛,若是先生能算法,教君只算到天明.”(【注释】三升九:3.9升,次递盛:盛米容积依次相差同一数量)求该九节竹一共盛米多少升?(　　) A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升 6.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,lg an+lg an+1=lg 2n,n∈N*,则S9=(　　) A.511 B.61 C.41 D.9 7.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=-21,S7=S15,则Sn的最小值为(　　) A.-99 B.-100 C.-110 D.-121 8.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则下列命题为真命题的是(　　) A.若a3+a4=9,a7+a8=18,则a1+a2=5 B.若a2+a13=4,则S14=28 C.若S15<0,则S7>S8 D.若{an}和{anan+1}都为递增数列,则an>0 10.(2024·湖南长沙一模)设等比数列{an}的公比为q,前n项的积为Tn,下列说法正确的是(　　) A.若T8=T12,则a10a11=1 B.若T8=T12,则T20=1 C.若a1=1 024,且T10为数列{Tn}的唯一最大项,则<q< D.若a1>0,且T10>T11>T9,则使得Tn>1成立的n的最大值为20 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 11.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,a8成等比数列,则数列{an}的前10项和为　　　　　.  12.(2024·上海宝山二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1;假设2:视探照灯为点M,且距离地面20米;假设3:探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此,通过调整M的俯角,逐次扫描形成扇环S1,S2,S3,….第一次扫描时,光斑的长轴为EF,|OE|=30米,此时在探照灯M处测得点F的俯角为30°(如图2).记|AkAk+1|=dk,经测量知|A1An|=80米,且{dk}是公差为0.1米的等差数列,则至少需要经过　　　　　次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.  图1 图2 四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(15分)(2024·江苏南通二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-an=n2+1,n∈N*. (1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列; (2)求S20. 14.(15分)(2024·山东济南一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=且Sn=2an+1-3,令bn= (1)求证:{an}为等比数列; (2)求使bn取得最大值时的n的值. 数列的递推关系 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·陕西西安模拟)已知数列{an}满足=n+1,则a2 024=(　　) A.2 024 B.2 023 C.4 047 D.4 048 2.(2024·湖北黄冈模拟)数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,若Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*),则a9=(　　) A.9 B.1 C.8 D.45 3.(2024·福建漳州一模)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=an+1,则=(　　) A.- B.- C D 4.(2024·湖北武汉模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=3Sn+2,n∈N*,则S5=(　　) A.80 B.160 C.121 D.242 5.(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n,a10=130,则a1=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2024·山东青岛模拟)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则满足不等式an<930的最大正整数n为(　　) A.28 B.29 C.30 D.31 7.(2024·陕西咸阳三模)某校组织知识竞赛,已知甲同学答对第一题的概率为,从第二题开始,甲同学回答第n题时答错的概率为Pn,Pn=Pn-1+,当n≥2时,Pn≥M恒成立,则M的最大值为(　　) A B C D 8.(2024·安徽合肥模拟)数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列{an}:1,1,2,3,5,8,…,其中从第3项起,每一项都等于它前面两项之和,即a1=a2=1,an+2=an+1+an,这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2(a3+a6+a9+…+a174)+1,则m=(　　) A.175 B.176 C.177 D.178 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2024·河北石家庄模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递减数列 D的前n项和Tn=2n+1-2-n 10.(2024·山东济宁三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3n+1-3,数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn+1,则下列说法中正确的是 (　　) A.a1=3b1 B.数列{an}是等比数列 C.数列{bn}是等差数列 D.若b2=3,则 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 11.(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,nan+1=(n+2)Sn,则an=　　　　　.  12.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-7,若30<ak<50,则k的值为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(15分)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足4Sn=(an+1)2,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+[(-1)n+1]2n,求{bn}的前2n项和T2n. 14.(15分)(2024·山东菏泽模拟)定义:如果数列{an}从第三项开始,每一项都介于前两项之间,那么称数列{an}为“跳动数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn=2-2an+1,且a1=1,求{an}的通项公式,并判断{an}是否为“跳动数列”; (2)若公比为q的等比数列{an}是“跳动数列”,求实数q的取值范围; (3)若“跳动数列”{an}满足an+1=-,证明:-1<an<1或1<an<3. 数列求和 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·浙江杭州二模)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项的和,则S7=(　　) A.110 B.120 C.288 D.306 2.(2024·重庆模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=ak=(　　) A.511 B.677 C.1 021 D.2 037 3.(2024·湖南衡阳模拟)已知公差不为零的等差数列{an}满足:a3+a8=20,且a5是a2与a14的等比中项,设数列{bn}满足bn=(n∈N*),则数列{bn}的前n项和Sn为(　　) A.1- B.1+ C D 4.(2024·安徽三模)记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,则S20=(　　) A.590 B.602 C.630 D.650 5.(2024·江西模拟)在学习完“错位相减法”后,善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和,也可以使用“裂项相消法”求解.例如an=(n+1)·2n=(-n+1)·2n-(-n)·2n+1,故数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=0×21-(-1)×22+(-1)×22-(-2)×23+…+(-n+1)·2n-(-n)·2n+1=n·2n+1.记数列的前n项和为Tn,利用上述方法求T20-6=(　　) A B.- C D.- 6.(2024·浙江温州三模)数列{an}的前n项和为Sn,an+1=(n∈N*),则a2i-a2i-1可以是(　　) A.18 B.12 C.9 D.6 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.(2024·安徽淮北二模)已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若an=2n-1,Tn=2n+1-2,则下列说法正确的是(　　) A.S10=100 B.b10=1 024 C的前10项和为 D的前10项和为 8.(2024·山东济南二模)数列{an}满足a1=1,an=n≥2,bm表示{an}落在区间[2m,2m+1)的项数,其中m∈N*,则下列说法正确的是 (　　) A.b3=10 Ban Cak=6n2+3n Dbk=(4n-1) 三、填空题:本题共1小题,每小题5分,共5分. 9.(2024·江西宜春模拟)已知数列{an}是等差数列,bn=记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,若S3=18,T2=10,则T20=　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(15分)(2024·浙江宁波二模)已知等差数列{an}的公差为2,记数列{bn}的前n项和为Sn,b1=0,b2=2且满足bn+1=2Sn+an. (1)证明:数列{bn+1}是等比数列; (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 11.(15分)(2024·山东潍坊三模)已知正项等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1+1,S2,S3+1成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若bn=求数列{bn}的前4n项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考数学二轮复习专题突破练 等差数列、等比数列 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·山东日照二模)已知数列{an}各项均为正数,首项a1=3,且数列{log3an}是以-2为公差的等差数列,则a3=(　　) A B C.1 D.9 答案A 解析因为数列{an}各项均为正数,首项a1=3,则log3a1=1.又数列{log3an}是以-2为公差的等差数列,则log3a3=1-2×(3-1)=-3,故a3=3-3=故选A. 2.(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=(　　) A B C.1 D.2 答案B 解析依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=(a1+a1q2)q,解得q=,a1=8,故a5=a1q4=8故选B. 3.(2024·山东泰安二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=5a2+6a1,则公比q为(　　) A.1或5 B.5 C.1或-5 D.5或-1 答案D 解析由S3=5a2+6a1=a1+a2+a3,得4a2+5a1=a3,所以4a1q+5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q-5)(q+1)=0,所以q=5或q=-1.故选D. 4.(2024·江苏宿迁一模)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a1=-2,则a7的值为(　　) A.-2 B.- C D.1 答案B 解析由题意知q≠1,因为S3,S9,S6成等差数列,所以2S9=S3+S6⇒2(S9-S6)=-(S6-S3),即q3=-, 所以a7=a1q6=-2=-故选B. 5.(2024·黑龙江佳木斯三模)一部中国古代数学名著中有一首诗,讲述了“竹筒容米”问题.诗云:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,惟有中间二节竹,要将米数次递盛,若是先生能算法,教君只算到天明.”(【注释】三升九:3.9升,次递盛:盛米容积依次相差同一数量)求该九节竹一共盛米多少升?(　　) A.8.8升 B.9升 C.9.1升 D.9.2升 答案B 解析设第n节竹筒盛米an升,则数列{an}为等差数列,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=3.9,设公差为d,则有解得 所以an=0.1n+0.5,则该九节竹筒一共盛米=9升.故选B. 6.(2024·北京顺义二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,lg an+lg an+1=lg 2n,n∈N*,则S9=(　　) A.511 B.61 C.41 D.9 答案B 解析由lg an+lg an+1=lg 2n可得lg anan+1=lg 2n,即anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除可得=2,即=…==2.由a1=1可得a2=2,因此数列{an}的奇数项是以a1=1为首项,公比为2的等比数列,偶数项是以a2=2为首项,公比为2的等比数列, 所以S9=a1+a2+a3+…+a9=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)==61.故选B. 7.(2024·山东泰安三模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=-21,S7=S15,则Sn的最小值为(　　) A.-99 B.-100 C.-110 D.-121 答案D 解析设{an}的公差为d,因为a1=-21,S7=S15,可得 解得d=2,所以an=2n-23, 可得Sn=-21n+2=n2-22n. 因为a11=-1<0,a12=1>0, 所以当n=11时,Sn取得最小值S11=112-22×11=-121.故选D. 8.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 答案C 解析因为an+1=an+2+1,所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2, 等式两边开方可得+1,即=1,所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则下列命题为真命题的是(　　) A.若a3+a4=9,a7+a8=18,则a1+a2=5 B.若a2+a13=4,则S14=28 C.若S15<0,则S7>S8 D.若{an}和{anan+1}都为递增数列,则an>0 答案BC 解析对于A,由a3+a4=9,a7+a8=18,可得(a7+a8)-(a3+a4)=8d=9,所以d=又由a1+a2=(a3+a4)-4d=9-4,所以A错误.对于B,由S14==28,所以B正确.对于C,由S15==15a8<0,所以a8<0.又因为S8-S7=a8<0,则S7>S8,所以C正确.对于D,因为{an}为递增数列,可得公差d>0.因为{anan+1}为递增数列,可得an+2an+1-anan+1=an+1·2d>0,所以对任意的n≥2,an>0,但a1的正负不确定,所以D错误.故选BC. 10.(2024·湖南长沙一模)设等比数列{an}的公比为q,前n项的积为Tn,下列说法正确的是(　　) A.若T8=T12,则a10a11=1 B.若T8=T12,则T20=1 C.若a1=1 024,且T10为数列{Tn}的唯一最大项,则<q< D.若a1>0,且T10>T11>T9,则使得Tn>1成立的n的最大值为20 答案BCD 解析若T8=T12,则=a9a10a11a12==1,可得a10a11=±1.故选项A错误.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1.故选项B正确.若a1=1 024,且T10是数列{Tn}的唯一最大项.当q<0时,T10=a1a2…a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合题意;当q>0时,由可得解得<q<故选项C正确.若T10>T11>T9,当q<0时,T9=a1a2…a9=a1=a1(a1a1q9)4>0,又T10<0,不满足T10>T9,不合题意;当q>0时,由可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,0<q<1,则{an}为单调递减数列.当n≤10,n∈N*时,an>1,当n>10,n∈N*时,an<1,所以当n≤10,n∈N*时,数列{Tn}单调递增,当n>10,n∈N*时,数列{Tn}单调递减.又T1>1,T20=a1a2…a20=(a10a11)10>1,T21=a1a2…a21=(a11)21<1,所以使得Tn>1成立的n的最大值为20,即选项D正确.故选BCD. 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 11.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,a8成等比数列,则数列{an}的前10项和为　　　　　.  答案165 解析设等差数列的公差为d,由题意得=a3a8,即(a1+5d)2=(a1+2d)(a1+7d),因为公差大于零,解得d=3,d=-(舍去),所以S10=10×3+3=165. 12.(2024·上海宝山二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1;假设2:视探照灯为点M,且距离地面20米;假设3:探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环Sk(k=1,2,3,…).由此,通过调整M的俯角,逐次扫描形成扇环S1,S2,S3,….第一次扫描时,光斑的长轴为EF,|OE|=30米,此时在探照灯M处测得点F的俯角为30°(如图2).记|AkAk+1|=dk,经测量知|A1An|=80米,且{dk}是公差为0.1米的等差数列,则至少需要经过　　　　　次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.  图1 图2 答案15 解析因为在Rt△MOF中,∠F=30°,OM=20, 所以OF=20,EF=20-30,故A1A2=20-30,故{dk}是以20-30为首项,以0.1为公差的等差数列,故Sk=(20-30)k+0.1.而S14≈74.06<80,S15≈80.1>80,故kmin=15.所以至少需要15次才能将整个警戒区域扫描完毕. 四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(15分)(2024·江苏南通二模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-an=n2+1,n∈N*. (1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列; (2)求S20. 解(1)当n=1时,由条件得a1-a1=2,所以a1=4. 当n=2时,由条件得(a1+a2)-a2=5,所以a2=2. 因为Sn-an=n2+1,所以Sn-1-an-1=(n-1)2+1(n≥2),两式相减得an-an+an-1=2n-1,即an+an-1=4n-2,所以(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,从而数列{an+1+an}为等差数列. (2)由(1)知an+an-1=4n-2(n≥2), 所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=, 所以S20=(4×2-2)+(4×4-2)+…+(4×20-2)==420. 14.(15分)(2024·山东济南一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=且Sn=2an+1-3,令bn= (1)求证:{an}为等比数列; (2)求使bn取得最大值时的n的值. (1)证明由Sn=2an+1-3,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,即当n≥2时, 又因为a1=,所以a2= 综上,当n≥1时,, 所以{an}为首项和公比均为的等比数列. (2)解由(1)可得an=, 所以bn=(n2+n), 当n≥2时,, 令>1,可得2≤n<5(或令<1,可得n>5),可知b1<b2<b3<b4=b5>b6>b7>…, 综上,当n=4或n=5时,bn取得最大值 数列的递推关系 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·陕西西安模拟)已知数列{an}满足=n+1,则a2 024=(　　) A.2 024 B.2 023 C.4 047 D.4 048 答案C 解析由题意可得a1++…+=n+1,当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1++…+=n,两式相减得=1,即an=2n-1. 综上所述,an= 所以a2 024=4 047,故选C. 2.(2024·湖北黄冈模拟)数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,若Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*),则a9=(　　) A.9 B.1 C.8 D.45 答案B 解析由题意知,数列{an}的首项为1,且Sn+Sm=Sn+m,令m=1,可得Sn+S1=Sn+1,即Sn+1-Sn=S1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公差为1的等差数列,所以Sn=1+(n-1)×1=n,则a9=S9-S8=1. 故选B. 3.(2024·福建漳州一模)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=an+1,则=(　　) A.- B.- C D 答案A 解析因为3Sn=an+1,则3Sn+1=an+1+1,两式相减可得3an+1=an+1-an,即2an+1=-an,令n=7,可得2a8=-a7,且an≠0,所以=-故选A. 4.(2024·湖北武汉模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=3Sn+2,n∈N*,则S5=(　　) A.80 B.160 C.121 D.242 答案D 解析由Sn+1=3Sn+2,得Sn=3Sn-1+2(n≥2),所以Sn+1-Sn=3Sn-3Sn-1,得an+1=3an,所以等比数列{an}的公比为q=3,所以由Sn+1=3Sn+2,得=3+2,所以a1(3n+1-1)=3a1(3n-1)+4,解得a1=2, 所以S5==35-1=242.故选D. 5.(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n,a10=130,则a1=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析由题意可得an+1-an=a1+2n,则可得a2-a1=a1+2,a3-a2=a1+4,…,a10-a9=a1+18,将以上等式左右两边分别相加得,a10-a1=9a1+=9a1+90,即a10=10a1+90. 又a10=130,所以a1=4.故选D. 6.(2024·山东青岛模拟)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则满足不等式an<930的最大正整数n为(　　) A.28 B.29 C.30 D.31 答案B 解析依题意,数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,(n≥2),所以an=a1…=2…=n(n+1),a1=1×(1+1)=2, 所以an=n(n+1),{an}是递增数列. 由an=n(n+1)<930,(n+31)(n-30)<0,解得-31<n<30,所以n的最大值为29.故选B. 7.(2024·陕西咸阳三模)某校组织知识竞赛,已知甲同学答对第一题的概率为,从第二题开始,甲同学回答第n题时答错的概率为Pn,Pn=Pn-1+,当n≥2时,Pn≥M恒成立,则M的最大值为(　　) A B C D 答案A 解析依题意,P1=1-,当n≥2时,由Pn=Pn-1+,得Pn-,而P1-=-,因此数列是首项为-,公比为的等比数列,则Pn-=-,即Pn=,显然数列{Pn}是递增数列.当n≥2时,(Pn)min=P2=,而当n≥2时,Pn≥M恒成立,于是M,所以M的最大值为故选A. 8.(2024·安徽合肥模拟)数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列{an}:1,1,2,3,5,8,…,其中从第3项起,每一项都等于它前面两项之和,即a1=a2=1,an+2=an+1+an,这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2(a3+a6+a9+…+a174)+1,则m=(　　) A.175 B.176 C.177 D.178 答案B 解析由从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,a1=a2=1,由an+2=an+1+an(n∈N*),得an=an+2-an+1,所以a1=a3-a2,a2=a4-a3,a3=a5-a4,…,an=an+2-an+1, 将这n个式子左右两边分别相加可得Sn=a1+a2+…+an=an+2-a2=an+2-1,所以Sn+1=an+2.所以2(a3+a6+a9+…+a174)+1=(a3+a3+a6+a6+a9+a9+…+a174+a174)+1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+…+a172+a173+a174+1=S174+1=a176. 故m=176.故选B. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2024·河北石家庄模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是(　　) A为等比数列 B.{an}的通项公式为an= C.{an}为递减数列 D的前n项和Tn=2n+1-2-n 答案AB 解析因为an+1=(n∈N*),由题意显然an≠0,an+1≠0,变形得+1,所以-2=-2).又因为-2=1≠0,所以是以1为首项,为公比的等比数列,A正确;因为-2=()n-1,所以an=,B正确;因为()n-1单调递减,所以an=单调递增,即{an}为递增数列,C错误;因为-2=()n-1,所以=()n-1+2,所以Tn=(1++…+)+2n=2-+2n,所以D错误.故选AB. 10.(2024·山东济宁三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3n+1-3,数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn+1,则下列说法中正确的是 (　　) A.a1=3b1 B.数列{an}是等比数列 C.数列{bn}是等差数列 D.若b2=3,则 答案BC 解析由2Sn=3n+1-3,得Sn=3n+1-,a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1-3n)=3n,a1=3满足上式,因此an=3n,数列{an}是等比数列,B正确;由bn+1,得Tn=bn+n,b1=T1=b1+1,解得b1=2,a1≠3b1,A错误;当n≥2时,Tn-1=bn-1+n-1,两式相减得bn+1=bn-1,于是bn=bn+1+1,两式相加得bn=bn-1+bn+1,整理得2bn=bn-1+bn+1,因此数列{bn}是等差数列,C正确;当b2=3时,等差数列{bn}的公差为1,通项bn=n+1,,所以=1-+…+=1-,D错误.故选BC. 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 11.(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,nan+1=(n+2)Sn,则an=　　　　　.  答案(n+1)·2n-2 解析当n≥2时,(n-1)an=(n+1)Sn-1, 即Sn=an+1,Sn-1=an, 则Sn-Sn-1=an+1-an=an, 即,则有,…,,则an=…a1=(n+1)·2n-2. 当n=1时,a1=1,符合上式,故an=(n+1)·2n-2. 12.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-7,若30<ak<50,则k的值为　　　　.  答案4 解析因为Sn=2an+n-7, ① 所以当n=1时,S1=2a1+1-7=a1, 解得a1=6. 又Sn-1=2an-1+n-1-7(n≥2), ② ①-②得an=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1(n≥2), 所以an-1=2(an-1-1), 又a1-1=5≠0,即=2,所以{an-1}是以5为首项,2为公比的等比数列, 所以an-1=5·2n-1,即an=5·2n-1+1. 因为30<ak<50,所以30<5·2k-1+1<50, 所以<2k-1<,又k∈N*,所以k=4. 四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(15分)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足4Sn=(an+1)2,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+[(-1)n+1]2n,求{bn}的前2n项和T2n. 解(1)4Sn=(an+1)2,当n≥2时,4Sn-1=(an-1+1)2,两式作差可得4an=+2an-2an-1,(an-an-1)(an+an-1)-2(an+an-1)=0,(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 又an>0,故an-an-1=2.又当n=1时,4a1=(a1+1)2,解得a1=1. 故数列{an}为首项为1,公差为2的等差数列,则an=2n-1. (2)bn=(-1)nan+[(-1)n+1]2n=(-1)n·(2n-1)+[(-1)n+1]×2n.b2k+b2k-1=(-1)2k·(4k-1)+[(-1)2k+1]×22k+(-1)2k-1(4k-3)+[(-1)2k-1+1]×22k-1=4k-1+22k+1-4k+3=2+22k+1,k∈N*,故T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=(2+23)+(2+25)+…+(2+22n+1)=2n+4n+1+2n- 14.(15分)(2024·山东菏泽模拟)定义:如果数列{an}从第三项开始,每一项都介于前两项之间,那么称数列{an}为“跳动数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足3Sn=2-2an+1,且a1=1,求{an}的通项公式,并判断{an}是否为“跳动数列”; (2)若公比为q的等比数列{an}是“跳动数列”,求实数q的取值范围; (3)若“跳动数列”{an}满足an+1=-,证明:-1<an<1或1<an<3. (1)解因为3Sn=2-2an+1且a1=1, 当n=1时,3S1=2-2a2,解得a2=- 当n≥2时,3Sn-1=2-2an, 所以3Sn-3Sn-1=2-2an+1-(2-2an), 即3an=2an-2an+1,所以=-(n≥2). 又=-,所以{an}是以1为首项,-为公比的等比数列,所以an={an}是“跳动数列”. 因为(an+2-an+1)(an+2-an)=[][]=[-]·[]=-(-)=-<0,所以an+2位于an与an+1之间, 所以{an}是“跳动数列”. (2)解由“跳动数列”的定义可知:{an}是“跳动数列”⇔(an+2-an+1)(an+2-an)<0. 若公比为q的等比数列{an}是“跳动数列”,则(an+2-an+1)(an+2-an)=(anq2-anq)(anq2-an)<0,即(q2-q)(q2-1)<0,所以(q2-q)(q2-1)<0,即q(q-1)2(q+1)<0,解得-1<q<0,即实数q的取值范围为(-1,0). (3)证明由an+1=-, 可得an+2=-, 所以an+2-an+1=(an-an+1)·(an+an+1), 则an+2-an=(an+2-an+1)+(an+1-an)=(an-an+1)(an+an+1)+(an+1-an)=(an+1-an)=-(an+1-an)(an+an+1-2). 由{an}是“跳动数列”⇔(an+2-an+1)·(an+2-an)<0,可得(an-an+1)(an+an+1)×[-(an+1-an)(an+an+1-2)]<0, 即-(an-an+1)(an+an+1)(an+1-an)·(an+an+1-2)<0,即(an+1-an)2(an+an+1)·(an+an+1-2)<0,即(an+an+1)(an+an+1-2)<0,所以0<an+an+1<2. 又an+1=-,所以0<an-<2,即 解得-1<an<1或1<an<3,故命题成 数列求和 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·浙江杭州二模)设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.设Sn为数列{an+bn}的前n项的和,则S7=(　　) A.110 B.120 C.288 D.306 答案A 解析S7=a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4+a5+b5+a6+b6+a7+b7=a1+b1+(a2+b3)+(b2+a3)+(a4+b5)+(b4+a5)+(a6+b7)+(b6+a7)=1+1+2×2+22+2×4+24+2×6+26=2+4+4+8+16+12+64=110.故选A. 2.(2024·重庆模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=ak=(　　) A.511 B.677 C.1 021 D.2 037 答案B 解析ak=a1+a2+…+a10=a1+a1-1+a3+a3-1+…+a9+a9-1=2(a1+a3+a5+a7+a9)-5=2×(1+22+24+26+28)-5=2×(4+16+64+256)-3=677.故选B. 3.(2024·湖南衡阳模拟)已知公差不为零的等差数列{an}满足:a3+a8=20,且a5是a2与a14的等比中项,设数列{bn}满足bn=(n∈N*),则数列{bn}的前n项和Sn为(　　) A.1- B.1+ C D 答案C 解析设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为a3+a8=20,且a5是a2与a14的等比中项, 可得 即 解得所以an=2n-1. 又由bn=, 可得Sn=(1-+…+)=故选C. 4.(2024·安徽三模)记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,则S20=(　　) A.590 B.602 C.630 D.650 答案A 解析因为Sn+Sn+1=3n2+2n+1, 所以Sn+1+Sn+2=3(n+1)2+2(n+1)+1, 两式相减可得an+1+an+2=6n+5=6(n+1)-1. 由a1=1,S1+S2=3×12+2×1+1=6,解得a2=4, 所以a1+a2=5,满足上式, 故an+an+1=6n-1, 所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=5+17+29+…+113==590. 故选A. 5.(2024·江西模拟)在学习完“错位相减法”后,善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和,也可以使用“裂项相消法”求解.例如an=(n+1)·2n=(-n+1)·2n-(-n)·2n+1,故数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=0×21-(-1)×22+(-1)×22-(-2)×23+…+(-n+1)·2n-(-n)·2n+1=n·2n+1.记数列的前n项和为Tn,利用上述方法求T20-6=(　　) A B.- C D.- 答案B 解析设, 则解得 所以,则数列的前n项和为(6-)+()+…+[]=6- 故T20-6=-=-故选B. 6.(2024·浙江温州三模)数列{an}的前n项和为Sn,an+1=(n∈N*),则a2i-a2i-1可以是(　　) A.18 B.12 C.9 D.6 答案C 解析由an+1=(n∈N*)可得Sn=an+1·an且an≠0, 由上式可知a2==1, 且Sn+1=an+2·an+1, 两式相减得an+1=an+2·an+1-an+1·an, 两边同时除以an+1(an+1≠0)得an+2-an=1, 由上式可知数列{an}的奇数项和偶数项分别成等差数列,公差为1, 所以a2i-a2i-1=(a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9+a11)=(1+2+3+4+5)-(a1+a1+1+a1+2+a1+3+a1+4+a1+5)=-6a1, 由此数列的奇数项公式为a2n-1=a1+(n-1), 又由an≠0,所以可以判断a1一定不能为负整数,即只能有-6a1=9.故选C. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.(2024·安徽淮北二模)已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若an=2n-1,Tn=2n+1-2,则下列说法正确的是(　　) A.S10=100 B.b10=1 024 C的前10项和为 D的前10项和为 答案ABD 解析∵an=2n-1,∴{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,∴S10=10×1+2=100.故选项A正确. 令cn=,则cn=,∴c1+c2+…+c10=+…+)= 又a1=1,a11=21,∴c1+c2+…+c10=故选项C错误. ∵Tn=2n+1-2,∴bn=Tn-Tn-1=2n+1-2-2n+2=2n(n>1,n∈N*), 又b1=T1=21+1-2=2,b1=21=2, ∴bn=2n(n∈N*), ∴{bn}是首项为b1=2,公比q=2的等比数列, ∴b10=210=1 024.故选项B正确. ,是首项为,公比为的等比数列,+…+故选项D正确.故选ABD. 8.(2024·山东济南二模)数列{an}满足a1=1,an=n≥2,bm表示{an}落在区间[2m,2m+1)的项数,其中m∈N*,则下列说法正确的是 (　　) A.b3=10 Ban Cak=6n2+3n Dbk=(4n-1) 答案BC 解析根据题意,列举可得,数列{an}的前若干项分别为1,2,3,3,4,5,6,6,….不难发现,a4k=3k,a4k-1=3k,a4k-2=3k-1,a4k-3=3k-2. 对于A,根据数列列举可得1,2,3,3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15,16,17,18,18,….即落在区间[23,24)上的有8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15共有11项,因此b3=11.故A错误. 对于B,当n=4k时,an=3k=;当n=4k-1时,an=3k=;当n=4k-2时,an=3k-1=-1=;当n=4k-3时,an=3k-2=-2=,所以它们均在区间中.故B正确. 对于C,ai=(a4i-3+a4i-2+a4i-1+a4i)=(3i-2+3i-1+3i+3i)=(12i-3)==6n2+3n.故C正确. 对于D,根据数列列举可得1,2,3,3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15,16,17,18,18,…. 可得b1=3,b2=5, 所以当n=1时,bk=b1+b2=3+5=8, 而当n=1时,(41-1)=4,所以此时bk=(4n-1)不成立.故D错误. 故选BC. 三、填空题:本题共1小题,每小题5分,共5分. 9.(2024·江西宜春模拟)已知数列{an}是等差数列,bn=记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,若S3=18,T2=10,则T20=　　　　　.  答案370 解析设等差数列{an}的公差为d. 由S3=18,得a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=3a1+3d=18,① 由T2=10,得a1-8+2a2+1=a1-8+2(a1+d)+1=10, 所以3a1+2d=17,② 联立①②,得 解得a1=5,d=1, 所以an=a1+(n-1)d=5+(n-1)×1=n+4. 则bn= 所以T20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49)=10+10=370. 四、解答题:本题共2小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(15分)(2024·浙江宁波二模)已知等差数列{an}的公差为2,记数列{bn}的前n项和为Sn,b1=0,b2=2且满足bn+1=2Sn+an. (1)证明:数列{bn+1}是等比数列; (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. (1)证明当n≥2时,bn+1-bn=2(Sn-Sn-1)+an-an-1=2bn+2, 即bn+1=3bn+2. 又b1=0,b2=2,也符合b2=3b1+2, 所以当n≥1时,bn+1=3bn+2, 即bn+1+1=3(bn+1). 又b1+1=1≠0, 所以bn+1≠0, 所以=3, 所以数列{bn+1}成等比数列. (2)解由(1)易得bn=3n-1-1. 由b2=2b1+a1可得a1=2,所以an=2n. 故anbn=2n(3n-1-1)=2n×3n-1-2n, 所以Tn=2(1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1)-n(n+1). 令M=1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1, 则3M=1×31+2×32+3×33+…+n×3n, 所以2M=-(30+31+32+…+3n-1)+n×3n=n×3n-, 所以Tn=2M-n(n+1)=-n(n+1). 11.(15分)(2024·山东潍坊三模)已知正项等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1+1,S2,S3+1成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若bn=求数列{bn}的前4n项和. 解(1)因为=(S1+1)(S3+1),所以(2a1+2)2=(a1+1)(3a1+7),即(a1+1)(a1-3)=0, 解得a1=-1或a1=3, 又因为an>0,所以a1=3, 所以an=3+2(n-1)=2n+1. (2)Sn==n(n+2), 所以 当n为奇数时,b1+b3+…+b4n-1=+…++…+)= 当n为偶数时,b4n-2+b4n=S4n-2-S4n=(4n-2)×4n-4n×(4n+2)=-16n, 则b2+b4+…+b4n=-16(1+2+…+n)=-8n(n+1), 所以前4n项和T4n=-8n(n+1)=-8n(n+1 学科网（北京）股份有限公司 $$